2023年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)）

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2023年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）

一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．

1．（5分）設(shè)集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，則A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣iB．1+3iC．3+iD．3+3i3．（5分）函數(shù)f（x）=sin（2x+A．4πB．2πC．π

D．

）的最小正周期為（）

4．（5分）設(shè)非零向量，滿(mǎn)足|+|=|﹣|則（）A．⊥

B．||=||

C．∥

D．||＞||

5．（5分）若a＞1，則雙曲線(xiàn)A．（

，+∞）B．（

﹣y2=1的離心率的取值范圍是（）

）D．（1，2）

，2）C．（1，

6．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A．90πB．63πC．42πD．36π

第1頁(yè)（共22頁(yè)）

7．（5分）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=2x+y的最小值是（）

A．﹣15B．﹣9C．1D．9

8．（5分）函數(shù)f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）

9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則（）

A．乙可以知道四人的成績(jī)B．丁可以知道四人的成績(jī)

C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D．乙、丁可以知道自己的成績(jī)

10．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，假使輸入的a=﹣1，則輸出的S=（）

A．2B．3C．4D．5

第2頁(yè)（共22頁(yè)）

11．（5分）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為（）A．

B．C．

D．

的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M（M在

12．（5分）過(guò)拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F，且斜率為

x軸上方），l為C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)N在l上，且MN⊥l，則M到直線(xiàn)NF的距離為（）A．

二、填空題，此題共4小題，每題5分，共20分13．（5分）函數(shù)f（x）=2cosx+sinx的最大值為．

14．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）=2x3+x2，則f（2）=．

15．（5分）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為．

16．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=．

三、解答題：共70分．解允許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．

17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若T3=21，求S3．

18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）證明：直線(xiàn)BC∥平面PAD；（2）若△PCD面積為2

，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

B．2

C．2

D．3

第3頁(yè)（共22頁(yè)）

19．（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg〞，估計(jì)A的概率；

（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：P（K2≥K）KK2=

0.0503.841．

+y2=1上，過(guò)M作x軸的

0.0106.6350.00110.82820．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

第4頁(yè)（共22頁(yè)）

=．

（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=﹣3上，且過(guò)C的左焦點(diǎn)F．

?=1．證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l

21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=（1﹣x2）ex．（1）探討f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假使多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．

（1）M為曲線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上，且滿(mǎn)足|OM|?|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，

[選修4-5：不等式選講]

23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．證明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．

），點(diǎn)B在曲線(xiàn)C2上，求△OAB面積的最大值．

第5頁(yè)（共22頁(yè)）

A．2B．3C．4D．5

執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，K值，當(dāng)K=7時(shí)，程序終止即可得到結(jié)論．

解：執(zhí)行程序框圖，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循環(huán)，第一次滿(mǎn)足循環(huán)，S=﹣1，a=1，K=2；

滿(mǎn)足條件，其次次滿(mǎn)足循環(huán)，S=1，a=﹣1，K=3；滿(mǎn)足條件，第三次滿(mǎn)足循環(huán)，S=﹣2，a=1，K=4；滿(mǎn)足條件，第四次滿(mǎn)足循環(huán)，S=2，a=﹣1，K=5；滿(mǎn)足條件，第五次滿(mǎn)足循環(huán)，S=﹣3，a=1，K=6；滿(mǎn)足條件，第六次滿(mǎn)足循環(huán)，S=3，a=﹣1，K=7；K≤6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3．應(yīng)選：B．

此題主要考察了程序框圖和算法，屬于基本知識(shí)的考察，比較基礎(chǔ)．

第11頁(yè)（共22頁(yè)）

11．（5分）從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為（）A．

B．C．

D．

先求出基才能件總數(shù)n=5×5=25，再用列舉法求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)包含的基才能件個(gè)數(shù)，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率．

解：從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，

基才能件總數(shù)n=5×5=25，

抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)包含的基才能件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

共有m=10個(gè)基才能件，

∴抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率p=應(yīng)選：D．

此題考察概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．

12．（5分）過(guò)拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F，且斜率為

的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M（M在

=．

x軸上方），l為C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)N在l上，且MN⊥l，則M到直線(xiàn)NF的距離為（）A．

B．2

C．2

D．3

利用已知條件求出M的坐標(biāo)，求出N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可．

解：拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），且斜率為﹣1），

過(guò)拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)F，且斜率為l

的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M（M在x軸上方），

的直線(xiàn)：y=

（x

第12頁(yè)（共22頁(yè)）

可知：可得N（﹣1，2

，解得M（3，2）．

（x﹣1），即=2

．

，

），NF的方程為：y=﹣

則M到直線(xiàn)NF的距離為：應(yīng)選：C．

此題考察直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考察計(jì)算能力．

二、填空題，此題共4小題，每題5分，共20分13．（5分）函數(shù)f（x）=2cosx+sinx的最大值為．

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)正弦函數(shù)的有界性求解即可．解：函數(shù)f（x）=2cosx+sinx=中tanθ=2，

可知函數(shù)的最大值為：故答案為：

．

．

（

cosx+

sinx）=

sin（x+θ），其

此題考察三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的有界性的應(yīng)用，考察計(jì)算能力．

14．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）=2x3+x2，則f（2）=12．

由已知中當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解：∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）=2x3+x2，∴f（﹣2）=﹣12，

又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2）=12，故答案為：12

此題考察的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

第13頁(yè)（共22頁(yè)）

15．（5分）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為14π．

求出球的半徑，然后求解球的表面積．

解：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，可知長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)就是球的直徑，所以球的半徑為：則球O的表面積為：4×故答案為：14π．

此題考察長(zhǎng)方體的外接球的表面積的求法，考察空間想象能力以及計(jì)算能力．

16．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=

．

=

．=14π．

根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=

，

故答案為：

此題考察了正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：共70分．解允許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．

17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，

第14頁(yè)（共22頁(yè)）

a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若T3=21，求S3．

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，計(jì)算即可得到所求和．

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），則{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，

當(dāng)q=4時(shí)，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，

d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；當(dāng)q=﹣5時(shí)，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．

此題考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，求出公差和公比是解題的關(guān)鍵，考察方程思想和化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）證明：直線(xiàn)BC∥平面PAD；（2）若△PCD面積為2

，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

第15頁(yè)（共22頁(yè)）

（1）利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明即可．

（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解幾何體的線(xiàn)段長(zhǎng)，然后求解幾何體的體積即可．（1）證明：四棱錐P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴直線(xiàn)BC∥平面PAD；

（2）解：四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．設(shè)AD=2x，則AB=BC=x，CD=

，O是AD的中點(diǎn)，

連接PO，OC，CD的中點(diǎn)為：E，連接OE，則OE=

，PO=

，PE=，可得：

=2=，

．

=4

．

，

△PCD面積為2即：

，解得x=2，PO=2

則VP﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO=

此題考察直線(xiàn)與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考察空間想象能力以及計(jì)算能力．

19．（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布

第16頁(yè)（共22頁(yè)）

直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg〞，估計(jì)A的概率；

（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：P（K2≥K）KK2=

0.0503.841．

0.0106.6350.00110.828（1）根據(jù)題意，由舊養(yǎng)殖法的頻率分布直方圖計(jì)算可得答案；（2）由頻率分布直方圖可以將列聯(lián)表補(bǔ)全，進(jìn)而計(jì)算可得K2=

≈15.705＞6.635，與附表比較即可得答案；

（3）由頻率分布直方圖計(jì)算新舊養(yǎng)殖法產(chǎn)量的平均數(shù)，比較即可得答案．解：（1）根據(jù)題意，由舊養(yǎng)殖法的頻率分布直方圖可得：P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；（2）根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表可得：

箱產(chǎn)量＜50kg6234箱產(chǎn)量≥50kg3866總計(jì)100100舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

第17頁(yè)（共22頁(yè)）

總計(jì)則有K2=

96104≈15.705＞6.635，

200故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；（3）由頻率分布直方圖可得：舊養(yǎng)殖法100個(gè)網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)

1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×

0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；

新養(yǎng)殖法100個(gè)網(wǎng)箱產(chǎn)量的平均數(shù)

2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×

0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；比較可得：1＜2，

故新養(yǎng)殖法更加優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．

此題考察頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，涉及數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差的計(jì)算，關(guān)鍵認(rèn)真分析頻率分布直方圖．

20．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=﹣3上，且過(guò)C的左焦點(diǎn)F．

（1）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設(shè)P（x，y），運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿(mǎn)足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得P的軌跡方程；（2）設(shè)Q（﹣3，m），P（

cosα，

sinα），（0≤α＜2π），運(yùn)用向量的數(shù)量積?

=1．證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l

=

．

+y2=1上，過(guò)M作x軸的

的坐標(biāo)表示，可得m，即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得OQ，PF的斜率，由兩直線(xiàn)垂直的條件：向量數(shù)量積為0，即可得證．解：（1）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設(shè)P（x，y），由點(diǎn)P滿(mǎn)足可得（x﹣x0，y）=可得x﹣x0=0，y=

=．

（0，y0），y0，

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即有x0=x，y0=代入橢圓方程

，

+y2=1，可得

+

=1，

即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2；（2）證明：設(shè)Q（﹣3，m），P（?

=1，可得（

cosα，

cosα，

sinα），（0≤α＜2π），cosα，m﹣

sinα）=1，

sinα）?（﹣3﹣msinα﹣2sin2α=1，

即為﹣3

cosα﹣2cos2α+

當(dāng)α=0時(shí)，上式不成立，則0＜α＜2π，解得m=即有Q（﹣3，橢圓由=3+3

?

，

），

+y2=1的左焦點(diǎn)F（﹣1，0），=（﹣1﹣cosα﹣3（1+

cosα，﹣

sinα）?（﹣3，

）

cosα）=0．

可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F．另解：設(shè)Q（﹣3，t），P（m，n），由

?

=1，

可得（m，n）?（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2，即有nt=3+3m，

又橢圓的左焦點(diǎn)F（﹣1，0），?

=（﹣1﹣m，﹣n）?（﹣3，t）=3+3m﹣nt

=3+3m﹣3﹣3m=0，則

⊥

，

可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F．

此題考察軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運(yùn)算，考察圓的參數(shù)方程的運(yùn)用和直線(xiàn)的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩直線(xiàn)垂直的條件：向量數(shù)量積為0，考察化簡(jiǎn)整理的運(yùn)