等腰三角形 教學(xué)設(shè)計(jì)

第15章軸對(duì)稱(chēng)圖形與等腰三角形15.3等腰三角形阜陽(yáng)十五中---陳建抗教學(xué)內(nèi)容的地位與作用分析課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.內(nèi)容要求理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合；探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°。2.學(xué)業(yè)要求在直觀理解和掌握?qǐng)D形與幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷得到和驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，感悟具有傳遞性的數(shù)學(xué)邏輯，形成幾何直觀和推理能力；在具體現(xiàn)實(shí)情境中，學(xué)會(huì)從幾何的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，經(jīng)歷用幾何直觀和邏輯推理分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等。（3）教學(xué)提示要組織學(xué)生經(jīng)歷圖形分析與比較的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)關(guān)注事物的共性、分辨事物的差異、形成合適的類(lèi)，會(huì)用準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述研究對(duì)象的概念，提升抽象能力，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)程，感悟歸納推理過(guò)程和演繹推理過(guò)程的傳遞性，增強(qiáng)推理能力，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷針對(duì)圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化確立幾何命題的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，會(huì)借助圖形分析問(wèn)題，形成解決問(wèn)題的思路，發(fā)展模型觀念，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。（二）教材分析本節(jié)課主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)等腰三角形的兩條性質(zhì)“等邊對(duì)等角”和“三線合一”，再利用“等邊對(duì)等角”得到等邊三角形特殊的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每個(gè)內(nèi)角都等于60°。同時(shí)，本節(jié)課也突出了軸對(duì)稱(chēng)性的工具作用，重視操作實(shí)驗(yàn)得到命題在學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的作用，注重幾何語(yǔ)言證明幾何命題，強(qiáng)化思想方法的訓(xùn)練，展示了化歸思想。（三）教學(xué)內(nèi)容分析1.等腰三角形是特殊的三角形，所以既具有一般三角形所具有的所有性質(zhì)，還具有一些特殊的性質(zhì)，本節(jié)通過(guò)探究活動(dòng)發(fā)現(xiàn)等腰三角形的特殊性質(zhì)，并加以證明。2.等腰三角形的性質(zhì)豐富了證明線段相等、角相等和兩條直線垂直的方法，我們還可以利用等腰三角形的性質(zhì)得到等邊三角形的性質(zhì)。（四）學(xué)情分析1.已有的知識(shí)：學(xué)生知道一般三角形的基本性質(zhì)：三角形兩邊之和大于第三邊、內(nèi)角和為180°，知道軸對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)，了解等腰三角形的定義，并且知道等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。學(xué)生能夠得到等腰三角形形狀的紙片等，并利用軸對(duì)稱(chēng)提出猜想，學(xué)生對(duì)圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化可能存在障礙；2.具有的能力：學(xué)生已經(jīng)具備一定的抽象能力和歸納能力，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)理，對(duì)需要通過(guò)添加輔助線構(gòu)建全等進(jìn)而證明兩個(gè)角相等可能存在障礙。3.方式和習(xí)慣：學(xué)生已經(jīng)知道可以通過(guò)“做一做”、“猜一猜”、“證一證”得到數(shù)學(xué)結(jié)論。二、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)不同形狀、大小的等腰三角形具有共同特征，通過(guò)探究提出猜想，并用符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行描述，發(fā)展學(xué)生的抽象能力、幾何直觀和空間觀念。2.在探究活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生感悟折痕的作用，發(fā)現(xiàn)證明中添加輔助線的方法，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力。3.在運(yùn)用等腰三角形的基本性質(zhì)解決真實(shí)情境中的簡(jiǎn)單問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展模型觀念，提高學(xué)生規(guī)范表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力和應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)等腰三角形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與探究過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)能從折痕中感悟添加輔助線的方法。教法與學(xué)法教法：?jiǎn)l(fā)式學(xué)法：觀察、動(dòng)手操作、自主探究、合作交流核心素養(yǎng)表現(xiàn)數(shù)學(xué)眼光：根據(jù)等腰三角形的定義（有兩邊相等的三角形是等腰三角形）剪出等腰三角形紙片等實(shí)物模型，結(jié)合圖形利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律（重合的邊和角）體現(xiàn)了幾何直觀和空間觀念，學(xué)生經(jīng)過(guò)大量的等腰三角形材料，總結(jié)歸納出猜想，得到論證對(duì)象體現(xiàn)了抽象能力、幾何直觀；數(shù)學(xué)思考：學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，得到添加輔助線的方法，通過(guò)添加輔助線證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的邏輯推理能力。數(shù)學(xué)語(yǔ)言：學(xué)生利用全等三角形的性質(zhì)證明定理1和定理2、利用等腰三角形的性質(zhì)（意識(shí)到定理1可以實(shí)現(xiàn)從邊相等轉(zhuǎn)化為角相等）用符號(hào)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程體現(xiàn)了應(yīng)用意識(shí)、模型觀念。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入1.前面我們學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)的知識(shí)，請(qǐng)你結(jié)合具體的例子，說(shuō)說(shuō)三角形的性質(zhì)。2.畫(huà)圖說(shuō)明什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？你能說(shuō)出一些軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)嗎？3.滿(mǎn)足什么條件的三角形是等腰三角形？等腰三角形是特殊的三角形，顯然它具有一般三角形所有的性質(zhì)，這節(jié)課我們就來(lái)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)探究它的一些特殊性質(zhì)。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明確三角形的研究對(duì)象和圖形的研究套路：一般→特殊，對(duì)于等腰三角形的性質(zhì)是通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)進(jìn)行探究的，通過(guò)復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生初步感知知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。二、探究活動(dòng)要探究等腰三角形的性質(zhì)，需要先得到一個(gè)等腰三角形模型?；顒?dòng)：把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，把它展開(kāi)，得到三角形。問(wèn)題：得到的三角形有什么特點(diǎn)？追問(wèn)1：說(shuō)出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角。追問(wèn)2：說(shuō)出三角形的對(duì)稱(chēng)軸。教師畫(huà)出圖形，結(jié)合學(xué)生手中的等腰三角形紙片，觀察圖形，繼續(xù)深入思考：追問(wèn)3：還可以怎么描述對(duì)稱(chēng)軸呢？為什么？追問(wèn)4：還有哪些相等的線段或角？追問(wèn)5：我發(fā)現(xiàn)你們所得到的三角形形狀和大小都不同，再次觀察手中的等腰三角形紙片，你們是否有相同的發(fā)現(xiàn)呢？追問(wèn)6：根據(jù)以上分析，你能得出什么結(jié)論？并把你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用不同的方式表達(dá)出來(lái)。設(shè)計(jì)意圖：①激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步探究新知的欲望與熱情；②鞏固等腰三角形的概念；③由于剪的過(guò)程中，折痕兩側(cè)能夠互相重合，因此得到的等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且留下折痕，為進(jìn)一步提出猜想鋪墊；④通過(guò)將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，提升抽象能力。三、證明猜想我們不可能剪出所有的等腰三角形，因此接下來(lái)我們要做什么？問(wèn)題1：如何證明文字命題：等腰三角形的兩個(gè)底角相等？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將文字語(yǔ)言利用圖形轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC。求證：∠B=∠C。追問(wèn)1：如何證明∠B=∠C？追問(wèn)2：你是怎么想到的？師生活動(dòng)：小組交流后，學(xué)生表達(dá)自己的想法，師生共同書(shū)寫(xiě)解題格式、定理的符號(hào)語(yǔ)言。在同一個(gè)三角形中，可以由邊的相等直接轉(zhuǎn)化為角的相等，這為證明角度相等提供了新的方法。設(shè)計(jì)意圖：①示范格式步驟；②引導(dǎo)學(xué)生回顧操作過(guò)程，感悟添加輔助線的方法，突破難點(diǎn)，提升學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。問(wèn)題2：由上面的證明，你又可以得到哪些相等的線段和角？你有什么發(fā)現(xiàn)？由兩個(gè)三角形全等，很容易找到其它相等的線段和角。設(shè)計(jì)意圖：利用定理1的證明過(guò)程證明定理2，培養(yǎng)語(yǔ)言表達(dá)能力。問(wèn)題3：怎么理解等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊？（“三線合一”）“三線合一”是證明角度相等、線段相等、兩條直線互相垂直的重要方法，也是等腰三角形添加輔助線實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要定理，因此需要從三個(gè)命題去理解，師生一起寫(xiě)出符號(hào)語(yǔ)言。問(wèn)題4：我們知道，等邊三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形所有的性質(zhì)，它還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理1，可以得到等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和180°，可以得到每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。對(duì)于等邊三角形的性質(zhì)的探究延續(xù)了本節(jié)課的研究方向：一般→特殊，進(jìn)一步使學(xué)生感悟幾何圖形的研究方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。四、運(yùn)用新知例1：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E是底邊上兩點(diǎn)，且BD=AD，CE=AE。求∠DAE的度數(shù)。問(wèn)題1：你能求出哪些角的度數(shù)?問(wèn)題2：如果沒(méi)有AB=AC這個(gè)條件，還能求出∠DAE的度數(shù)嗎？問(wèn)題3：在等腰三角形的條件下，已知其中一個(gè)內(nèi)角，我們可以怎么求其它內(nèi)角的度數(shù)？師生活動(dòng)：師生共同分析，一位學(xué)生板書(shū)，其他學(xué)生在下面書(shū)寫(xiě)，師生共同分析解題過(guò)程中的問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：已知的是邊的關(guān)系，要求的是角度，學(xué)生自然想到定理1的作用（實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化），結(jié)合三角形內(nèi)角和180°、三角形的外角的性質(zhì)等求出角度進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、應(yīng)用意識(shí)、模型觀念。變式1：已知：如圖，D、E是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，若BD=AD=AE=DE=CE,求∠BAC的度數(shù)。變式2：如圖所示，已知點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE.求證：BD＝CE.證明線段的相等通常采用全等的方法，這道題可以用全等，也可以用等腰三角形的性質(zhì)定理，也可以用后續(xù)的等腰三角形的判定定理，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度的思考，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。追問(wèn)：遇到等腰三角形的問(wèn)題，我們可以怎么添加輔助線？生活問(wèn)題：用等腰直角三角板檢驗(yàn)邊框是否水平？設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用等腰三角形的基本性質(zhì)解決真實(shí)情境中的簡(jiǎn)單問(wèn)題，發(fā)展模型觀念，提高學(xué)生規(guī)范表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力和應(yīng)用意識(shí)。五、課堂小結(jié)問(wèn)題1：回顧我們這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們用什么方法得到等腰三角形的性質(zhì)的？問(wèn)題2：我們是怎么證明定理1的？問(wèn)題3：以后遇到等腰三角形的問(wèn)題，我們可以怎么添加輔助線？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧本節(jié)課從定義到運(yùn)用的過(guò)程，感悟研究圖形的性質(zhì)的一般研究方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。六、布置作業(yè)必做題：133-134面練習(xí)1、2、3；139面習(xí)題15.32、3；選做題：1.查閱水平儀相關(guān)資料；2.探究不等邊三角形的性質(zhì)。必做題鞏固本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，選做題的第1題通過(guò)了解數(shù)學(xué)文化，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，第2題通過(guò)本節(jié)課基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累進(jìn)行自主探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。七、設(shè)計(jì)教學(xué)反思本節(jié)課的重點(diǎn)是運(yùn)用已學(xué)知識(shí)探究等腰三角形特殊的性質(zhì)，難點(diǎn)是從實(shí)驗(yàn)操作中感悟添加輔助線的方法，為了抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，將本節(jié)課設(shè)置了“復(fù)習(xí)引入，探究活動(dòng)，提出猜想，證明猜想，運(yùn)用新知，課堂小結(jié)，布置作業(yè)”等環(huán)節(jié)。本節(jié)課從學(xué)生就近的知識(shí)出發(fā)，回顧了三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的相關(guān)概念，這為探究等腰三角形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)等提供了基礎(chǔ)，探究活動(dòng)分成兩部分，首先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)剪出一個(gè)等腰三角形，通過(guò)觀察，得到了對(duì)稱(chēng)軸是折痕所在的直線、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，進(jìn)一步在圖形中研究“折痕”，建立起三