保險(xiǎn)精算第1章利息理論基礎(chǔ)課件

第1章利息理論基礎(chǔ)1.1

1.2

ActuarialScience1.1利息度量1.1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率1.1.2單利和復(fù)利1.1.3名義利率和名義貼現(xiàn)率3利息所謂利息（Interest），是指在一定時(shí)期內(nèi)借款人向貸款人支付的使用資金的報(bào)酬。利息的實(shí)質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補(bǔ)償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的損失。

Interest利息t期積累函數(shù)（因子）總量函數(shù)t期折現(xiàn)函數(shù)（因子）

折現(xiàn)因子,記為

第n期利息0t1------------------------------------------------------------

-------------------------

1利息度量：計(jì)息時(shí)刻不同7實(shí)際利率與實(shí)際貼現(xiàn)率

某一度量期的實(shí)際利率（Effectiveannualrate）是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時(shí)投入的本金金額之比。通常用字母表示。

一個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得到的利息金額與期末投資可回收金額之比。通常用字母表示。實(shí)際利率與實(shí)際貼現(xiàn)率的定義十分類似，都是用來度量利息的。9實(shí)際利率與實(shí)際貼現(xiàn)率

用表示從投資日算起的第個(gè)度量期的實(shí)際利率，則：用表示從投資日算起的第個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率，則：其中，為大于等于1的整數(shù)其中，為大于等于1的整數(shù)應(yīng)用實(shí)例

例某人存1000元進(jìn)入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年存款余額為1050元，求、、、分別等于多少？解則10利息度量：積累方式不同13單利與復(fù)利

單利計(jì)息時(shí)，第期的實(shí)際利率為：結(jié)論：關(guān)于單調(diào)遞減，即常數(shù)的單利意味著遞減的實(shí)際利率。14單利與復(fù)利

復(fù)利計(jì)息時(shí)，第期的實(shí)際利率為：結(jié)論：關(guān)于為常數(shù)，即常數(shù)的復(fù)利意味著恒定的實(shí)際利率。單利與復(fù)利對(duì)單利來講，利息并不作為投資資金而再賺取利息；對(duì)復(fù)利來講，在任何時(shí)候，本金和到該時(shí)為止得到的利息，總是用來投資以賺取更多的利息。時(shí)，相同單復(fù)利場(chǎng)合，單利計(jì)息比復(fù)利計(jì)息產(chǎn)生更大的積累值，即。所以短期業(yè)務(wù)一般單利計(jì)息。時(shí)，相同單復(fù)利場(chǎng)合，復(fù)利計(jì)息比單利計(jì)息產(chǎn)生更大的積累值，即。所以長(zhǎng)期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計(jì)息。15利息度量：轉(zhuǎn)換頻率不同18名義利率與名義貼現(xiàn)率

“實(shí)際”一詞的主要含義在于，利息為每個(gè)度量期支付一次，或在期初，或在期末，視具體情況而定。然而，實(shí)際上有很多在一個(gè)度量期中利息支付不止一次或在多個(gè)度量期利息才支付一次的情形。這時(shí)，我們稱相應(yīng)的一個(gè)度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義”的。19名義利率與名義貼現(xiàn)率

用符號(hào)記每一度量期支付次利息的名義利率。所謂名義利率（Nominalinterest）是指每個(gè)度量期支付利息一次，而在每個(gè)度量的實(shí)際利率為。即每一個(gè)度量期的名義利率等價(jià)于每度量期的實(shí)際利率。21名義利率與名義貼現(xiàn)率

用符號(hào)記每一度量期支付次利息的名義貼現(xiàn)率。所謂名義貼現(xiàn)率是指每個(gè)度量期支付利息一次，而在每個(gè)度量的實(shí)際利率為。即每一個(gè)度量期的名義利率等價(jià)于每度量期的實(shí)際利率。22名義利率與名義貼現(xiàn)率時(shí)間點(diǎn)01/m…(m-2)/m(m-1)/mm/m=1貼現(xiàn)…余額…123名義利率與名義貼現(xiàn)率應(yīng)用實(shí)例

例求1萬元按每年計(jì)息4次的年名義利率6%投資3年的積累值。解25元26利息力

在很多情況下，需要度量在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的利息，也就是在無窮小時(shí)間區(qū)間上的利息。這種對(duì)利息在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的度量稱為利息力（或利息強(qiáng)度）。

假設(shè)在時(shí)刻的資金總量由總量函數(shù)給出，這筆資金完全由于利息而變化，即本金既不增加也不撤回。

定義

式中，為該投資額在時(shí)的利息強(qiáng)度。

29年金年金（Annuity）是指按照相等時(shí)間間隔支付的一系列款項(xiàng)。Annuity期末付年金31期末付年金在每個(gè)付款期間末付款的年金為期末付年金。假設(shè)一筆年金，付款期限為期，每期期末付款額為1，每期利率為，各期付款如下0

1

2

3

…

1

1

1

…111

時(shí)間付款額期末付年金0

1

2

3

…

1

1

1

…111

時(shí)間付款額0

1

2

3

…

1時(shí)間每年所得32期末付年金0

1

2

3

…

1

1

1

…111

時(shí)間付款額330

1

2

3

…

1時(shí)間每年所得期末付年金等式兩側(cè)同時(shí)乘以34期末付年金經(jīng)濟(jì)含義：各期期末投資本金為1的年金積累制有兩種算法。一種是各期期末投資本金為1，直接積累到期期末，求和即為（公式左邊）；一種是先求出各期期末投資本金為1的年金現(xiàn)值，即，作為時(shí)刻0的一次性投資，以復(fù)利計(jì)算，求出期期末的積累值，即。兩種計(jì)算結(jié)果相同。35應(yīng)用實(shí)例

例計(jì)算年利率為6%的條件下，每年年末投資1000元，投資10年的現(xiàn)值及積累值。解元元年金現(xiàn)值年金積累值36應(yīng)用實(shí)例

例某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后得到10000元，在月復(fù)利為0.5%的情況下，問每月末需存入多少錢才能達(dá)到其目的。解元設(shè)每月需存入D元，有則：37期初付年金39期初付年金在每個(gè)付款期間開始時(shí)付款的年金為期初付年金。假設(shè)一筆年金，付款期限為期，每期期初付款額為1，每期利率為，各期付款如下0

1

2

3

…

1

1

1

1…11

時(shí)間付款額期初付年金0

1

2

3

…

1時(shí)間每年所得400

1

2

3

…

1

1

1

1…11

時(shí)間付款額期初付年金0

1

2

3

…

1

1

1

1

…11時(shí)間付款額410

1

2

3

…

1時(shí)間每年所得期初付年金等式兩側(cè)同時(shí)乘以42期初付年金43期初付年金44應(yīng)用實(shí)例

例某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后得到10000元，在月復(fù)利為0.5%的情況下，問每月初需存入多少錢才能達(dá)到其目的。解元元設(shè)每月需存入D元，有則：45連續(xù)年金47連續(xù)年金付款頻率無限大（即連續(xù)付款）的年金稱為連續(xù)年金。

連續(xù)付款個(gè)計(jì)息期，每個(gè)計(jì)息期的付款額之和為1。

0

1

2

3

…

1

1

1

…11

時(shí)間付款額連續(xù)年金480

1

2

3

…

1

1

1

…11

時(shí)間付款額年金現(xiàn)值式中，為時(shí)刻到時(shí)刻0的折現(xiàn)因子；為時(shí)刻的付款額；為時(shí)刻的付款額在時(shí)刻0的現(xiàn)值。連續(xù)年金490

1

2

3

…

1