開平方法教學設計

2022年安徽省初中數(shù)學青年我2022年安徽省初中數(shù)學青年我優(yōu)質課評比安徽省滁州市東坡中學年安徽省初中數(shù)學青年教師優(yōu)質課評比第十七章一元二次方程117.2.1一元二次方程的解法（1）——開平方法（義務教育教科書上?？茖W技術出版社八年級數(shù)學下冊第十七章第二節(jié)）安徽省滁州市東坡中學穆玲燕一、教材分析1.教材的內容與地位本節(jié)課的教學內容選自滬科版數(shù)學八年級下冊第十七章《一元二次方程》第二節(jié)“一元二次方程的解法”第一課時，是一元二次方程解法的起始課.開平方法是一元二次方程的基本解法.也是后面配方法的基礎；同時這一節(jié)在教材編寫中還突出體現(xiàn)了換元、轉化、類比等重要的數(shù)學思想方法.因此這一節(jié)不僅是為后續(xù)學習打下堅實基礎的一節(jié)課，更是讓學生體驗并逐步掌握相關數(shù)學思想方法的一節(jié)課.開平方法概念2.單元知識結構開平方法概念配方法配方法根的判別式公式法解法一元二次方程根的判別式公式法解法一元二次方程因式分解法根與系數(shù)的關系因式分解法根與系數(shù)的關系應用應用二、學情分析學生已經(jīng)學習一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程的有關內容，了解平方根的概念、平方根的性質，對一元二次方程的概念也有了初步的認識，也具備一定的合作學習能力和經(jīng)驗.但在運用相關知識解方程時，易計算錯誤，對解方程中的化歸思想雖然有所體會但還不夠深刻.三、教學目標（1）了解形如x2=a(a≥0)或（x+h）2=k(k≥0)類型的方程，并會用開平方法求解.知道開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根定義.（2）類比二元一次方程組、分式方程的解法探究一元二次方程的解法，感受類比和轉化的數(shù)學思想.（3）學生在知識的探索過程中，體驗成功的喜悅，增強學習數(shù)學的興趣,建立自信心.四、教學重難點教學重點：會用開平方法解一元二次方程.教學難點：會用開平方法求解形式為(x+h)2=k(k≥0)的一元二次方程，掌握在解方程過程中所蘊含的類比、轉化等重要的數(shù)學思想.五、教學方法教法：探究法、討論法、練習法.學法：自主探究、合作交流、動手實踐.六、教學過程活動一、復習回顧，整體認知問題1：我們已經(jīng)學過哪些方程（組）？學生回顧：一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程.教師追問：你會解這些方程或方程組嗎？體會方程之間的結構和關聯(lián)，并方程的內容進行整體性認知，培養(yǎng)學生用整體觀念研究問題的意識，發(fā)展數(shù)學思維品質.同時，啟發(fā)學生想到類比前面學習方程的經(jīng)驗和方法進行一元二次方程的學習，取得事半功倍的效果.問題2：如何解下列方程（組）（1）(2)學生自主完成解題過程后，進行展示.教師點評，并進行追問.追問1：第一題，解方程組時，①+②的目的是什么？因為方程組中未知數(shù)不止一個，所以①+②的目的是消去未知數(shù)y,即通過消元，把二元一次方程組轉化為一元一次方程:2x=6追問2：第二題，解分式方程時，方程兩邊同乘（x+1）的目的是什么？因為分母中含有未知數(shù)，所以等式兩邊同乘最簡公分母的目的是去分母，通過化整，把分式方程轉化為一元一次方程2-（x+1）=0，再根據(jù)等式的基本性質將一元一次方程化歸為x=a的形式.教師強調：因為等式兩邊同乘不為0的數(shù)，等式仍然成立.所以分式方程求解后要進行檢驗.追問3：根據(jù)剛才的做題經(jīng)驗，你知道解二元一次方程組、分式方程的一般思路是什么？運用的數(shù)學思想又是什么？生：一般思路都是將二元一次方程組和分式方程轉化為一元一次方程，進而化歸為x=a的形式，即求出方程的解.運用了轉化的數(shù)學思想.二元一次方程組和分式方程解法的過程中，引導學生發(fā)現(xiàn)消元目的是把二元一次方程組轉化為一元一次方程、化整目的是把分式方程轉化為一元一次方程，從而都轉化為求解一元一次方程，進而化歸為x=a的形式.讓學生充分體驗解方程或方程組的一般思路和方法，為探究一元二次方程的解法指明方向，積累探究經(jīng)驗.活動二、合作交流，探究新知師：根據(jù)前面學習方程的一般路徑，上一節(jié)課我們已經(jīng)學習了一元二次方程的概念，那接下來要學習什么呢？學生：學習一元二次方程的解法.板書課題：一元二次方程的解法（1）.問題3：如何解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)？師：“你會解這個一元二次方程嗎？有什么麻煩嗎？”.學生反饋問題后，教師進行追問追問：“我們能否從特殊情形進行探索呢？你能說出哪些簡單特殊的一元二次方程？”.學生活動：探究、討論，嘗試列舉出方程.教師活動：從列舉的方程中選一個方程（比如：方程x2=1），進行提問：“你打算如何解這個方程”？問題4：如何解一元二次方程x2=1？思考：結合前面解二元一次方程組和分式方程的一般思路，能不能把一元二次方程轉也化為一元一次方程來求解呢？學生活動：思考，嘗試解方程，并說一說解題思路.學生思路1：移項得x2-1=0，再把x2-1進行因式分解，得到(x+1)(x-1)=0，根據(jù)有理數(shù)乘法法則，得到x+1=0，x-1=0，方程得解.學生思路2：根據(jù)平方根的意義，進行開平方，得到x=±1，方程得解.師：方程x2=1中未知數(shù)的次數(shù)是幾？生：是2次.師：x=±1中未知數(shù)的次數(shù)又是幾？生：是1次.教師追問：這兩種解法有什么相同點和不同點？解一元二次方程的方法是什么呢？生:相同點都是把一元二次方程轉化為一元一次方程.不同點是轉化的方法不同.學生總結：可以通過因式分解或開平方把一元二次方程進行降次，從而轉化為一元一次方程來求解.教師適時指出，本節(jié)課重點研究開平方的解法，因式分解的方法后續(xù)再研究.板書課題：開平方法學生活動：交流什么是開平方法解一元二次方程.追問：在方程x2=1的基礎上，你還能寫出哪些可以用開平方法解的方程呢？學生活動：從特殊情形方程x2=1出發(fā)，以小組合作、探究的模式進行進行逆向思考，由簡到繁的進行變形，探究出各種可以用開平方法解的方程.，降低探究的難度，符合“特殊與一般”的數(shù)學思想方法.從學生已具備的知識經(jīng)驗出發(fā)，鼓勵學生嘗試用不同的方法轉化、降次求解，實現(xiàn)知識的遷移生長.鼓勵學生進行逆向思考，以培養(yǎng)學生的推理能力、應用意識和創(chuàng)新意識.活動三、學以致用，鞏固新知從學生變形所得的方程中選出兩個具有代表性的方程進行鞏固練習（比如：方程4x2-1=0；x-12=1）用直接開平方法解下列方程.（1）4x2-1=0；（2）x-12=1引導：這兩個方程有什么特點？能直接開平方嗎？如果不能直接開平方，你打算怎么辦？學生活動：自主探究，通過移項、系數(shù)化為1等過程，把方程轉化為左邊是完全平方，右邊是一個常數(shù)的形式，進而利用開平方法求解.并獨自完成解題過程.教師活動：全程關注學生的思考有無阻礙，轉化是否有錯，并規(guī)范解題過程.指出開平方后得到兩個一元一次方程，以及第2題用了整體思想.追問：能用開平方法解的一元二次方程有什么特點？學生：方程可以變成等號左邊是一個數(shù)的平方，右邊是一個常數(shù)的形式.兩個方程在經(jīng)過簡單的變形后，可以用開平方法求解，由易到難，有一定梯度，利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質，體會整體、轉化的數(shù)學思想方法.同時幫助學生梳理總結，養(yǎng)成良好的學習習慣.活動四、深入探究，應用提升問題5：如何解方程（x+h)2=k(h、k為常數(shù))？思考：1.這個方程有什么特點？能直接開平方嗎？2.x+h是k的平方根嗎？如果不是，需要滿足什么條件才成立？3.k值不確定的情況下該如何解方程？學生活動：回憶平方根定義.根據(jù)平方根定義，進分類討論，在k﹥0、k=0，k﹤0三種情況下分別解方程.教師活動：關注學生的表現(xiàn)，適時點撥、引導.總結：k﹥0時，方程有兩個不相等的根；k=0時方程有兩個相等的根；k﹤0時，方程無實數(shù)根..運用整體思想和分類討論思想分析解決問題，培養(yǎng)學生良好的思考習慣.初步體會一元二次方程根的三種情況.活動五、梳理總結，反思評價1.如何解一元二次方程呢？說說你的想法.2.任何一個一元二次方程都可以用開平方法來解嗎？3.能用開平方法解的一元二次方程有什么特點？4.開平方法解方程時要注意什么？5.本節(jié)課運用了哪些數(shù)學思想？6.你能借助開平方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)？用問題串的形式引領學生回顧思維歷程，梳理知識方法，進行反思評價，意在建立數(shù)學知識結構，發(fā)展整體性思維和核心素養(yǎng).最后一問是讓學生思考和嘗試如何把一般形式的一元二次方程變形轉化為能用開平方法解的形式，為下一節(jié)引出配方法做準備.活動六、布置作業(yè)，分層減負1.必做題2.選做題（1）（1）（2）（2）（3）（3）設計分層作業(yè)，使不同層次的學生都能得到發(fā)展，獲得