離散系統(tǒng)的數(shù)學模型

本文格式為Word版，下載可任意編輯——離散系統(tǒng)的數(shù)學模型6.4離散系統(tǒng)的數(shù)學模型

為研究離散系統(tǒng)的性能，需要建立離散系統(tǒng)的數(shù)學模型。線性離散系統(tǒng)的數(shù)學模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達式三種。本節(jié)主要介紹差分方程及其解法，脈沖傳遞函數(shù)的定義，以及求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的方法。有關(guān)離散狀態(tài)空表達式及其求解，將在第8章介紹。

6.4.1線性常系數(shù)差分方程及其解法

對于線性定常離散系統(tǒng)，k時刻的輸出c(k)，不但與k時刻的輸入r(k)有關(guān)，而且與k時刻以前的輸入r(k?1),r(k?2),?有關(guān)，同時還與k時刻以前的輸出c(k?1),c(k?2),?有關(guān)。這種關(guān)系

一般可以用n階后向差分方程來描述，即

nmc(k)???aic(k?i)?i?1?bj?0jr(k?j)(6-34)

式中，ai，i=1，2，…，n和bj，j＝0，1，…，m為常系數(shù)，m?n。式(6-34)稱為n階線性常系數(shù)差分方程。

線性定常離散系統(tǒng)也可以用n階前向差分方程來描述,即

nmc(k?n)???aic(k?n?i)?i?1?bj?0jr(k?m?j)(6-35)

工程上求解常系數(shù)差分方程尋常采用迭代法和z變換法。1.迭代法

若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且給定輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計算機上通過迭代一步一步地算出輸出序列。例6-10已知二階差分方程

c(k)?r(k)?5c(k?1)?6c(k?2)

輸入序列r(k)?1，初始條件為c(0)?0,解根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得

c(0)?0c(1)?1

試用迭代法求輸出序列c(k)，k?0,1,2,3,4,5,?。c(1)?1，

c(2)?r(2)?5c(1)?6c(0)?6c(3)?r(3)?5c(2)?6c(1)?25c(4)?r(4)?5c(3)?6c(2)?90c(5)?r(5)?5c(4)?6c(3)?301

?

2.z變換法

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設(shè)差分方程如式(6-34)所示，對差分方程兩端取z變換，并利用z變換的實數(shù)位移定理，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解C(z)取z反變換，可求得輸出序列c(k)。例6-11試用z變換法解以下二階差分方程：

c(k?2)?2c(k?1)?c(k)?0

設(shè)初始條件c(0)?0,c(1)?1。

解對差分方程的每一項進行z變換，根據(jù)實數(shù)位移定理：

222Z[c(k?2)]?zC(z)?zc(0)?zc(1)?zC(z)?z

Z[?2c(k?1)]??2zC(z)?2zc(0)??2zC(z)

Z[c(k)]?C(z)

于是，差分方程變換為關(guān)于z的代數(shù)方程

(z2?2z?1)C(z)?z

解出

C(z)?zz?2z?12?z(z?1)2

查z變換表，求出z反變換

?c(t)?*?n?(t?n)

n?0差分方程的解，可以提供線性定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出響應(yīng)序列特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對離散系統(tǒng)性能的影響。因此，需要研究線性定常離散系統(tǒng)的另一種數(shù)學模型--脈沖傳遞函數(shù)。

6.4.2脈沖傳遞函數(shù)

1.脈沖傳遞函數(shù)定義

設(shè)離散系統(tǒng)如圖6-13所示，假使系統(tǒng)的輸采樣信號r(t)的z變換函數(shù)為R(z)，系r(t)，

的輸出為c(t)，采樣信號c(t)的z變換函數(shù)為性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為：在零初系統(tǒng)輸出采樣信號的z變換C(z)與輸入采樣信號

R(z)之比，記作

?**入信號為統(tǒng)連續(xù)部分

圖6-13開環(huán)采樣系統(tǒng)

C(z)，則線

始條件下，的z變換

G(z)?C(z)R(z)?c(nT)z?n?0??n(6-36)

?n?r(nT)zn?0所謂零初始條件，是指在t?0時，輸入脈沖序列各采樣值r(?T),r(?2T),?以及輸出脈沖序列各采樣值

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c(?T),c(?2T),?均為零。

式(6-36)說明，假使已知R(z)和G(z)，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號為

c(nT)?Z?1[C(z)]?Z?1[G(z)R(z)]

輸出是連續(xù)信號c(t)的狀況下，如圖6-14所系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個開關(guān)，如圖中虛線所示，它與開關(guān)同步工作，具有一致的采樣周期。假使系統(tǒng)的

*c(t)比較平滑，且采樣頻率較高，則可用c(t)近似

示?？梢栽谳斎氩蓸訉嶋H輸出描述c(t)。了脈沖傳

圖6-14開環(huán)采樣系統(tǒng)

必需指出，虛設(shè)的采樣開關(guān)是不存在的，它只說明遞函數(shù)所能描述的只是輸出連續(xù)函數(shù)c(t)在采樣時刻的離散值c*(t)。

2.脈沖傳遞函數(shù)的性質(zhì)

（1）脈沖傳遞函數(shù)是復(fù)變量z的復(fù)函數(shù)（一般是有理分式）；（2）脈沖傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)；（3）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的差分方程有直接關(guān)系；（4）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列的z變換；（5）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在z平面上有對應(yīng)的零、極點分布。3.由傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)G(s)的拉式反變換是單位脈沖函數(shù)k(t)，將k(t)離散化得到脈沖響應(yīng)序列k(nT)，將

k(nT)進行z變換可得到G(z)，這一變換過程可表示如下：

G(s)?L[G(s)]?k(t)?離散化?1k(t)?k(nT)?Z[k(nT)]?G(z)

上述變換過程說明，只要將G(s)表示成z變換表中的標準形式，直接查表可得G(z)。

由于利用z變換表可以直接從G(s)得到G(z)，而不必逐步推導，所以常把上述過程表示為

G(z)?Z[G(s)]，并稱之為G(s)的z變換。這一表示應(yīng)理解為根據(jù)上述過程求出G(s)所對應(yīng)的G(z)，

而不能理解為G(z)是對G(s)直接進行z變換的結(jié)果。

例6-12采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-15所示。⑴求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；⑵寫出系統(tǒng)的差分方程；⑶畫出系統(tǒng)的零極點分布圖。解⑴系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

G(z)?Z[1s(s?1)]?(1?e?T圖6-15采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

)0.632z?1?2?1)z?T(z?1)(z?e?

?0.368z?0.632zz?1.368z?0.36821?1.368z

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⑵根據(jù)G(z)??1C(z)R(z)?0.632z1?1.368z?2?1?0.368z?1?2，有

圖6-16零極點圖

(1?1.368z?0.368z)C(z)?0.632zR(z)

等號兩端求z反變換可得系統(tǒng)差分方程

c(k)?1.368c(k?1)?0.368c(k?2)?r(k?1)

⑶系統(tǒng)零極點圖如圖6-16所示。

6.4.3開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

當開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖6-17所示，在兩個串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間，有理想采樣開關(guān)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，有

Q(z)?G1(z)R(z),C(z)?G2(z)Q(z)

其中，G1(z)和G2(z)分別為G1(s)和G2(s)的脈沖傳遞函數(shù)。于是有

C(z)?G2(z)G1(z)R(z)

因此，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

G(z)?C(z)R(z)?G1(z)G2(z)(6-37)

式(6-37)說明，由理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。這一結(jié)論，可以推廣到n個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時的情形。

圖6-17環(huán)節(jié)間有理想采樣開關(guān)的串聯(lián)開環(huán)離散系統(tǒng)

2.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖6-18所示，在兩個串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間沒有理想采樣開關(guān)隔開。此時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s)?G1(s)G2(s)

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圖6-18環(huán)節(jié)間無理想采樣開關(guān)的串聯(lián)離散系統(tǒng)

將它當作一個整體一起進行z變換，由脈沖傳遞函數(shù)定義G(z)?C(z)R(z)?Z?G1(s)G2(s)??G1G2(z)(6-38)

式(6-38)說明，沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的相應(yīng)z變換。這一結(jié)論也可以推廣到類似的n個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時的情形。

顯然，式(6-37)與(6-38)不等，即

G1(z)G2(z)?G1G2(z)(6-39)

例6-13設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖6-17、圖6-18所示，其中，G1(s)?1/s,G2(s)?a/(s?a)，輸入信號

r(t)?1(t)，試求兩種系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)和輸出的z變換C(z)。

解查z變換表，輸入r(t)?1(t)的z變換為

R(z)?對如圖6-17所示系統(tǒng)

zz?1

1zG1(z)?Z[]?sz?1G2(z)?Z[因此

as?a]?azz?e?aT