走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析

走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析/走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院06級本科生(510631)黃澤君編者按：由中國教育部國際溝通司與師范司，以及東芝企業(yè)共同舉辦的第二屆“東芝杯·中國師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生講課技術(shù)創(chuàng)新實踐大賽”2009年11月15日在上海落下帷幕。經(jīng)過緊張的數(shù)學(xué)模擬講課、講課方案評選、即席演講三項總決賽，最后華南師范大學(xué)的黃澤君奪得冠軍，南京師范大學(xué)的向坤獲亞軍，陜西師范大學(xué)的金濤獲季軍。三名獲獎選手每人除了獲獎賞高級筆錄本電腦一臺以外，并獲取免費赴日進(jìn)行短期訪學(xué)。本刊登載獲取第一名的講課方案,以饗讀者?！窘滩摹咳私贪鏀?shù)學(xué)必修①3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用【課時安排】第4課時【講課對象】高一學(xué)生【講課教師】華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院黃澤君【教材分析】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有對數(shù)學(xué)建模的課時和內(nèi)容作詳細(xì)安排，但是建議將數(shù)學(xué)建模穿插在有關(guān)模塊的講課中。而“3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用”一節(jié)但是經(jīng)過六個例子介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解決實詰問題中的作用，為此后的數(shù)學(xué)建摸實踐打基礎(chǔ)，還未能使學(xué)生真切理解數(shù)學(xué)建模的真切全過程。本節(jié)課經(jīng)過一個較為真切的數(shù)學(xué)建模事例，以填補教材的這一不足?！緦W(xué)情分析】高一學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)以前，需要熟習(xí)前面已學(xué)過的二次函數(shù)與三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)?！局v課目的】知識與技術(shù)1）初步理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個見解；2）掌握框圖2——數(shù)學(xué)建模的過程。過程與方法1）經(jīng)歷解決實詰問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；2）提升學(xué)生經(jīng)過成立函數(shù)模型解決實詰問題的能力。感神情度價值觀1）體驗將實詰問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識題的數(shù)學(xué)化過程；2）感覺數(shù)學(xué)的適用價值，加強應(yīng)企圖識；（3）領(lǐng)悟數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的魅力?！局v課要點】框圖2——數(shù)學(xué)建模的過程?！局v課難點、要點】方案二中答案的研究；要點是運用合情推理?！局v課方法】指引研究、討論溝通。【講課手段】計算機、PPT、幾何畫板。【講課過程設(shè)計】一、講課流程設(shè)計設(shè)計企圖：與大學(xué)數(shù)學(xué)建模比較，過去的中學(xué)實詰問題化為數(shù)學(xué)建模缺乏理想化（模型假定）這一重要的設(shè)計企圖：展現(xiàn)將理想化問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識題理想化問題化為的數(shù)學(xué)化過程。求解數(shù)學(xué)模型設(shè)計企圖：展現(xiàn)“解模”過程。數(shù)學(xué)建模過程最優(yōu)解的研究什么是牛刀小試小結(jié)與思慮

設(shè)計企圖：聯(lián)合這一實詰問題的解決過程，歸納出數(shù)學(xué)建設(shè)計企圖：1.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化過程；設(shè)計企圖：1.使學(xué)生獲取科學(xué)的數(shù)學(xué)建模理論：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型的見解、數(shù)學(xué)建模的詳細(xì)過程；設(shè)計企圖：1.依據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的加強原理設(shè)設(shè)計企圖:1.小結(jié)意在加強數(shù)學(xué)建模理論，形成知識組塊；二、講課過程設(shè)計講課

教師

學(xué)生

設(shè)計教

學(xué)

內(nèi)

容環(huán)節(jié)

活動

活動

意圖現(xiàn)有寬為a的長方形板材，請將它設(shè)計制（一）成向來的張口的長條形水槽，使水槽能經(jīng)過的流水量最大。實質(zhì)教師學(xué)生與大學(xué)問題指引聽講數(shù)學(xué)建化為學(xué)生思慮模比較，理想閱讀過去的化問理解中學(xué)數(shù)題1.初步理想化問題學(xué)建模估計在單位時間內(nèi)，該水槽能經(jīng)過的流水量取，缺乏理時間決于水流速度和它的橫截面積。我們將問題并將想化這2理想化，假定水流速度是必定的。那么，要其理一重要分鐘在單位時間內(nèi)獲取最大的流水量，就應(yīng)當(dāng)將想化的環(huán)節(jié)。水槽設(shè)計成橫截面積最大。于是，問題化歸本環(huán)節(jié)為：意在恢現(xiàn)有寬為a的長方形板材，請將它設(shè)計制成復(fù)數(shù)學(xué)一張口的長條形水槽，使水槽的橫截面積最建模的大?！闭媲忻?.進(jìn)一步理想化目。假如將水槽的橫截面設(shè)計成矩形，那么這一實詰問題能夠轉(zhuǎn)變?yōu)槔硐牖瘑栴}：以以下列圖所示，要建筑一個橫截面為矩形ABCD的水槽,而且AB,BC,CD的長度之和等于a.問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計水槽的深度和寬度,使水槽的橫截面積最大?ADBC1.找尋變量以及變量之間的關(guān)系在此問題中，水槽的深度是一個變量，寬展示將（二）度是另一個變量，橫截面積也是一個變量。教師學(xué)生理想化設(shè)ABx，BCy.矩形ABCD的面積為S.指引聽講問題轉(zhuǎn)將理那么，這三個變量之間的關(guān)系是Sxy.解說思慮化為數(shù)想化變量S由兩個變量x和y確立.假如我們學(xué)識題問題能使面積S表達(dá)式只由一個變量確立，那么的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變我們研究的問題就能夠簡化，這就需要找尋化過程。為數(shù)兩個變量x和y之間的關(guān)系。明顯,學(xué)識2xya.題2.成立數(shù)學(xué)模型估計Sx(a2x)時間將實詰問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€純數(shù)學(xué)識題：3a）當(dāng)x取何值時，函數(shù)Sx(a2x)（0x分鐘.2有最大值？因為Sx(a2x)a22(xa)2a2，848（三）因此，當(dāng)xa時，S有最大值0.125a2.4此時，yaa2x.2求解數(shù)學(xué)模型當(dāng)水槽的橫截面設(shè)計成矩形時，只需將深度、寬度分別設(shè)計為a和a時，可獲取最大的橫42截面積，從而可獲取最大的流水量。解說數(shù)學(xué)結(jié)果可將上述數(shù)學(xué)建模的過程歸納為下邊的估計框圖1：時間2

教師學(xué)生展指引聽講示分析思慮解解說求解模模型過程分鐘實詰問題理想化問題找尋變量關(guān)系成立數(shù)學(xué)模型純數(shù)學(xué)識題聯(lián)合這（四）教師學(xué)生一實際求解數(shù)學(xué)模型指引聽講問題的數(shù)學(xué)解說思慮解決過建模解說數(shù)學(xué)結(jié)果程，歸納過程出數(shù)學(xué)建模的估計基本過時間程，以實2分現(xiàn)由具鐘.體到抽象的升華。（五）我們前面的設(shè)計是將橫截面設(shè)計成矩形，將深度、寬度分別設(shè)計為a和a時，可獲取教師學(xué)生1.讓學(xué)42最優(yōu)最大的橫截面積，將學(xué)著手生經(jīng)歷解的假如將水槽的橫截面分別依據(jù)以下列圖中的生疏研究數(shù)學(xué)建研究五種方案進(jìn)行設(shè)計，結(jié)果又如何呢？成五各自模中的估計個小的優(yōu)化過時間組，設(shè)計程；7并巡方案2.培育分鐘視指學(xué)生的導(dǎo)學(xué)探究意生解識。決問題.因為缺乏導(dǎo)數(shù)工具，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用察看、試算、估計、來探究方案二的答案.下邊，我們將全班分紅5個小組，分別研究五個方案的設(shè)計。最后派代表報告本小組的研究結(jié)果.方案一：S1x(ax)sin1x(ax)教師22a21(x1a)2a20.125a2.總結(jié)最優(yōu)822890，且x1a時，Smax0.125a2.討論解的當(dāng)2研究方案二：S1(2a2asin)acos最后2333總結(jié)a2教師(1sin)cos演示9數(shù)學(xué)估計（演示數(shù)學(xué)實驗）實驗發(fā)現(xiàn)時間30時，Smas0.144a2答案,7方案三（四個底角為67.5的等腰三角形）：并指出運分鐘S41aatan67.50.151a2.用導(dǎo)248數(shù)工方案四（五個底角為72的等腰三角形）：具可以證S51aatan720.154a2.明我2510們的答案方案五：是正確的.

學(xué)生通過觀代表察、試解說算、估計各自與數(shù)學(xué)方案實驗，培的答養(yǎng)學(xué)生案的合情推理能力和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力.ra,ra.S1r2a20.159a2.22經(jīng)過比較以上五種方案和橫截面設(shè)計為矩形時的狀況能夠得出，方案五是這個實質(zhì)問題的最優(yōu)解，即：將水槽的橫截面設(shè)計為半徑為a的半圓形時，從而可獲取最大的流水量。以上我們進(jìn)行了六種設(shè)計方案的研究后，才找到了該問題的最優(yōu)解。這就表示，數(shù)學(xué)建模需要對所獲取的結(jié)果進(jìn)行查驗討論，以確教師學(xué)生1.使學(xué)認(rèn)結(jié)果能否合理，是不是較好的結(jié)果。假如解說聽講生獲取（六）結(jié)果不滿意，就需要從頭回到“理想化問題”歸納思慮科學(xué)的這一環(huán)節(jié)。于是，我們就能夠歸納出一個較數(shù)學(xué)建什么為圓滿的數(shù)學(xué)建模過程的框圖。模理論：是框圖2：數(shù)學(xué)建數(shù)學(xué)模與數(shù)建模學(xué)模型的見解、估計數(shù)學(xué)建時間模的具6體過程；分鐘2.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的實詰問題從頭理想化理想化問題純數(shù)學(xué)識題求解數(shù)學(xué)模型結(jié)果不理想結(jié)果能否合理是問題獲取解決

找尋變量及關(guān)系成立數(shù)學(xué)模型

魅力；3.填補《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)的建模理論的不足。依據(jù)這個框圖，我們就能夠往返答什么是數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模(MathematicalModelling)：就是運用數(shù)學(xué)化的手段從實詰問題中提煉、抽象出一個數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，查驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，從而使這一實詰問題得以解決的過程。數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言符號來描繪客觀事物的特點及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)構(gòu)造表達(dá)式。比方，各樣函數(shù)、方程、不等式、不等式組等等都是比較常有的數(shù)學(xué)模型。世界上最簡單的數(shù)學(xué)模型是表示數(shù)的字母a.數(shù)學(xué)模型“a”有雙方面的含義：作為結(jié)果，她表示的是一個確立的數(shù)值，能夠參加運算；作為過程，她表示的是一個變量：小大由之；可正可負(fù)；能夠是有理數(shù)也能夠使無理數(shù)。因為數(shù)學(xué)模型擁有高度的抽象性、歸納性和構(gòu)造確實定性，因此數(shù)學(xué)模型能以不變應(yīng)萬變。不論是中文仍是英文，一個字所能表達(dá)的意義十分有限，但我們的數(shù)學(xué)模型“a”卻能夠表示無量無盡的對象——流動的世界。又比方說勾股定理，這一模型能夠用來辦理數(shù)以億計的實詰問題。從小到斜邊長為一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬八千里的直角三角形，只假如直角三角形，它們竟然都知足相同的構(gòu)造模型：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和.我不知道，這個世界上還有什么學(xué)科象數(shù)學(xué)這樣這樣簡短，這樣歸納，這樣一致。我只知道：“數(shù)學(xué)的魅力在于，她能以堅固的模式駕御流動的世界！”（七）牛刀小試估計時間14分鐘

以以下列圖，某房地產(chǎn)企業(yè)擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，邊長和方向以以下列圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積.北A100mE西東60m80mBC70mD數(shù)學(xué)實驗

1.依據(jù)練習(xí)律教師學(xué)生和強化解說著手原理，強說明解決化剛剛問題.問題獲取的最后數(shù)學(xué)建演示模理論；數(shù)學(xué)2.培育實驗.學(xué)生的問題解決能力。1.小結(jié)1.小結(jié)這節(jié)課，我們經(jīng)過解決一個實詰問題，意在強（八）帶大家走進(jìn)了數(shù)學(xué)建模世界。教師學(xué)生化數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模就是；解說內(nèi)化建模理小結(jié)數(shù)學(xué)模型就是；點化數(shù)學(xué)論，形成與數(shù)學(xué)建模的詳細(xì)過程.建模知識組課后我們還感覺到了理論塊；思慮“數(shù)學(xué)的魅力在于，2.設(shè)計她能以堅固的模式駕御流動的世界！”四個課估計2.課后思慮后思考時間（1）將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并察看思問題，目2考：周長為2a的凸多邊形，什么時候面積最大？教師學(xué)生的是培分鐘（2）家庭物理小實驗表現(xiàn)思慮養(yǎng)學(xué)生先將一條長度固定的嬌貴絲線的兩端連結(jié)起問題準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)來，再將此關(guān)閉的曲線輕輕放在一個蒙有肥皂膜的解決探究能正方形（邊長約5cm）鐵絲框上的肥皂膜上（注意，問題1:問題力、著手是讓學(xué)別弄破肥皂膜?。?，最后用小釘將曲線內(nèi)的肥皂膜刺生研究實踐能發(fā)現(xiàn)周問題2:破。你察看到什么現(xiàn)象，說了然什么問題？長必定讓學(xué)生力和數(shù)的凸多通過動邊形中手實踐學(xué)創(chuàng)新（3）請你幫助吉東皇后解決問題發(fā)現(xiàn)周，正多邊形的長一定意識。吉東是泰雅皇帝的女兒，歷經(jīng)周折，逃到非洲，的圖形面積最大.中，圓且成為迦太基的創(chuàng)始人和第一位奇怪的皇后。剛到的面積非洲時，吉東要在靠海岸線的地方購置“一張獸皮”最大.問題3：是等周問的土地：她把獸皮剪成細(xì)條，結(jié)成長繩，剩下的問題在解決實詰問題題是：怎么圍，才會獲取最多的土地呢？中的應(yīng)用.（4）用數(shù)學(xué)家的目光看世界問題4：是將平面音樂家關(guān)注聲響，文學(xué)家關(guān)注人性，而數(shù)學(xué)家內(nèi)的等周問題拓展則本能關(guān)注對象的數(shù)目關(guān)系、空間形式和構(gòu)造。用到了空間.數(shù)學(xué)家的目光看世界，就是從數(shù)學(xué)的角度察看，感受，認(rèn)識，描繪客觀對象，從而提出創(chuàng)辦性的問題。少兒嬉戲時吹出的肥皂泡，老是一個個在空中起舞的彩球；水銀落在桌面上，老是呈球形轉(zhuǎn)動；清早荷萍樹葉上的露珠，老是聚成一個個晶瑩剔透的水珠；冬日里為避寒而盤成一團(tuán)的看家狗。面對這些現(xiàn)象，物理學(xué)家想到了表面張力的作用。以數(shù)學(xué)家的目光，你看到了什么？你有什么勇敢的猜想？【板書設(shè)計】（此略）附：本講課方案的創(chuàng)新之處1.數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但卻沒有教材，沒有詳細(xì)內(nèi)容?！稑?biāo)準(zhǔn)》中建議由教師靈巧掌握，但教師們感覺不好掌握。本節(jié)課經(jīng)過一個較為真切的數(shù)學(xué)建模事例，彌補了教材與《標(biāo)準(zhǔn)》的這一不足，并充分圓滿了《標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)學(xué)建模理論。與大學(xué)數(shù)學(xué)建模比較，過去的中學(xué)數(shù)學(xué)建模缺乏理想化（模型假定）這一重要的環(huán)節(jié)。本設(shè)計恰巧解決了這一問題，恢復(fù)了數(shù)學(xué)建模的真切面目