保險精算答案

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保險精算（其次版）

第一章：利息的基本概念

練習題

1．已知a?t??at2?b，假使在0時投資100元，能在時刻5積累到180元，試確定在時刻5投資300元，在時刻8的積累值。

a(0)?b?1a(5)?25a?b?1.80.8,b?125300*100?a(5)?300180300*100300*100?a(8)?(64a?b)?508180180?a?2．(1)假設(shè)A(t)=100+10t,試確定i1,i3,i5。

i1?A(1)?A(0)A(3)?A(2)A(5)?A(4)?0.1,i3??0.0833,i5??0.0714

A(0)A(2)A(4)n(2)假設(shè)A?n??100??1.1?，試確定i1,i3,i5。

i1?A(1)?A(0)A(3)?A(2)A(5)?A(4)?0.1,i3??0.1,i5??0.1

A(0)A(2)A(4)3．已知投資500元，3年后得到120元的利息，試分別確定以一致的單利利率、復利利率投資800元在5

年后的積累值。

500a(3)?500(1?3i1)?620?i1?0.08?800a(5)?800(1?5i1)?1120500a(3)?500(1?i2)?620?i1?0.0743363?800a(5)?800(1?i3)5?1144.974．已知某筆投資在3年后的積累值為1000元，第1年的利率為i1?10%，第2年的利率為i2?8%，第3年的利率為i3?6%，求該筆投資的原始金額。

3

A(3)?1000?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)?A(0)?794.1

5．確定10000元在第3年年末的積累值:

1

(1)名義利率為每季度計息一次的年名義利率6%。(2)名義貼現(xiàn)率為每4年計息一次的年名義貼現(xiàn)率6%。

i(4)1210000a(3)?10000(1?)?11956.1841??()4?i?10000a(3)?10000?1??11750.081????4?346．設(shè)m＞1，按從大到小的次序排列d?d(m)???i(m)?i。

7．假使?t?0.01t，求10000元在第12年年末的積累值。、

?tdt10000a(12)?10000e?0?10000e0.72?20544.33

128．已知第1年的實際利率為10%，第2年的實際貼現(xiàn)率為8%，第3年的每季度計息的年名義利率為6%，第4年的每半年計息的年名義貼現(xiàn)率為5%，求一常數(shù)實際利率，使它等價于這4年的投資利率。

i(4)4i(2)2(1?i)?(1?i1)(1?d2)(1?)(1?)42?1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625?1.333265858

4?1?i?0.745563369．基金A以每月計息一次的年名義利率12%積累，基金B(yǎng)以利息強度?t?基金存入的款項一致，試確定兩基金金額相等的下一時刻。

t積累，在時刻t(t=0)，兩筆6a1(t)??1.01?a2(t)?e?0??1.01?t12tt212?tdt?et212

12t?e,t?1.43284764310.基金X中的投資以利息強度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20),基金Y中的投資以年實際利率i積累；現(xiàn)分別投資1元，則基金X和基金Y在第20年年末的積累值相等，求第3年年末基金Y的積累值。

a1(t)??1?i?a2(t)?e?0tt0.01t2?0.1t2?tdt?e??1?i??e200.01*202?0.1*202

?e4?1?i?3?1.822111.某人1999年初借款3萬元，按每年計息3次的年名義利率6%投資，到2023年末的積累值為（）萬元。

A.7.19B.4.04C.3.31D.5.21

i(3)3*53(1?)?3*1.0215?4.0376

3

2

12.甲向銀行借款1萬元，每年計息兩次的名義利率為6%，甲第2年末還款4000元，則此次還款后所余本金部分為（）元。

A.7225B.7213C.7136D.6987

i(2)2*2(1?)?1.034?1.1255

2其次章：年金

練習題

nm1．證明v?v?iam?an。

??1?vm1?vni?am?an??i(?)?vn?vm

ii2．某人購買一處住宅，價值16萬元，首期付款額為A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付

10年。年計息12次的年名義利率為8.7%。計算購房首期付款額A。

1?v1202300a120?1000?79962.96(i?8.7%/12)i?160000?79962.96?80037.043.已知a7?5.153,a11?7.036,a18?9.180,計算i。

?1?a18?a7???a11

?1?i??i?0.082994．某人從50歲時起，每年年初在銀行存入5000元，共存10年，自60歲起，每年年初從銀行提出一筆款作為生活費用，擬提取10年。年利率為10%，計算其每年生活費用。

7?1???10?x???105000a?a?1?i??x?12968.71235．年金A的給付狀況是：1～10年，每年年末給付1000元；11～20年，每年年末給付2000元；21～30年，每年年末給付1000元。年金B(yǎng)在1～10年，每年給付額為K元；11～20年給付額為0；21～30年，每年年末給付K元，若A與B的現(xiàn)值相等，已知v101010?1，計算K。220?1??1?A?1000a10?2000?a?1000?10??a101?i1?i?????1?B?Ka10?K??a101?i??A?B?K?180010206．化簡a101?v?v，并解釋該式意義。

20

??a10?1?v10?v20??a30

3

7.某人計劃在第5年年末從銀行取出17000元，這5年中他每半年末在銀行存入一筆款項，前5次存款每次為1000元，后5次存款每次為2000元，計算每年計息2次的年名義利率。

?1??1?1000a5?2000?a?17000?5???1?i??1?i?

?i?3.355%8.某期初付年金每次付款額為1元，共付20次，第k年的實際利率為

5101，計算V(2)。8?kV(2)?1??1?111????1?i1(1?i1)(1?i2)(1?i1)?(1?i19)999???101128

9.某人壽保險的死亡給付受益人為三個子女，給付形式為永續(xù)年金，前兩個孩子第1到n年每年末平分所領(lǐng)取的年金，n年后所有的年金只支付給第三個孩子，若三個孩子所領(lǐng)取的年金現(xiàn)值相等,那么v=()

?1?A.??B.3nC.

?3?1n1?1?n3D.???3?n1an?vna?21?vn1?2vnii1vn?311.延期5年連續(xù)變化的年金共付款6年，在時刻t時的年付款率為?t?1?,t時刻的利息強度為1/(1+t),該年金的現(xiàn)值為（）

A.52B.54C.56D.58

25|a6??v(t)(t?1)dt5112111?t?

?dta(t)t?1te?0111?5|a6??(t?1)2dt?545t?1v(t)?

第三章：生命表基礎(chǔ)

練習題

1．給出生存函數(shù)s?x??e?x22500，求：

(1)人在50歲～60歲之間死亡的概率。(2)50歲的人在60歲以前死亡的概率。(3)人能活到70歲的概率。

(4)50歲的人能活到70歲的概率。

4

P(50?X?60)?s?50??s(60)s?50??s(60)10q50?s(50)P(X?70)?s(70)20p50?

s?70?s(50)2.已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。

5|q60?s?65??s(66)s?65??0.1895,5p60??0.92094s(60)s(60)s?65??s(66)?0.2058s(65)

?q65?3.已知q80?0.07，d80?3129，求l81。

q80?d80l80?l81??0.07l80l804.設(shè)某群體的初始人數(shù)為3000人，20年內(nèi)的預期死亡人數(shù)為240人，第21年和第22年的死亡人數(shù)分別為15人和18人。求生存函數(shù)s(x)在20歲、21歲和22歲的值。

s(20)?d1???d20d???d21d???d22?0.92,s(21)?1?0.915,s(22)?1?0.909

l0l0l022?,0≤x≤100,求l0=10000時，在該生命表中1歲到4歲之間的死亡人數(shù)為x?1100?x5.假使?x?（）。

A.2073.92B.2081.61C.2356.74D.2107.56

?dx?100?x???0x?1100?x0s(x)?e?e????x?1?

l0(s(1)?s(4))?2081.61?x?x