數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)課件

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)課件1第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五二階線性偏微分方程理論第二章定解問題與偏微分方程理論本次課主要內(nèi)容與δ函數(shù)(一)、二階線性偏微分方程理論(二)、δ函數(shù)2第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(一)、二階線性偏微分方程理論基本概念T為算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，稱T為線性算子2.二階線性偏微分算子

1.線性算子

3第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五于是二階線性偏微分方程可以簡記為：齊次形式為：其中:4第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五3.邊界條件算子主要判定方法有：M判別法，柯西一致收斂準(zhǔn)則，狄里赫列判別法，阿貝爾判別法。4.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義：對級數(shù)若對當(dāng)n>N時，對任意稱級數(shù)一致收斂于和函數(shù)S(x).5第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五物理背景：疊加原理原理1：

在物理上，常有所謂的疊加現(xiàn)象：即幾種因素產(chǎn)生的總效果等于各因素產(chǎn)生的效果總和。

物理上的疊加現(xiàn)象反映到數(shù)理方程中來，就得到線性定解問題中的疊加原理。

設(shè)ui滿足線性方程(或線性定解條件)：又設(shè)：6第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五其中：收斂，且算子L與和號能交換次序。原理2：

那么：7第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五其中，M表示自變量組，M0為參數(shù)組.設(shè)u(M,M0)滿足線性方程(線性定解條件)：原理3：且積分收斂，并滿足L中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)與積分號交換次序所需要的條件，那么U(M)滿足方程(或定解條件）：8第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五原理3的證明：主要假定了L與積分號的次序可交換！解的結(jié)構(gòu)定理：非齊次線性偏微分方程的一般解等于對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。9第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五例1求泊松方程：的一般解。解:(1)先求出方程的一個特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：注：這是觀察法！一般情況下很難求出偏微分方程特解。10第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(2)、求對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程為：作變換：則齊次方程化為：再作變換：11第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五方程化為：齊次方程通解為：原方程通解為：12第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五背景：齊次化原理

在對波動方程與熱傳導(dǎo)方程定解問題的求解中，常常考慮將定解問題中方程齊次化，這就需要用到下面與此相關(guān)的兩個齊次化原理。齊次化原理有明確的物理背景，其背景就是力學(xué)中的沖量原理：力作用引起的沖量等于動量的改變。齊次化原理又稱為沖量原理。齊次化原理的具體物理分析在此略去。13第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五齊次化原理1如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：為了證明該定理，先介紹：14第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五含參變量積分求導(dǎo)法則定理在上連續(xù)，而a(u),b(u)在[α，β]上可導(dǎo)，且對任意u屬于[α，β]，有：則：15第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五證明：首先，16第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五齊次化原理2如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：17第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五對齊次化原理的三點說明：1、齊次化原理只適用于波動方程和熱傳導(dǎo)方程，對穩(wěn)態(tài)的泊松方程不能使用這兩個原理；2、齊次化原理使用時必須注意初始條件為零；3、齊次化原理可以推廣到有界域的波動、熱傳導(dǎo)方程的定解問題上。但定解問題必須滿足初始條件為零，邊界條件齊次！18第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五例2、若V(x,t;τ)是定解問題是定解問題的解，則：的解.19第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五證明：首先，其次，因V(x,t,τ)是齊次定解問題的解，因此，不難證明20第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五解的適定性滿足解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的解稱為解的適定性。解的穩(wěn)定性是指若定解條件有微小變化，其解也只有微小變化。只有解滿足穩(wěn)定性，其解才有意義，因定解條件常為實驗數(shù)據(jù)，有測量誤差。21第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

1、定義

δ函數(shù)是指滿足下面兩個條件的函數(shù)

(二)、δ函數(shù)幾點說明：22第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

(1)、幾何意義曲線峰無限高，無限窄！但曲線下面積為1。

(2)、物理意義x0xδ(x-x0)定義中條件(1)反映物理量集中在x0處，該處稱為點源；條件(2)反映物理量有限。23第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

例3、兩端固定的長為L的弦，密度為ρ，初始時刻在x0處受到?jīng)_量I的作用。求初速度和定解問題。解:(1)x0u(x,t)xL024第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(2)由動量定理F

Δt=Δmv得：所以有：定解問題為：25第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

例4、一根長為L的導(dǎo)熱桿，密度為ρ，比熱為c，初始時刻在x0處用火焰燒了一下，傳桿的熱量為Q。求初始溫度分布和定解問題。解:(1)x0u(x,t)xL026第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(2)所以有：定解問題為：27第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

2、性質(zhì)(1)篩選性質(zhì)：對任意連續(xù)函數(shù)φ(x),有：28第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五所以，證明：由于(2)δ函數(shù)是偶函數(shù),即：有證明：由于對任意連續(xù)函數(shù)φ(x),有所以，29第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五δ函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)定義的算符δ(n)稱為δ(x)的n階導(dǎo)數(shù)。合理性解釋：作形式分部積分：由30第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五

1、定義

δ函數(shù)是指滿足下面兩個條件的函數(shù)

高維δ函數(shù)物理解釋：表示點源的廣義函數(shù)。31第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五例6、在M0處放置單位電荷，則電荷體密度為δ函數(shù)。三維δ函數(shù)與一維δ函數(shù)的關(guān)系：

2、性質(zhì)(1)篩選性質(zhì)：對任意連續(xù)函數(shù)f(M),有：32第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五(2)δ函數(shù)是偶函數(shù),即：例7、求證：33第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期五分析：需證明等式右端