數(shù)學建模講座數(shù)學建模漫談

數(shù)學建模講座數(shù)學建模漫談第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學作為語言工具。——著名數(shù)學家華羅庚教授語第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五生活離不開數(shù)學1、圓形蜘蛛網(wǎng)是一個簡單漂亮的數(shù)學創(chuàng)造，要分析這個美麗結(jié)構(gòu)用數(shù)學方法進行分析時，出現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)中的數(shù)學概念是驚人的：半徑、弦、平行線段、三角形、全等對應角、對數(shù)螺線、懸鏈線和無理數(shù)e2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工時”巴黎科學院院士、瑞士數(shù)學家克尼格

第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五3、在礦物結(jié)構(gòu)中，可以找到許多更為奇妙的空間圖形第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五問題/應用來自數(shù)學的貢獻核磁共振成像技術(shù)(MRI)計算機輔助成像(CAT)積分幾何空中交通管制控制論期權(quán)定價Black-Scholes期權(quán)模型和MonteCarlo模擬全局勘察、信號處理、圖象處理、數(shù)據(jù)采掘應急用儲備物資的管理運籌學、最優(yōu)化理論復雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性邏輯、計算機科學、組合學機密和完整性數(shù)論、密碼學/組合學大氣和海洋的建模小波、統(tǒng)計學、數(shù)值分析敏捷制造、自動制造、可視化、機器人過程質(zhì)量控制中的幾何學、控制論設(shè)計和訓練模擬、建模、離散數(shù)學人類基因組分析數(shù)據(jù)采掘、模式識別、算法合理的藥物設(shè)計數(shù)據(jù)采掘、組合學、統(tǒng)計學Seiberg-Witten方程(弦論)幾何學宇宙數(shù)據(jù)的解釋數(shù)據(jù)采掘、建模、奇點理論復合材料的設(shè)計系統(tǒng)控制論、計算、偏微分方程地震的分析和預測過程控制中的統(tǒng)計學、動力系統(tǒng)/湍流建模社會離不開數(shù)學第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

在開普勒以后的一百年后，德國天文學家提出在行星的軌道間缺一顆行星，1781年，德國天文學家威廉?赫歇發(fā)現(xiàn)了這顆新星，這就是著名的天王星。19世紀中葉，法國天文學家勒維耶（1811-1877）和英國天文學家亞當斯（1819-1892），分別獨立計算出一顆新行星，命名為海王星。這些行星運動的規(guī)律、以及新行星的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)學方法的光輝應用的結(jié)果。第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五已故的美國科學院院士EricTempleBell(貝爾)于1951年寫的一本書的書名：Mathematics:QueenandServantofScience該書主要是為非數(shù)學領(lǐng)域的人士和學生寫的,介紹純粹和應用數(shù)學的各個方面,更著重在說明數(shù)學科學的極端重要性(實際上這是他1931年寫的TheQueenoftheSciences(科學的王后)和1937年寫的TheHandmaidenoftheSciences(科學的女仆)這兩本通俗數(shù)學論著的合一修訂版.第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五馬克思教導我們：一門學科只有成功地運用數(shù)學時，才算達到了完善的地步！第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

來自31個省區(qū)市以及香港的1023所高校12846個隊的38000多名大學生參賽。競賽共評出甲組一等獎200個，二等獎716個，乙組一等獎53個，二等獎172個。2008年的競賽情況第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五2009年的競賽情況共有33個省(市、自治區(qū)，包括香港特區(qū)和澳門特區(qū))的1137所院校、15042個參賽隊，共4萬5千余名來自各個專業(yè)的大學生參加競賽，是歷年來參賽人數(shù)最多的一年。共評出高教社杯獲得者2隊(本科組、?？平M各1隊)，Matlab創(chuàng)新獎獲得者2隊(本科組、?？平M各1隊)，本科一等獎216隊，本科二等獎820隊，專科一等獎59隊，專科二等獎174隊。第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五2010年的競賽情況本次競賽共有來自全國33個?。ㄊ?、自治區(qū)，包括香港和澳門）以及新加坡和澳大利亞的1197所高校17317個隊的五萬多名大學生參加。首次有國外的大學生參賽，為競賽走向國際化邁出了第一步。通過專家評閱，共評選出1372隊獲全國獎，其中本科組一等獎210隊，二等獎907隊，?？平M一等獎51隊，二等獎204隊，一、二等獎分別占參賽總數(shù)的1.5%和6.5%。第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學建模的歷史淵源（一）萬物皆數(shù)

畢達哥拉斯(Pythagoras,572BC?—497BC?)古希臘數(shù)學家、哲學家、天文學家、音樂家、教育家。無論是解說外在物質(zhì)世界，還是描寫內(nèi)在精神世界，都不能沒有數(shù)學!第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五最早悟出萬事萬物背后都有數(shù)的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯定理——勾股定理數(shù)論

畢達哥拉斯對數(shù)論作了許多研究，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等。第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五在畢達哥拉斯派看來，數(shù)為宇宙提供了一個概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數(shù)，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構(gòu)成萬物，所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。

第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五完全數(shù)所有真因子之和等于其本身的自然數(shù)。最小的完全數(shù)是6（6=1+2+3），下一個是28（28=1+2+4+7+14），496，8128，33550336，8589869056，…親和數(shù)一個數(shù)是另一個數(shù)的真因數(shù)之和的一對數(shù)。如（220，284）：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+71+142=220；第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五(1184，1210)(1866,Paganini);(17296，18416)(1636,Fermat);(9363584，9437056);…音樂那些質(zhì)量等于某一把錘子重的的錘子都能產(chǎn)生和諧的聲響；第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五他曾證明用三條弦發(fā)出某一個樂音，以及它的第五度音和第八度音時，這三條弦的長度之比為6:4:3。第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五（二）實數(shù)連續(xù)統(tǒng)概念（三）費馬大定理——一個困惑了世間智者358年的謎一條實直線的數(shù)學模型第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五懷爾斯(AndrewWiles,1953年4月11日-)是當代著名的英國數(shù)學家。1996年：當選為美國國家科學院外籍院士并獲該科學院數(shù)學獎；

獲歐洲的奧斯特洛夫斯基獎和瑞典科學院舍克獎

獲法國的費馬獎；

獲沃爾夫獎。

1997年：獲美國數(shù)學會科爾獎；

獲得1908年沃爾夫斯科爾（Wolfskehl）為解決費馬猜想而設(shè)置的10萬馬克獎金。

1998年：獲國際數(shù)學家大會頒發(fā)的特別貢獻獎。

第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五證明費馬定理的歷程：

1977年，與科茨(Coates)共同證明了橢圓曲線中最重要的猜想──伯奇─斯溫耐頓─代爾(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想的特殊情形(即對于具有復數(shù)乘法的橢圓曲線)；

1984年和馬祖爾(Mazur)一起證明了巖澤理論中的主猜想；

1994年，在此前工作的基礎(chǔ)上，通過證明半穩(wěn)定的橢圓曲線的谷山─志村─韋伊猜想，從而完全證明了費馬最后定理。

第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五艾薩克·牛頓(IsaacNewton1642.12.25-1727.3.20)

英國物理學家、數(shù)學家、天文學家和自然哲學家

蘋果為什么要掉在地上？？？?（四）萬有引力定律以及微積分的產(chǎn)生第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五從實際問題到數(shù)學模型

幾個歷史性問題

利益博弈

幾項智力游戲

第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

例1《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一個問題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”1幾個歷史性問題如果考慮“獨腳雞”和“雙腳兔”的話，腳就由94只變成了47只。

1.1丟番圖問題

每只“雞”的頭數(shù)與腳數(shù)之比變?yōu)?：1，每只“兔”的頭數(shù)與腳數(shù)之比變?yōu)?：2。

“獨腳雞”和“雙腳兔”的腳的數(shù)量與他們的頭的數(shù)量之差，就是兔子的只數(shù)

雞的數(shù)量就是（只）。（只）；第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

例2一百匹馬，一百塊瓦，大馬馱仨，小馬馱倆，馬仔倆馱一塊。問大馬、小馬、馬仔各幾何。解設(shè)大馬，小馬，馬仔分別為匹，應有分別消去和可得這是一個不完全方程組的求整數(shù)解問題——丟番圖問題。第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五可見，問題共有七組解。都是3的倍數(shù)，故可能取值如下。2581114172030252015105068707274767880［返回］第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

例3華裔科學家李政道在中國科技大學少年班提出“五猴分桃”的問題。

五只猴子分一大堆桃。第一只猴子單獨來了，它發(fā)現(xiàn)桃子的總數(shù)比5的某個倍數(shù)多1，于是它吃了一個桃子然后拿走了總數(shù)的五分之一；第二只猴子來了，誤以為自己最先到達，它發(fā)現(xiàn)桃子的總數(shù)比5的某個倍數(shù)多1，它也吃了一個桃子然后拿走了總數(shù)的五分之一，…，最后，第五只猴子發(fā)現(xiàn)桃子的總數(shù)比5的某個倍數(shù)多1，它也吃了一個桃子然后拿走了總數(shù)的五分之一。試問起初的這堆桃子至少要有多少個。設(shè)這堆桃子共有個，第五只猴子離開之后剩下個桃子。第一只猴子連吃帶拿，共得到個桃子；剩下（個）。第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五第二只猴子共得到個桃子；剩下的個數(shù)……第五只猴子離開之后，剩下桃子數(shù)目應該是于是，有，故必有是的倍數(shù)且是的倍數(shù)。

最小的可能是－4＝1020，最小的可能是－4＝3121。第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五在地圖上，任何兩個相鄰的國家應該著上不同的顏。人們發(fā)現(xiàn)，每幅地圖上不管有多少個國家，只用四種顏色就可以。

1.2四色問題1970年至1976年，美國伊利諾大學哈肯和阿佩爾合作，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。

這個問題最早是由畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯?格思里大約于1852年提出來的。1872年，倫敦數(shù)學學會上提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關(guān)注的問題。

1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的海伍德證明了一個較弱的命題——五色定理。

四色問題的研究，是小問題引出大模型的實例。計算機參與證明的合法地位也由此得到了認可。

第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五1.3哥尼斯堡七橋

1726年，瑞士數(shù)學家歐拉（1701－1783）受聘于沙俄科學院，后來出任數(shù)學部主任。1736年秋天，歐拉收到來自東普魯士首都哥尼斯堡（今屬奧地利）的一封信，哥尼斯堡大學的學生在來信中向他請教的是下面一個問題。布勒格爾河橫穿市區(qū)，哥尼斯堡大學的校園就坐落于新舊河道交匯處。校園附近有一個小島，七座小橋分別連通著河岸、小島和半島。傍晚前后，學生們?nèi)齼蓛傻厣⒉接谛u上與河岸邊。

有人突發(fā)奇想，能不能在一個晚上走遍這七座橋而每座橋又都只通過一次呢？第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五店主橋鐵匠橋木橋綠橋“饞嘴”吉布萊茨橋高橋蜜橋內(nèi)福夫島普雷蓋爾河新河道舊河道哥尼斯堡是條頓騎士在1380年建立的，作為日耳曼勢力最東端的前哨達四百年之久。第二次世界大戰(zhàn)以后，他被更名為加里寧格勒，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛與波蘭之間，加里寧格勒現(xiàn)仍屬俄羅斯。第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五CDBA

作為一筆畫，應該只有一個起點和一個終點，而其它點只能是通過點．歐拉在草紙上勾畫出示意圖。在他看來，問題是否有可行的方案，與島、半島的大小無關(guān)，也與河岸上橋頭的間隔及小橋的長度無關(guān)。因而不妨將半島、兩側(cè)河岸和小島都縮為一點，將各個小橋代之以線。

現(xiàn)在的問題是，能否用一只鉛筆從“結(jié)點”A、B、C、D之中的某一點開始，不抬筆地連續(xù)描完每一條線而不出現(xiàn)線路重復呢？類似這樣的問題，后來被統(tǒng)稱為“一筆畫”問題。圖中四個節(jié)點A、B、C、D都是奇節(jié)點。所以，這是一個不可行的一筆畫問題。第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五戰(zhàn)國時期，我國出現(xiàn)一位杰出的軍事家孫臏。2利益博奕

起初，孫臏在魏國作官，由于同僚龐涓忌賢妒能百般迫害，孫臏幾乎喪命于魏國。后來被齊過使臣秘密救出送到了齊國引見給齊國的大將軍田忌。齊王酷愛賽馬，田忌多次與國王賭輸贏，屢賭屢輸。一次賽馬時，孫臏隨田忌來到賽馬場。孫臏了解到，大家的馬按奔跑的速度分為上中下三等，等次不同裝飾不同，各家的馬依等次比賽，比賽為三賽二勝制。

比賽前田忌按照孫臏的主意，第一場，用上等馬鞍將下等馬裝飾起來，冒充上等馬，與齊王的上等馬比賽。第二場，田忌用自己的上等馬與國王的中等馬比賽，贏了第二場。關(guān)鍵的第三場，田忌的中等馬和國王的下等馬比賽，田忌的馬略勝了一籌。結(jié)果二比一，田忌贏了國王。

后來，齊威王任命孫臏為齊國軍師，取得了無數(shù)以少勝多、以弱制強的輝煌戰(zhàn)例。

2.1田忌賽馬即便是在運籌學理論非常完善了的今天，田忌賽馬的故事仍不失為經(jīng)典范例。第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

假定某海灘沿海岸線均勻分布著很多日光浴者。有兩個出售同種飲料的商販來海灘設(shè)攤位，試問如何設(shè)位？顯然，在01不難預見，綠色攤位也愿意左移。處各設(shè)一個攤位最合理。和但是，紅色的攤位如果向右移一點的話，情況如何？如果它們都在附近的位置的話，哪個攤位還會有偏移的打算呢？2.2納什均衡一.海灘占位第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

不投案投案不投案100＼100400＼０投案０＼400200＼200有互不熟悉的兩人在公共場所斗毆，將接受處罰。

若兩人均投案，則因在公共場所斗毆各被罰款200元；若兩人均不投案，則只能按普通滋事各罰款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承認，仍可確定為斗毆，投案者免予處罰，不投案者被認定為是主要肇事方被罰款400元。

我們站在甲的角度來看問題，他并不知道乙是否會投案。假若乙不投案，甲也不投案將罰款100元，但若甲選擇投案就會免予處罰；假若乙已經(jīng)投案的話，甲不投案將被罰款400元，投案則只罰款200元。

甲乙2.3.囚徒困惑第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五可見，不論乙是否會與警察配合，從甲的實際利益出發(fā)，他總會投案的。

出于同樣的原因，乙也會選擇投案。

結(jié)果，甲乙二人均被罰款200元，雖然他們都知道還有各罰100元的處罰方案，但那樣的結(jié)果不太可能出現(xiàn)。

即便是重新征求各自的意見，甲和乙都沒有改變態(tài)度的愿望。這一結(jié)果的出現(xiàn)，被稱為納什均衡。

約翰F.Nash(納什)是著名的美國數(shù)學家，1928年生，1950年獲普林斯頓大學博士學位．1994年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎。納什均衡是他最具代表性的學術(shù)成果。第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五3海盜分金

假定這五個海盜都是高智商且極其貪財?shù)摹Ｔ噯柡１I1會制定出怎樣的分贓方案，以使自己免于葬身魚腹。

5名海盜搶到了100塊金幣（大小完全相同），他們準備采用以下的方法分贓。

抽簽為每人確定1、2、3、4、5這五個不同的序號，先由抽到1的人提出自己的分贓方案，如果他的方案被超過一半人贊同，那么就按照他的意見分贓；但是如果他的意見沒有得到過半數(shù)人贊同的話，他將被扔進大海去喂鯊魚。

當海盜1被投入大海之后，由序號是2的人重新制定分贓方案。如果海盜2的方案在現(xiàn)有海盜中超過半數(shù)同意便執(zhí)行，否則也將海盜2投入大海。依次類推。第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

如果船上只剩下了海盜4和海盜5兩個人的話，根據(jù)規(guī)則4號海盜只能提出0:100的分贓方案，5號獨得全部，就不必反對了。四號才可以活命。

要想弄清楚海盜1應該制定怎樣的分贓方案，還是從假若只剩下兩個人時的情況說起。

海盜3能夠預見到自己被投海后將發(fā)生的事情，他應該懂得：自己制定的分贓方案只要能給海盜4一塊錢，海盜4就會滿足的。于是，3號提出的方案一定是99:1:0。讓5號白白去投反對票好了。

海盜2要想避免被扔下海，它必須爭取兩張贊同票。但是，即便分給海盜3全部100塊中的98塊金幣，貪婪的海盜3也不會贊成，可以爭取的兩張贊同票只能是海盜4和海盜5了。

其實，只要共拿出3塊金幣分給海盜4和海盜5，就可以用最小的成本獲得平安。于是，海盜2的方案就選擇了97:0:2:1。第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

海盜1不能指望任何方案能使海盜2滿意，它可以制定出94:0:1:3:2的分贓方案。那樣，它可以獲得三張贊成票。現(xiàn)在回到問題的開始。

然而，視錢如命的海盜1不會浪費哪怕是一枚金幣，他實際拿出來的分贓方案將是

97:0:1:0:2。

海盜2號和海盜4當然會反對了，但是海盜3和海盜5都不反對，因為這已經(jīng)是他們最好的收益了。第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五4棋盤麥粒梵塔九連環(huán)國王打算獎賞國際象棋的發(fā)明人西塔，問他想要什么。

印度有一個古老的傳說：舍罕王厭倦了皇宮單調(diào)的生活，一些大臣千方百計地尋找種種新奇的玩藝兒幫他解悶。西塔獻上一種新發(fā)明的玩具。他用木頭雕刻出王、后、車、馬、相、兵共三十二個棋子，一半被染成黑色。畫出的64個小方格，在不相鄰的一半方格內(nèi)圖上黑色。

梵塔說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，直至擺完64個格子。

國王覺得微不足道，告訴侍者計算一下粒數(shù)，下午就請西塔拿著口袋來裝麥子。第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

可是，下午西塔并沒有領(lǐng)獎賞他的麥子，因為宮廷總管還沒有算出來。直到三天后，總管告訴國王說：“西塔要的麥子太多，把全國所有的麥子都給他也不夠！”西塔要求得到的麥粒到底有多少呢?人們估計，全世界兩千年也難以生產(chǎn)這么多麥子!

第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

在印度北部的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，于其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂梵塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。

把64片金片，由一根針上移到另一根針上，并且始終保持上小下大的順序，這一共需要移動多少次金片呢？

第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

移動第1片只需1次，第2片則需2次，第3片需4次，…，第64片需移動金片共有2的63次方次之多。假如每秒鐘移動一次，共需要多長時間呢?一年大約有31556926秒，計算表明，移完這些金片需要五千八百多億年!

不管把哪一片金箔移到另一根針上，移動的次數(shù)都要比移動上面一片的次數(shù)增加一倍。

借助于計算機計算出了結(jié)果，全部次數(shù)為18446744073709551615次。這和"麥粒問題"的計算結(jié)果是完全相同的!第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五5猴子過河有三只母猴各帶一只小猴子，準備利用一條小船渡河。試設(shè)計渡河方案。注意：（1）每只猴子都會劃船，但船上每次只能承載兩只猴子（不論大猴還是小猴）；（2）每只小猴子在接觸到其它母猴的時候必須有自己的母親在場，否則將被傷害。將三個大猴分別記為A，B，C，對應的三個小猴子分別記為a，b，c。ABCabc第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

首先過河的可以是Aa（Bb、Cc同理）或ab（bc、ac同理），但最先渡河的不能是AB（BC、AC同理）。

總之，當船第一次回到北岸時，留在南岸的是a。

第二次過河的只有一種可能，就是bc，其它方案都不可行。再由c將船送回北岸。第三次過河的只能是AB，其它方案都不可行。

ABCcab現(xiàn)在的問題是，由誰將船送回北岸？北岸南岸只能由Aa（或Bb）送船

！第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五1.4.6猜帽子某老師有三個非常聰明的學生，為考察其中那個學生最聰明，老師展示了三黑二白一共有五頂帽子。要求學生閉上眼睛后，給每位學生戴上一頂帽子。然后，讓他們同時睜開眼睛，通過觀察別人來斷定自己頭上帽子的顏色。

結(jié)果，三個學生互相看了看，都稍稍猶豫一下，同時說自己戴的是黑色帽子。試說明理由。第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五答案：事先，三個學生就都可以想到，老師不可能用上兩個白帽子。否則，第三個學生可以毫不猶豫地斷定自己頭上戴的是黑帽子，這顯然不公平。

為此，只要看到一個同學戴的是白帽子的話，就可以說自己頭上的帽子是黑色了。這一點，相信其他學生也清楚。

但是，在睜開眼睛的一瞬間，每一位同學都注意到，另兩個同學沒有馬上做出回答，這說明什么？充分證明了自己戴的必然不是白色帽子（其實已經(jīng)斷定所有人帶的都是黑色帽子）！第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五什么是數(shù)學模型一般地說，數(shù)學模型可以描述為，對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學模型的分類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等建模中所用的數(shù)學方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生態(tài)系統(tǒng)模型、交通流模型、經(jīng)濟模型、基因模型等第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應的數(shù)學結(jié)構(gòu)——即建立數(shù)學模型。4.模型求解。5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應當借助計算機求出數(shù)值解。

數(shù)學建模的一般步驟實體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗證應用第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解初等代數(shù)中的數(shù)學模型——“航行問題”

一些簡單實例第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計算器。第56頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。我學過微積分，我可以做得更好，呵呵。

第57頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當屬空氣阻力。根據(jù)流體力學知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

第58頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應時間

進一步深入考慮不妨設(shè)平均反應時間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應時間后應為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。第59頁，共64頁，2023年，2月20日，星期五還應考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了