人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案導(dǎo)學(xué)案(全冊(cè))

最新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案導(dǎo)學(xué)案（全冊(cè)）

16.1二次根式第一課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過學(xué)習(xí)二次根式的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感和符號(hào)意識(shí).

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，能用二次根式表示實(shí)際問題中

的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系.

（2）知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由，會(huì)求二次根式有意義的條件.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

從算術(shù)平方根的意義出發(fā)理解二次根式的概念.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

二次根式有意義的條件.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1回顧：什么叫算術(shù)平方根？

任務(wù)2閱讀教程P2,思考：什么叫二次根式？二次根式有意義的條件是什么？

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為（）

A.V3B.±V3C.-5/3D.9

2.面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為（）

A.V7B.±V7C.-'JsD.s2

3.當(dāng)x為何值時(shí)，&有意義（）

A.x>0B.x<0C.x>0D.x<0

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.A2.A3.C

（-）課堂設(shè)計(jì)

第1頁共188頁

1.知識(shí)回顧

（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是土石，0的平方根是0,-5沒有

平方根.

（2）算術(shù)平方根：25的算術(shù)平方根是5,3的算術(shù)平方根是右，0的算術(shù)平方根

是0,-5沒有算術(shù)平方根.

2.問題探究

問題探究一什么樣的式子是二次根式？★

活動(dòng)一回顧舊知，整體感受

用帶根號(hào)的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么特點(diǎn)？

（1）面積為2的正方形的邊長(zhǎng)為，面積為S的正方形邊長(zhǎng)

為;

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形硬紙板，長(zhǎng)是寬的2倍,面積為130cm2,則它的寬為cm；

（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用時(shí)間t（單位：秒）與開始落下

時(shí)與地面高度h（單位：米）滿足關(guān)系h=5t2.如果用含h的式子表示t,那么

t=.

活動(dòng)二總結(jié)反思，得出概念

上面結(jié)果都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根，我們知道一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0的平

方根是0；在實(shí)數(shù)范圍里內(nèi)負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方時(shí)，被

開方數(shù)只能是正數(shù)或0.

二次根式的概念：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.

二次根式具備哪些特點(diǎn)？

（1）有二次根號(hào)；

（2）被開方數(shù)不能小于0.

活動(dòng)三牛刀小試初步運(yùn)用

例1.式子：6,J7,-亞，蚯，47中，二次根式的個(gè)數(shù)是（）

X

A.1B.2C.3D.4

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的定義】

詳解：血，行，-后是二次根式，因此有3個(gè)，選C.

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點(diǎn)撥：二次根式是一種表示方法，既要看形式是否帶有二次根號(hào)，又要看被開方

數(shù)是否為非負(fù)數(shù).

問題探究二二次根式有意義的條件是怎樣的？▲

活動(dòng)一回顧舊知開啟新知

（1）式子：拒，瓜,口有意義嗎？

（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)&一定有意義嗎?

（3）實(shí)數(shù)x滿足什么條件，二次根式月有意義？

點(diǎn)撥：二次根式是否有意義的關(guān)鍵是看被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，因此，三個(gè)問題

的結(jié)果顯而易見.（1）式子：后，而有意義，匚5沒有意義；（2）對(duì)于任意

實(shí)數(shù)°,石不一定有意義，因?yàn)?有可能為負(fù)數(shù)；（3）二次根式Q要有意義,

只需x-220即可，即x22.

活動(dòng)二牛刀小試初步運(yùn)用

例2.當(dāng)°取怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？【知識(shí)點(diǎn)：二次根式

有意義的條件】

(1)/

(2)V771

]

(3)

?Ja-1

詳解：（1）而中，無論a取何值，必都有意義；（2）E7中，無論a取何

值，『+1都是一個(gè)正數(shù)，所以，無論。取何值，V77T都有意義;(3)-中,

Va-l

a-1>0>即a>1.

點(diǎn)撥：二次根式是否有意義的關(guān)鍵是看被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，如果式子中，除

了二次根式外，還有其它形式的式子，如（3）,還得綜合考慮，既要考慮二次

根式有意義，還要考慮整個(gè)式子有意義.

3.課堂小結(jié)

【知識(shí)梳理】

（1）形如石（“20）的式子叫做二次根式.

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(2)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【重難點(diǎn)突破】

二次根式有意義的條件探究.①當(dāng)給定的代數(shù)式只是二次根式形式時(shí)，只需要滿

足被開方數(shù)為即可；②當(dāng)給定的代數(shù)式不只含有二次根式時(shí)，則要全

面綜合考慮，如：代數(shù)式不二有意義的條件就應(yīng)同時(shí)滿足：QWO和

0,即X—2>0.

4.隨堂檢測(cè)

1.下列各式不是二次根式的是()

A.如B.V?(?>0)c.FD.Vo

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的定義】

【參考答案】c

【思路點(diǎn)撥】判定一個(gè)式子是否是二次根式，首先看是否帶有有二次根號(hào)；然后

看被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).

2.下列式子中，二次根式的個(gè)數(shù)是()

(1)J；(2)4；(3)VX2+2；(4)V?；(5)V5

A.1B.2C.3D.4

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的定義】

【參考答案】B

【思路點(diǎn)撥】判定一個(gè)式子是否是二次根式，首先看是否帶有二次根號(hào)；然后看

被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).因此，(1)(3)是二次根式.

3.若式子序？在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()

A.x>5B.x>5C.x<5D.x<5

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式有意義的條件】

【參考答案】A

【思路點(diǎn)撥】二次根式有意義的條件就是被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)。因此，只需

x-520即可.

4.若式子正在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()

x-\

A.x>0B.x>0C.x>1D.xNO,且XHI

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【知識(shí)點(diǎn)：二次根式有意義的條件】

【參考答案】D

【思路點(diǎn)撥】整個(gè)式子要有意義，需滿足兩個(gè)條件：且X-1H0.

5.使拉二有意義的正整數(shù)m為.

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式有意義的條件】

【參考答案】2,1

【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橛幸饬x，所以2-,心0,心2,所以正整數(shù)加=2或1

16.1二次根式第二課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過學(xué)習(xí)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的化簡(jiǎn)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯能力和推理能

力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)理解石(020)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(而產(chǎn)=四±0),并能利用它們進(jìn)行計(jì)算和化

簡(jiǎn).

(2)理解并掌握77=4(〃20),并能利用這一結(jié)論進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

應(yīng)用(Va)2=?(a>0)和=a(a>0)進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

二次根式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

(-)課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1閱讀教程P3-P4,思考：二次根式的性質(zhì)有是什么？

任務(wù)2如何對(duì)必進(jìn)行化簡(jiǎn)？

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2.預(yù)習(xí)自測(cè)

2

1.(A/9)2=;(V2)=.

2.(V?)2=(a>0);=(a>0).

3.若Jx-l+Jy-2=0,則x+y的值為()

A.1B.2C.3D.0

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.9;22.a;a3.C

(二)課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

(1)如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，規(guī)定0的算

術(shù)平方根為0.

(2)形如石(a20)的式子叫做二次根式.

(3)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

2.問題探究

問題探究一如何理解二次根式石(。20)的雙重非負(fù)性和(五)2=〃(心0)?★

活動(dòng)1如何理解二次根式而(“20)的雙重非負(fù)性？

根據(jù)二次根式的定義得知aNO,依據(jù)算術(shù)平方根的意義可知一個(gè)非負(fù)數(shù)的算

術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，因此后(a±0)具有雙重非負(fù)性.

例1.若Q+|y-l|=0,求(x-y)2°i6的值.

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)】

詳解：-Jx-2>0,|.y-l|>0,Jx-2+|y-l|=0.x-2=0,y-l=0.x=2,y=l.二

(x-y)20,6=(2-l)2016=l.

點(diǎn)撥：二次根式和絕對(duì)值都具有非負(fù)性，而兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則說明它們各

自為零.

活動(dòng)2如何理解(石)2=a(“20)?

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例2.(1)邊長(zhǎng)為上的正方形的面積為.(2)半徑為后的圓的面積

為.

(3)(后.(4)(J|)2=.(5)(7o)2=.

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)思想方法：從特殊到一般】

詳解：(1)2.(2)5n.(3)0.5.(4)(5)0

5

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的意義可知，啦是一個(gè)平方等于2的非負(fù)數(shù)，所以

(痣-=2,也可理解為：面積為2的正方形的邊長(zhǎng)為役，因此(拉尸=2.

因此可以得到一般性的結(jié)論：(石)2=”(a20)

問題探究二如何對(duì)二次根式而進(jìn)行化簡(jiǎn)？▲

例3.化簡(jiǎn)：后，向，師,油,后2

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)思想方法：從特殊到一般】

詳解：VF=2,Toy=0.5,行=0,y/(-2)2=2,^^)2=g

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，因?yàn)?2=4,4的算術(shù)平方根是2,所以正=2；

同理可得而1=0.5,行=0,小主=2,昌)2=g.

歸納總結(jié)：J7=a(a>0);當(dāng)a<0時(shí)，=-a.

3.課堂小結(jié)

【知識(shí)梳理】

(1)二次根式石(a20)具有雙重非負(fù)性.

(2)二次根式的性質(zhì)：(Va)2=a(a>0);=a(a>0)

【重難點(diǎn)突破】

(1)(石)2(420)與必的不同點(diǎn)：①意義不同：(石)2(心0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)

平方根的平方；必表示a的平方的算術(shù)平方根.②運(yùn)算順序不同：(&Raz。)是

先求非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，再進(jìn)行平方運(yùn)算；必是先求a的平方，再求a的

平方的算術(shù)平方根.

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(2)善于發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，輕松突破二次根式的性質(zhì)運(yùn)用.如：化簡(jiǎn)

43.14-萬)2,題目中就隱含了3.14＜口的條件

4.隨堂檢測(cè)

1.若卜+2|+歷方=0,則(x+y)236的值為()

A.1B.-1C.2016D.0

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)】

【參考答案】A

【思路點(diǎn)撥】絕對(duì)值和算術(shù)平方根都具有非負(fù)性，由于兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則

它們本身為零,因此，x=-2,y=3,(x+y)2016=(-2+3)2016=l.

2.計(jì)算：(2石9的值為()

A.4石B.12C.6D.4百"

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)】

【參考答案】B

【思路點(diǎn)撥】利用積的乘方等于積里各個(gè)因式分別乘方的積，即(")2=/.b2可

以得到.

3.下列各式計(jì)算正確的是()

A.-J(-6)2=-6B.(-近尸=49C.7(-16)2=-16D.-^(^)2

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)】

【參考答案】A

【思路點(diǎn)撥】上述各式不是某種單一的計(jì)算，因此注意運(yùn)算順序是預(yù)防出錯(cuò)的關(guān)

鍵.

4.計(jì)算加獷的結(jié)果是()

A.-3B.3C.9D.-9

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)】

【參考答案】B

【思路點(diǎn)撥】1-3)2中,(-3)2=9,J(-3)2=如=3.

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5.已知x<2,貝I&-4x+4化簡(jiǎn)的結(jié)果是()

A.X—2B.x+2C.—X—2D.2—x

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)】

【參考答案】D

【思路點(diǎn)撥】ylx2-4x+4=-2)2,x<2，x-2<0,

"x?-?+4=J(X-2)2=2-x

16.2二次根式的乘除第一課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過對(duì)二次根式乘法法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)由特殊到一般，導(dǎo)出二次根式的乘法法則：石?揚(yáng)=而(“20,320),并能

運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；

(2)利用逆向思維，得出積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：〃石=石?加(“20,心0),并

能運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn).

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

二次根式乘法法則:4a?y/b=4ab(a>0,b>0),以及=4a?揚(yáng)(a>0,b>0)的運(yùn)用.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

靈活運(yùn)用石?揚(yáng)=疝(“>0力>0)進(jìn)行計(jì)算.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1石?%成立的條件是什么？

任務(wù)29化簡(jiǎn)的結(jié)果是什么？

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2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.火x痣的結(jié)果是（）

A.2B.4C.8D.16

2.計(jì)算而?。的結(jié)果是（）

A.V4B.2C.4D.±2

3.計(jì)算3拒?26的結(jié)果是（）

A.5而B.屈C.6A/6D.5標(biāo)

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.B2.B3.C

（二）課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

（1）二次根式的概念：形如右（“20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式的性質(zhì)：（向2=或“20）；7?=?（?＞（））

2.問題探究

問題探究一二次根式的乘法法則是怎樣的？★

活動(dòng)一從特殊到一般探究法則

計(jì)算下列各式.

(1)?V9=，J4x9=

(2)V16?V25=___________,716x25=___________;

(3)而.欣=，,25x36=;

觀察上面的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（文字表達(dá)）；

結(jié)論：________________________________L用字母表達(dá)）.

思考：為什么6?加=而中要對(duì)的取值進(jìn)行限制？

反思-ja?4b=y/a?b.成立的條件是什么？

a>0,b>0.

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小結(jié)二次根式的乘法法則：及?后=后花(。20,心0).

活動(dòng)二反思法則鞏固提升

二次根式的乘法法則：&?&=Ja?b(a20,b20)中,為什么a20,b*0?

因?yàn)橹挥挟?dāng)時(shí)二次根式才有意義.

例1.計(jì)算：(1)V2xV5;(2)出x2次；(3)-73x727;(4)"x產(chǎn)(a>0).

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的乘法】

詳解：(1)72x75=710;(2)3^x278=674=12;(3)"xa=-屈=-9；

(4)xp=yfa^=a(a>0)

點(diǎn)撥：二次根式的乘法運(yùn)算直接按照二次根式的乘法法則進(jìn)行即可.

問題探究二由二次根式的乘法法則：石?加=而與3*0,-0)可以逆向得到

-Jab=-/a,4b(a>0,b>0)?▲

活動(dòng)一逆向思維得出性質(zhì)

因?yàn)?=4cib{a>0,b>0),所以=y[a?y[b(a>0,b>0).利用這一結(jié)論對(duì)

下列各式進(jìn)行化簡(jiǎn)：

(1)749x121=X=X=；

(2)=XX=XX&2.)=

(說明：本章中所有字母如果沒有特別說明，則都表示正數(shù))

活動(dòng)二觀察思考鞏固新知

(1)式子：F,匚5有意義嗎？

(2)式子J(-2)x(-3)有意義嗎?

(3)式子J(-2)x(-3)=匚1義口嗎？

點(diǎn)撥：二次根式是否有意義的關(guān)鍵是看被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，因此，(1)中

兩個(gè)式子顯然沒有意義.式子；(2)中(-2)X(-3)=6,因此(2)有意義;

(3)中，等號(hào)右邊的兩個(gè)式子顯然沒有意義，因此一定不相等.

活動(dòng)三類比遷移運(yùn)用新知

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式子&=嗎?成立的條件是什么？

當(dāng)a20,此0時(shí)，4a?4b=^a?b.因此』a，b=&?4b成立的條件是a>0,b>0.

例2.計(jì)算下來各式：【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的乘法】

(1)754;(2)716x18;(3)yl9a2b2(a>0,b>0)

詳解：(1)y/54=J9x6=y/9x遙=3>/6;

(2)716x18=716x79^2=716x79x72=4X3XV2=125/2;

(3)J9a2/y=79xx7^=3xax/>=3ab(a>0,b>0)

點(diǎn)撥：對(duì)于被開方數(shù)是一個(gè)數(shù)的情形，可以將被開方數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)正因數(shù)的乘積

形式，再直接利用右T=G6(。20120)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.

3.課堂小結(jié)

【知識(shí)梳理】

(1)二次根式的乘法法則：“?新=向心。,20)；

(2)積的算數(shù)平方根的性質(zhì)：箍=&?限

【重難點(diǎn)突破】

(1)在運(yùn)用二次根式乘法法則時(shí)，注意被開方數(shù)的取值范圍，即a—0,b—0,

否則，石、揚(yáng)就無意義；同時(shí)二次根式的乘法法則還可以推廣到多個(gè)二次根式的

運(yùn)算，即4a?\[b?4c=(a>0,￡>>0,c>0),(參考解答過程：

石?揚(yáng)?瓜=而.人=麻).當(dāng)二次根式前有系數(shù)時(shí)，可類比整式乘法，將系數(shù)

之積作為積的系數(shù).

(2)二次根式乘法法則的逆用〃石=及.加0820)一定注意條件的限制，如

果沒有這一限制條件，此結(jié)論就不一定成立.如J(-2)x(-3)有意義,計(jì)算時(shí)不能

寫成CxH，而應(yīng)該寫成J(-2)x(-3)=五后=6.

4.隨堂檢測(cè)

1.下列計(jì)算正確的是()

第12頁共188頁

A.V3xV5=15B.五x五=2C.V2xV2=4D.4a?>[b=4ab

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的乘法】

【參考答案】B

【思路點(diǎn)撥】直接運(yùn)用二次根式的乘法法則：而?加=疝（“20,八0）判斷即可,

選項(xiàng)D中，沒有對(duì)a為進(jìn)行探究限制，所以D選項(xiàng)不一定正確.

2.下列各等式成立是（）

A.45/5x275=875B.573x275=7V15C.473x372=1275D.73x75=715

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的乘法】

【參考答案】D

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用“揚(yáng)xo后=ac4bd（b>0,J>0）判斷即可.

3.計(jì)算gxg的結(jié)果是（）

A.2B.4C.8D.16

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的乘法】

【參考答案】A

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用二次根式的乘法法則可得：木x&目=0=2

4?計(jì)算：一5導(dǎo)?舊?3庖

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的乘法】

【參考答案】-20府

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則可得：

-5號(hào)Ji*§南=-5倍?楞?3用=（-5xlx3）倡x*54=-15栓吟x54

=-15J—=-15x-V10=-20Vi0

V93

16.2二次根式的乘除第二課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

第13頁共188頁

通過對(duì)最簡(jiǎn)二次根式和二次根式除法法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算能

力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）理解器書.2℃0）和聆=安心0/>0）,

并能利用它們進(jìn)行計(jì)算;

（2）理解最簡(jiǎn)二次根式的定義，知道二次根式運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡(jiǎn)二次根式.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

理解書書aN0，b>。）和聆=親。20力>0）,并能利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

利用*甘（心。力>0）和辰%>0,b>0）進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（-）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1二次根式的除法法則是怎樣的？

任務(wù)2什么叫最簡(jiǎn)二次根式？

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.式子后=已成立的條件是（）

A.a>5B.a>5C.0<a<5D.04a<5

2.下列根式中不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.MB.而C.V6D.V3

3.計(jì)算2回+后的值為（）

A.278B.4V2C.24V2D.-73

3

預(yù)習(xí)自測(cè)

l.B2.B3.B

（-）課堂設(shè)計(jì)

第14頁共188頁

1.知識(shí)回顧

（1）二次根式的乘法法則：G?斯=而（。20,620）；

（2）積的算數(shù)平方根的性質(zhì)：而=布?揚(yáng)（。20力之0）.

2.問題探究

問題探究一二次根式的除法法則是怎樣的？▲

活動(dòng)一從特殊到一般探究法則

計(jì)算下列各式：

觀察上面的計(jì)算結(jié)果，你的發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（文字表達(dá)）;

總結(jié)二次根式的除法法則：（用字母表達(dá)）.

活動(dòng)二反思法則鞏固提升

為什么落監(jiān)（。20,b>0）中要對(duì)a,b的取值進(jìn)行限制?與二次根式的乘法法

則進(jìn)行比較，“力的取值有什么變化？

（因?yàn)榧纫紤]二次根式本身有意義，還得考慮整個(gè)式子是否有意義，因此

?>0,/7>0,與二次根式的乘法法則比較，岫的取值變化是這里的/”（）,所以

b>0)

活動(dòng)三逆向思維類比遷移如何對(duì)二次根式的化簡(jiǎn)？

類比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)我們可以得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)論:

祗=（a>0,b>0）.

結(jié)論：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)監(jiān)=親—

第15頁共188頁

例1計(jì)算：

⑴皆⑵島后

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的除法】

詳解：(1)=屜=』2。*2=2亞;(2)京+=gxl8=,3x9=3百

【點(diǎn)撥】按照二次根式的除法法則卷=「(心0力＞0)運(yùn)算即可.

例2化簡(jiǎn)：

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的除法】

詳解:⑴信磊晤⑵信嘲唱f⑶鳥辱瑞普

【點(diǎn)撥】如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，則先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再利用商的算術(shù)平

方根的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，如果被開方數(shù)是小數(shù)，則可先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再直接利

用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)J=*(底。力＞0)計(jì)算即可.

問題探究二什么樣的式子是最簡(jiǎn)二次根式？▲

觀察與思考下列各式中的被開方數(shù)有何共同特點(diǎn)？

42,后,殛(〃＞0),皇

a4

第16頁共188頁

特點(diǎn)：（1）被開方數(shù)不含_________________________________________________

（2）被開方數(shù)不含_________________________________________________

結(jié)論：我們把滿足以上兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.

溫馨提示：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式.

例3化簡(jiǎn)⑴舊也耒；⑵得唇信

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的除法】

【點(diǎn)撥】被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要先化成假分?jǐn)?shù)后，再進(jìn)行乘除，計(jì)算的結(jié)果含有

分母時(shí)，要乘以分母的有理化因式，使其被開方數(shù)不含分母和開得盡方的因數(shù)或

因式，達(dá)到最后結(jié)果是最簡(jiǎn)二次根式的目的.

3.課堂小結(jié)

【知識(shí)梳理】

（1）二次根式的除法法則：*=/伍208>0）

（2）最簡(jiǎn)二次根式的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方

的因數(shù)或因式.

【重難點(diǎn)突破】

（1）在運(yùn)用二次根式除法法則時(shí)，注意被開方數(shù)的取值范圍，即“—Q,b—0,

要特別注意匕>0,因?yàn)楫?dāng)6=0時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)

先化成假分?jǐn)?shù)，如舊必須先化成怖，避免出現(xiàn)舊=這樣的錯(cuò)誤.

（2）只有當(dāng)a0,b0時(shí)，￥=「才能成立.

（3）二次根式的運(yùn)算結(jié)果都必須是最簡(jiǎn)二次根式，把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根

式需滿足以下兩個(gè)條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因

數(shù)或因式.

（4）當(dāng)二次根式的被開方數(shù)是不能再約分的分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式時(shí)，化簡(jiǎn)

第17頁共188頁

方法一，利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)：①“化”，將根號(hào)下的數(shù)化成分?jǐn)?shù)形

式，如果是帶分?jǐn)?shù)，則將其化為假分?jǐn)?shù)的形式；②“寫”，利用商的算術(shù)平方根

的性質(zhì)將《寫成*（/08>（））的形式；③“乘”，分子、分母都同時(shí)乘以一個(gè)

適當(dāng)?shù)臄?shù)，化去分母中的根號(hào)；④“約”，即約去分子、分母中的公因式，如:

_V5_后X拒_V15

?方法二，先直接去分母再化簡(jiǎn)：①將根號(hào)下的數(shù)化

w一耳—V3xV3-r

成分?jǐn)?shù)形式，如果是帶分?jǐn)?shù)，則將其化為假分?jǐn)?shù)的形式；②將分子、分母都同時(shí)

乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，使分母變成一個(gè)數(shù)的平方數(shù)；③將分母進(jìn)行開方，直接

作為化簡(jiǎn)后的分母，再對(duì)分子利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).如：

C25,5x3厲厲后

w=~

4.隨堂檢測(cè)

1.設(shè)一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為4石，一邊長(zhǎng)為2石，則另一邊長(zhǎng)為（）

A.2百B.2后C.2D.V3

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的除法】

【答案】B

【思路點(diǎn)撥】長(zhǎng)方形的面積除以其中一邊長(zhǎng)就等于另一邊長(zhǎng).

2.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V12B.V?C.&+/D.A

【知識(shí)點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式】

【答案】C

【思路點(diǎn)撥】

3.等式三成立的條件是（）

\x-2Jx-2

A.xw2B.x>0C.x>2D.xZO,且xw2

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的除法】

【答案】C

第18頁共188頁

尤>0

【思路點(diǎn)撥】由題意可得一八，所以x>2.

4.化簡(jiǎn):口——.

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式除法】

【答案】空

9x2

【思路點(diǎn)撥】后中,被開方數(shù)的分子、分母同時(shí)乘以3x就可實(shí)現(xiàn)分母有理化.

16.3.1二次根式的加減第一課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過學(xué)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算概念，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）能夠?qū)⒍胃交勺詈?jiǎn)二次根式，并能將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行

合并.

（2）能正確進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式的加減運(yùn)算.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

二次根式加減法的運(yùn)算.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，對(duì)被開方數(shù)相同的進(jìn)行合并.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1回顧：什么叫最簡(jiǎn)二次根式？

任務(wù)2閱讀教程P12T3,思考：如何對(duì)二次根式進(jìn)行加減？

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.V8-V2的結(jié)果是（）

A.V6B.72C.6D.2

第19頁共188頁

2.計(jì)算：般+g+舊的結(jié)果是（）

A.忘B.立C.逑D.逑

8168

3.若最簡(jiǎn)二次根式3，一師友和阿丁能夠合并，則這兩個(gè)二次根式的積

為.

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.B2.D3.6

（二）課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

（1）最簡(jiǎn)二次根式的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方

的因數(shù)或因式.

（2）如何進(jìn)行整式的加減運(yùn)算？

2.問題探究

問題探究一滿足什么條件的二次根式可以進(jìn)行合并？★

活動(dòng)一回顧整式的合并同類項(xiàng)

計(jì)算下列各式：

（1）a+2a;（2）3x—2x;

小結(jié)：合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加作為和的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變

活動(dòng)二類比遷移學(xué)習(xí)新知

計(jì)算下列各式：

(1)V3+2V3;(2)3百-2后

解：（1）原式=6+26=（1+2）石=3石；（2）原式=（3-2）6=石

結(jié)論：最簡(jiǎn)二次根式中，被開方數(shù)相同的二次根式的加減，直接把系數(shù)相加減,

根號(hào)和根號(hào)內(nèi)的數(shù)不變.

活動(dòng)三反思總結(jié)鞏固新知

問題：△+后能合并嗎？為什么？及+五呢？

結(jié)論：石+石不能合并；V2+V8=V2+2V2=3A/2

二次根式能夠進(jìn)行合并的條件：（1）首先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）

第20頁共188頁

觀察被開方數(shù)是否相同.

問題探究二如何進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算？▲

現(xiàn)有兩個(gè)面積分別為廂和J芯的正方形.（1）求大正方形與小正方形面積

之和；（2）求大正方形的面積比小正方形的面積多多少？

分析：（1）求兩個(gè)正方形的面積之和實(shí)際上就是求廂、J石的和，我們可以這

樣來計(jì)算：V80+745=475+375...（化為最簡(jiǎn)二次根式）

=（_+_）V5...（乘法分配率）

=7后

（2）求大正方形的面積比小正方形的面積多多少，實(shí)際上就是求廂與歷

的，仿照（1）我們可以得到：V80-V45

=……（化為最簡(jiǎn)二次根式）

=（-）后....（乘法分配率）

觀察與思考：

（1）觀察上述計(jì)算過程，思考二次根式是如何進(jìn)行加減的？

通過觀察我們發(fā)現(xiàn)：在進(jìn)行二次根式加減時(shí)，首先把不是最簡(jiǎn)二次根式的二

次根式化簡(jiǎn)成,然后利用將被開方數(shù)相同的

二次根式進(jìn)行合并.

（2）二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是什么？

二次根式加減的實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，同類二次根式的兩個(gè)條件：①

二次根式為;②相同.

答案：（1）最簡(jiǎn)二次根式；乘法分配率；（2）最簡(jiǎn)二次根式；被開方數(shù).

3.課堂小結(jié)

【知識(shí)梳理】

（3）二次根式合并的前提：化成最簡(jiǎn)二次根式之后，被開方數(shù)相同.

（4）二次根式加減的實(shí)質(zhì)：合并被開方數(shù)最簡(jiǎn)二次根式.

【重難點(diǎn)突破】

第21頁共188頁

（2）二次根式加減的實(shí)質(zhì)是二次根式的合并，計(jì)算過程中容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：

①化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)不相同，則不能進(jìn)行合并，如行+百力石；

②合并被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，

被開方數(shù)和根指數(shù)不變，如：3五+2后=5五而不是3正+2后=5VZ.

（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：①去括號(hào)；②化簡(jiǎn)；③判斷并合并.

4.隨堂檢測(cè)

1.下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）

A.J4與7?7B.+江與JX?-y2C.與+〃D.J2al與］2ba

【知識(shí)點(diǎn)：同類二次根式】

【參考答案】D

【思路點(diǎn)撥】化成最簡(jiǎn)二次根式之后，被開方數(shù)相同

2.下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的是（）

A.Jx2y3與J與y2B.Jw+y2與J（x+y）2C.與麻^D,也了手與

【知識(shí)點(diǎn)：同類二次根式】

【參考答案】C

【思路點(diǎn)撥】抓住同類二次根式的兩個(gè)條件：（1）最簡(jiǎn)；（2）被開方數(shù)相同.

3.下列下列計(jì)算正確的有（）

①五+百=石；②26+3正=5石；③2歷+3而=5而；@V8-J^=|V2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的加減】

【參考答案】B

【思路點(diǎn)撥】二次根式加減的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式，因此化簡(jiǎn)、判斷和合并

是解決此類題目基本思路.

4.計(jì)算：「一位的結(jié)果是（）

A.--V3B.--372C.石D.--V3

333

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的加減】

第22頁共188頁

【參考答案】D

【解析】、1-癡=3一2石=-*石

V333

5.估算而-行的值在（）.

A.7和8之間B.6和7之間C.3和4之間D.2和3之間

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的加減】

【參考答案】D

【解析】V28-V7=2V7-V7=77,內(nèi)，所以在2和3之間.

16.3.1二次根式的加減第二課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過學(xué)習(xí)二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、

推理能力和應(yīng)用意識(shí).

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）類比有理數(shù)混合運(yùn)算和整式混合運(yùn)算，探索二次根式的加、減、乘、除混

合運(yùn)算順序的步驟和方法.

（2）能熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

混合運(yùn)算的方法和步驟，以及運(yùn)算律的合理使用.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1回顧：什么叫最簡(jiǎn)二次根式？

任務(wù)2閱讀教程P12T3,思考：如何對(duì)二次根式進(jìn)行加、減、乘、除混合運(yùn)算？

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.計(jì)算（百+行”行的值為（）

A.5B.715+V10C.V30D.Vio

第23頁共188頁

2.計(jì)算（百+四（石-揚(yáng)的值為（）

A.V5B.5C.1D.2-73-272

3.計(jì)算（及+1尸的值是（）

A.2五B.2C.3D.3+272

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.B2.C3.D

（-）課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

（1）最簡(jiǎn)二次根式的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方

的因數(shù)或因式.

（2）如何進(jìn)行整式的加減運(yùn)算？

2.問題探究如何進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算？

例1已知矩形的長(zhǎng)為5正+26,寬為求它的面積.

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算】

【詳解】（5V2+2V3）x>/6=10>/3+65/2

【點(diǎn)撥】長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)乂寬

例2計(jì)算：（上+3）x（后-5）

【知識(shí)點(diǎn)】

【詳解】原式=④*后+及*（_5）+3*g+3*（_5）①

=（V2）2-5V2+3V2-15②

=2-2后-15③

=-13-2亞④

點(diǎn)撥：解題的關(guān)鍵在于會(huì)做二次根式的乘法和合并同類項(xiàng)。

觀察與思考

由上述計(jì)算過程可以看出：第①步運(yùn)用了多項(xiàng)式,實(shí)質(zhì)是乘

法律；第③步對(duì)被開方數(shù)的二次根式進(jìn)行了合并。

第24頁共188頁

結(jié)論：我們發(fā)現(xiàn)在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。對(duì)于化成

最簡(jiǎn)二次根式之后，被開方數(shù)不相同的二次根式則不能進(jìn)行加減運(yùn)算。

3.課堂小結(jié)

【知識(shí)梳理】

（1）二次根式的混合運(yùn)算的注意事項(xiàng)：運(yùn)算順序，結(jié)果必須是最簡(jiǎn)二次根式.

（2）分母有理化：乘以分母的有理化因式.

【重難點(diǎn)突破】

在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算順序與有理數(shù)的混合運(yùn)算相一致，可以把運(yùn)

算中的每一個(gè)根式看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和看作“多

項(xiàng)式”.

4.隨堂檢測(cè)

1.下列二次根式中可以進(jìn)行合并的是（）

A.y[ab與-Jah2B.-Jm2+n2與-Jm2-n~

C.y/mn與J—+—D.與72a3/74

Vmn

【知識(shí)點(diǎn)：同類二次根式】

【參考答案】D

【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否相同.

2.計(jì)算：（亞+1）（亞-1）的結(jié)果是（）.

A.3+V2B.3-V2C.1D.3

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算】

【參考答案】C

【思路點(diǎn)撥】在整式運(yùn)算中使用的公式在二次根式運(yùn)算中照樣適用，因此，本題

利用平方差公式直接計(jì)算即可.

3.若矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別是而cm和危cm,則它們的周長(zhǎng)是.

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式混合運(yùn)算】

【參考答案】14后cvn

【思路點(diǎn)撥】矩形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）X2

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4.計(jì)算：gx（后+3代-?。┑慕Y(jié)果是（）

A.3拒B.2V3C.6D.12

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算】

【參考答案】D

【思路點(diǎn)撥】V12x（V75+3^1-748）=712x（573+73-473）=273x2-73=12

5.計(jì)算：（a-15、口+工風(fēng)）土石

V34

【知識(shí)點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算】

【參考答案】-1

【解析】原式=（3百-5石+揚(yáng)+△=+6=-1

17.1勾股定理第一課時(shí)（袁梅）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)：

通過學(xué)習(xí)勾股定理，初步發(fā)展基本的幾何直觀和邏輯推理能力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）觀察以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)勾股定理的結(jié)

論.

（2）能證明勾股定理.

（3）應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的問題.

（4）了解勾股定理相關(guān)的史料，知道我國(guó)古代在研究勾股定理上的杰出成就.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

探索并證明勾股定理.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

勾股定理的探索和證明.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1：閱讀教材P22—P24,思考：勾股定理的內(nèi)容是什么？你還有哪些方

法可以證明勾股定理?

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任務(wù)2：怎樣利用勾股定理求線段的長(zhǎng)？你能將此公式進(jìn)行哪幾種變形？

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

1.求下圖中的字母代表的正方形的面積：A=，B=.

第1題圖

2.如圖，求未知邊c=b=

預(yù)習(xí)自測(cè)

1.225,225

2.25,12

(二)課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

(1)正方形的面積怎樣計(jì)算？

(2)經(jīng)過證明被確認(rèn)為叫做定理.

2.問題探究

問題探究一、觀察圖形的面積關(guān)系，發(fā)現(xiàn)勾股定理的結(jié)論

?活動(dòng)一觀察與思考：

(1)等腰直角三角形三邊關(guān)系

如圖1,三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？由此聯(lián)想到等腰直角三角形的三邊有何

數(shù)量關(guān)系？

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（2）兩條直角邊分別為3、4個(gè)單位的直角三角形三邊關(guān)系

如圖2,正方形A的面積為一個(gè)單位，正方形B的面積為個(gè)單位，正方

形C的面積可以用“割”的方法，將正方形分割成4個(gè)直角邊分別為、.

的全等直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面積之和；也可用“補(bǔ)”的方法,

用1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面積減去4個(gè)直角邊分別為、一的全等直角

三角形的面積），即正方形C的面積為單位.

通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)兩直角邊分別為3、4個(gè)單位的直角三角形的三邊關(guān)系為

（3）兩條直角邊分別為任意整數(shù)個(gè)單位的直角三角形三邊關(guān)系

請(qǐng)你在下列方格圖中，畫一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形，探究你所畫的直角三

角形是否也有上述性質(zhì)？

命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號(hào)表示：在RtZkABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,則a2+從=

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問題探究二驗(yàn)證勾股定理I重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)*上

?活動(dòng)一大膽猜想，從。2+反=c2的“式結(jié)構(gòu)”來看，可以聯(lián)想到正方形

面積的“形結(jié)構(gòu)”.

如圖3,構(gòu)造出邊長(zhǎng)分別為a、從c的正方形面積來證明.

?活動(dòng)二集思廣益，證明勾股定理

如圖4,用“補(bǔ)”的方法，可得c2=()2-4X,化簡(jiǎn)整理得

a2+b2=c2.

如圖5,用“割”的方法，可得/=(尸+4X,化簡(jiǎn)整理得

a2+b2=c2.

圖3圖4圖5

?活動(dòng)三感受我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的證明

教材P23—P24,P30,閱讀我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究，并完成課本

拼圖法證明勾股定理.

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,則a?+b2=c2.

?活動(dòng)四反思過程，公式變形

公式變形：&=c2-a2-*b=>/c2—a2；

才=c2-b2-a八展F

問題探究三勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用|重點(diǎn)★

?活動(dòng)一初步運(yùn)用，運(yùn)用定理求線段長(zhǎng)

例1在RtaABC中，ZC=90'\NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c.

【知識(shí)點(diǎn)：勾股定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

(1)若a=3,b=5,求c；

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(2)若a=8,U17,求b；

(3)若a：b=1：2,c=5,求a、b

詳解：(1)Va2+b2=c2,/.c=Va2+b2=V32+

(2)略

(3)由a：b=1：2,可設(shè)a=%，b=2%則x2+(2x)2=52,解得於行....公遮,

b=2遙.

點(diǎn)撥：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，利用勾股定理求第三邊長(zhǎng)時(shí)，關(guān)鍵是弄清已知

什么邊，求什么邊，靈活運(yùn)用公式求解.

?活動(dòng)二變式應(yīng)用

例2在RtAABC中，AB=4,AC=6,求BC的長(zhǎng).

【知識(shí)點(diǎn)：勾股定理，二次根式的運(yùn)算；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

詳解：此題與上題相比，未指明哪個(gè)角為直角，即不清楚誰為斜邊，所以應(yīng)分兩

類進(jìn)行計(jì)算.①當(dāng)AC為斜邊

時(shí)，則BC2+AB2=AC2,g[JBC=VAC2-AB2=V62-42=2^5；②當(dāng)BC為斜邊

時(shí)，則AC?+AB2=BC2,gpBC=VAC2+AB2=<62+42=2^13,綜上，BC的值

為2百或2,砥.

點(diǎn)撥：利用勾股定理解題時(shí)若未明確直角邊、斜邊，則應(yīng)分類討論進(jìn)行計(jì)算.

3.課堂總結(jié)

【知識(shí)梳理】

(1)勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,則a?+b2=/.

(2)公式變形：I)=c-afb=y/c2-a2；a=d-b?-a=Vc2-b2

【重難點(diǎn)突破】

(1)勾股定理揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系.已知a、b、c(c為斜邊)中

的任意兩邊，能求出第三邊，①已知a、b,則c=Va2+b2；②已知a、c,則b

=Vc2-a2；③已知b、c,則a=一言.

(2)運(yùn)用勾股定理時(shí)應(yīng)注意：①確定該三角形是直角三角形；②分清直角邊和

斜邊，若未明確直角邊、斜邊，則應(yīng)分類討論.

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(3)勾股定理的發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想和驗(yàn)證，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和

數(shù)學(xué)結(jié)合思想.

(4)面積法驗(yàn)證勾股定理的關(guān)鍵是，要找到一些特殊圖形(如直角三角形、正

方形、梯形)的面積之和等于整體圖形的面積，從而達(dá)到驗(yàn)證的目的.

4.隨堂檢測(cè)

1.下列說法正確的是()

A.若《從c是4ABC的三邊長(zhǎng)，則a2+/=c2.

B.若a、從c是RtAABC的三邊長(zhǎng)，則a2+b2=c2.

C.若a、b、c是RtAABC的三邊長(zhǎng),ZA=90",則a2+b2=c2.

D.若a、b、c是RtAABC的三邊長(zhǎng)，ZC=90°,則a2+b2=c2.

【知識(shí)點(diǎn)：勾股定理；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

【參考答案】D.

【解析】運(yùn)用勾股定理時(shí)應(yīng)注意：確定該三角形是直角三角形；并分清直角邊和

斜邊，根據(jù)定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.故選D.

2.在RtAABC中，NC=90",NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c.

(1)若a=6,b=8,則0=；

(2)若a=9,G15,則人.

【知識(shí)點(diǎn)：勾股定理，二次根式的運(yùn)算；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

【參考答案】10；12

【解析】根據(jù)勾股定理，C=Va2+b2=V62+82=10；

b=Vc2—a2=V152—9s=12

3.在RtAABC中，NB=90",AB=5,AC=10,則B