勾股定理學(xué)案設(shè)計

勾股定理學(xué)案設(shè)計【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：1.掌握勾股定理的逆定理，能夠應(yīng)用此定理判斷三角形的形狀．2.能夠應(yīng)用勾股定理的逆定理，進(jìn)行有關(guān)的計算或推理．3.了解命題的組成，能寫出它的逆命題，并能判斷逆命題是否正確．4.了解互逆定理，并能判斷一個定理是否一定有逆定理．二.知識要點：1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形，該定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，能通過計算判斷一個三角形是否為直角三角形．2.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）計算c2與a2＋b2的值，若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形；若a2＋b2＜c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2＋b2＞c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）．3.能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．如：①3、4、5；②6、8、10；③5、12、13；④8、15、17等都是勾股數(shù)．4.如果兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這兩個命題叫做__________，如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的__________．5.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個定理，稱這兩個定理互為__________．三.重點難點：重點是掌握勾股定理逆定理的內(nèi)容，難點是利用勾股定理逆定理解題．【典型例題】例1.如圖所示，若在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC邊上的中線AD＝4cm，則∠ADC的度數(shù)是多少？分析：根據(jù)AD是BC邊上的中線，可得BD＝3cm，又因為AB＝5cm，AD＝4cm，所以有BD2＋AD2＝AB2，因此△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，根據(jù)∠ADB與∠ADC是鄰補角可得∠ADC＝90°．解：因為AD為BC邊上的中線，所以BD＝DC＝eq\f(1,2)BC＝3cm．在△ABD中，因為AB＝5cm，BD＝3cm，AD＝4cm，所以BD2＋AD2＝32＋42＝52＝AB2．所以△ABD為直角三角形，且∠ADB＝90°．所以∠ADC＝90°．評析：通過三邊的長度關(guān)系得到△ABD是直角三角形后，再去探求角的度數(shù)．例2.寫出下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否成立．（1）對頂角相等；（2）等腰三角形兩腰上的高相等．分析：交換所給命題的題設(shè)和結(jié)論，寫出逆命題，再加以判斷．解：（1）相等的角是對頂角．不成立．（2）兩邊上的高相等的三角形是等腰三角形．成立．評析：（2）中的逆命題不能寫成“兩腰上的高相等的三角形是等腰三角形”，因為“等腰三角形”是結(jié)論，所以題設(shè)中不能出現(xiàn)“腰”．例3.判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形．其中a＝eq\f(5,4)，b＝1，c＝eq\f(3,4)．分析：在a、b、c中，a是最長邊，看b2＋c2是否等于a2．解：因為a2＝(eq\f(5,4))2＝eq\f(25,16)，b2＝12＝1，c2＝(eq\f(3,4))2＝eq\f(9,16)，所以b2＋c2＝eq\f(9,16)＋1＝eq\f(25,16)．即b2＋c2＝a2．所以由線段a、b、c組成的三角形是直角三角形．評析：在勾股定理及其逆定理中，式子a2＋b2＝c2表示三角形三邊間的關(guān)系，其中a、b對應(yīng)直角邊，c對應(yīng)斜邊，而在具體問題中，可能僅有邊長而未標(biāo)明a、b、c，也可能出現(xiàn)c不表示斜邊的情況．本題就是一例，其中c＝eq\f(3,4)并不表示斜邊．如不認(rèn)真分析而簡單的因為a2＋b2≠c2就判斷此三角形不是直角三角形，顯然錯誤．例4.如圖所示，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于D，且CD＝eq\f(12,5)，你能說明△ABC是直角三角形嗎？分析：在Rt△CDB中，已知BC和CD．可求得BD的長，進(jìn)而可得AD的長．在Rt△CDA中，已知AD和CD，可求得AC的長，再判斷△ABC是否為直角三角形．解：在Rt△CBD中，因為BC＝3，CD＝eq\f(12,5)所以BD＝．又因為AB＝5，所以AD＝．在Rt△ADC中，AD＝，CD＝eq\f(12,5)，所以AC＝4．在△ABC中，AB2＝52＝25，AC2＝42＝16．BC2＝32＝9，AC2＋BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形．例5.如圖所示，某工廠A前面有一條筆直的公路，原先有兩條路AB、AC可以從工廠A到達(dá)公路，經(jīng)測量AB＝6千米，AC＝8千米，BC＝10千米，現(xiàn)需要修建一條公路，使工廠A到公路的距離最短，請你幫工廠A設(shè)計一種方案，并求出公路的長．分析：點A到直線的距離最短的是：過點A作直線的垂線段．要求出垂線段的長度，需利用面積法來求，這樣就需要判斷這個三角形的形狀，如這個三角形是直角三角形，那么，兩直角邊的積等于斜邊乘以斜邊上的高，以此來求出垂線段的距離．解：方案是：過點A作公路BC的垂線段，垂足為D，線段AD即為要修的公路．在△ABC中，因為AB2＋AC2＝62＋82＝100BC2＝102＝100所以AB2＋AC2＝BC2所以△ABC是直角三角形．所以三角形ABC的面積＝eq\f(1,2)×AB×AC＝eq\f(1,2)×6×8＝24所以24＝eq\f(1,2)×BC×AD所以AD＝eq\f(24,5)＝．答：公路的最短距離為千米．評析：兩個最短距離：①兩點之間線段最短；②點到直線的距離：垂線段最短．因此在求點到直線的最短距離時，都是通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來求解的．例6.根據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將第一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括為“勾三、股四、弦五”．（1）觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．計算eq\f(1,2)×（9－1），eq\f(1,2)×（9＋1）與eq\f(1,2)×（25－1），eq\f(1,2)×（25＋1），并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7、24、25的股和弦的算式．（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，用n（n為奇數(shù)且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合理猜想它們之間的第二種相等關(guān)系并對其中一種猜想加以說明．分析：（1）當(dāng)勾＝3時，股＝4＝eq\f(1,2)×（9－1）＝eq\f(1,2)×（32－1），弦＝5＝eq\f(1,2)×（9＋1）＝eq\f(1,2)×（32＋1）；當(dāng)勾＝5時，股＝12＝eq\f(1,2)×（25－1）＝eq\f(1,2)×（52－1），弦＝13＝eq\f(1,2)×（25＋1）＝eq\f(1,2)×（52＋1），歸納出規(guī)律即可．（2）第一種關(guān)系：弦比股多1，第二種關(guān)系滿足勾股定理．解：（1）eq\f(1,2)×（9－1）＝4，eq\f(1,2)×（9＋1）＝5；eq\f(1,2)×（25－1）＝12，eq\f(1,2)×（25＋1）＝13，由上面的規(guī)律可知：7、24、25的股和弦的算式分別為eq\f(1,2)×（49－1），eq\f(1,2)×（49＋1）．（2）勾、股、弦的算式為n，eq\f(1,2)（n2－1），eq\f(1,2)（n2＋1）．關(guān)系為eq\f(1,2)（n2－1）＋1＝eq\f(1,2)（n2＋1）；n2＋[eq\f(1,2)（n2－1）]2＝[eq\f(1,2)（n2＋1）]2．理由：eq\f(1,2)（n2－1）＋1＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)＋1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)（n2＋1）；n2＋[eq\f(1,2)（n2－1）]2＝n2＋eq\f(1,4)（n2－1）2＝n2＋eq\f(1,4)（n4－2n2＋1）＝eq\f(1,4)n4＋eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)（n4＋2n2＋1）＝eq\f(1,4)（n2＋1）2＝[eq\f(1,2)（n2＋1）]2．評析：對于探索規(guī)律的題目，一般要多觀察分析，找出內(nèi)在聯(lián)系，然后歸納出規(guī)律．【方法總結(jié)】1.在已知三邊長的關(guān)系時，一般需要用勾股定理的逆定理來判斷其形狀或求角的度數(shù)．2.在用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時，先確定最大邊，然后再驗證兩條較小的邊的平方和是否等于最大邊的平方．3.任何一組勾股數(shù)擴大到原來的k（k為正整數(shù)）倍后仍為勾股數(shù)．4.說明一個命題不成立，只需舉出一個反例即可．【模擬試題】（答題時間：45分鐘）一.選擇題1.下列以a、b、c為邊長的三角形不是直角三角形的是（）A.a＝，b＝2，c＝3 B.a＝7，b＝24，c＝25C.a＝6，b＝8，c＝10 D.a＝9，b＝40，c＝412.已知三角形的三邊長為15、36、39，那么這個三角形是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定3.已知△ABC的三邊長分別為5、13、12，則△ABC的面積為（）A.30 B.60 C.78 D.不能確定4.適合下列條件的△ABC中，是直角三角形的個數(shù)為（）①a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,5)②a＝b，∠A＝45°③a＝15，b＝8，c＝17④a＝，b＝2，c＝⑤∠A＝32°，∠B＝58°A.2個 B.3個 C.4個 D.5個5.一個三角形的三邊長分別為15，20，25，則這個三角形最長邊上的高為（）A.12 B.10 C.12eq\f(1,2) D.10eq\f(1,2)6.三角形的三邊長a、b、c滿足等式(a＋b)2－c2＝2ab，則此三角形是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形7.將直角三角形的三邊都擴大2倍，得到的三角形是（）A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定*8.下列說法中，正確的是（）①如果∠A＋∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形②如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，那么△ABC是直角三角形③如果三角形的三邊分別為3k，4k，5k（k＞0），那么△ABC是直角三角形④如果三角形的三邊分別為n2－1，2n，n2＋1（n＞1），那么△ABC是直角三角形A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二.填空題1.除3、4、5外，再寫出三組“勾股數(shù)”：__________．2.以a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(5,4)，c＝1為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形嗎？__________，理由是__________．*3.一個直角三角形的兩邊長分別為4和5，則第三邊長的平方等于__________．*4.△ABC的三邊為a、b、c，若a2＋b2＝25，a2－b2＝7，又c＝5，則最大邊上的高為__________．*5.若△ABC的三邊a、b、c滿足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，則△ABC是__________三角形．**6.有一根70cm的木棒，要放在長、寬、高分別為50cm、40cm、30cm的木箱中，則__________放進(jìn)去（填“能”或“不能”）。**7.已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC是長方形，點A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為__________．**8.已知a、b、c為三個正整數(shù)，如果a＋b＋c＝12，那么以a、b、c為邊能組成的三角形是：①等腰三角形；②等邊三角形；③直角三角形；④鈍角三角形．以上符合條件的正確結(jié)論是__________．（只填序號）三.解答題1.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假．（1）兩直線平行，同位角相等；（2）全等三角形的三個角對應(yīng)相等．2.什么樣的兩個命題成為互逆命題，試舉例說明．3.試說明：以a＝m2－n2，b＝2mn和c＝m2＋n2（其中m＞n＞0）為邊的三角形一定是直角三角形，并據(jù)此結(jié)論寫出幾組“勾股數(shù)”．*4.只給你一把刻度尺，你怎樣檢驗如圖所示的角是不是直角？簡述設(shè)計方案，并說明理由．

【試題答案】一.選擇題1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.A8.D二.填空題1.略2.是，因為a2＋c2＝b2，所以它是以b為斜邊的直角三角形3.9或414.eq\f(12,5)5.直角提示：將a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c變形得（a－5）2＋（b－12）2＋（c－13）2＝0．解得a＝5，b＝12，c＝13．則a2＋b2＝c2．6.能提示：如圖所示，BC＝40cm，CD＝30cm，AB＝50cm．能夠放入木箱的最長木棒為AD，在Rt△BCD中，BD＝eq\r(,302＋402)＝50．在Rt△ABD中，AD＝eq\r(,502＋502)＝50eq\r(,2)＞70，所以長為70cm的木棒能放進(jìn)木箱．7.（2，4）或（8，4）或（3，4）提示：如圖（1）所示，△ODP1中，OD＝DP1＝5，作DE⊥BC，則DE＝4