廣東省東莞市高三專題練習(xí)-數(shù)列

東莞市高三文科數(shù)學(xué)專題練習(xí)——數(shù)列東莞市第一中學(xué)孟勝奇一、數(shù)列的命題趨向1.數(shù)列的地位新課標(biāo)實施后，數(shù)列地位沒有顯著變化.數(shù)列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是一個客觀性試題加一個解答題，分值占整個試卷的10%左右.客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前項和公式等內(nèi)容，對基本的計算技能要求比較高，解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目.2.有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來高考命題的新熱點.（2）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點.以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查.（3）加強(qiáng)了數(shù)列的綜合考查題.二、數(shù)列問題的訓(xùn)練與應(yīng)試策略1.熟練掌握、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì).等差、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)在解決數(shù)列問題時應(yīng)用非常廣泛，且十分靈活，主動發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì)，往往使運(yùn)算簡潔優(yōu)美.如在等比數(shù)列中，已知，可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：，從而有.2.對客觀題，應(yīng)注意尋求簡捷方法.解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題，就會發(fā)現(xiàn)，除了常規(guī)方法外，還可以用更簡捷的方法求解.現(xiàn)介紹如下：（1）借助特殊數(shù)列.（2）靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，可更加準(zhǔn)確、快速地解題，這種思路在解客觀題時表現(xiàn)得更為突出，很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡捷的解法.3.對主觀題，要加強(qiáng)能力訓(xùn)練.數(shù)列問題對能力要求較高，特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出.解答題更是考查能力的集中體現(xiàn)，尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查，應(yīng)引起我們足夠的重視.因此，在平時要加強(qiáng)對能力的培養(yǎng).4.在數(shù)列中加強(qiáng)應(yīng)用題的訓(xùn)練.三、基本知識和主要方法（一）基本知識：1.等差（比）數(shù)列的性質(zhì)：（1），；（2）等差數(shù)列中，若，則；等比數(shù)列中，若，則.（3）等差數(shù)列的任意連續(xù)項的和構(gòu)成的數(shù)列、、、、……仍為等差數(shù)列；等比數(shù)列的任意連續(xù)項的和構(gòu)成的數(shù)列、、、、……仍為等比數(shù)列.2.三個數(shù)成等差的設(shè)法：；四個數(shù)成等差的設(shè)法：；三個數(shù)成等比的設(shè)法：.3.等差（比）中項公式：，（，有兩個值）4.等差（比）數(shù)列的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差（比）數(shù)列.5.注意與的相互轉(zhuǎn)化式的應(yīng)用:靈活運(yùn)用求通項公式.（二）主要方法：1.求數(shù)列的通項公式常用方法：（1）形如可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列去求解；（2）形如的遞推數(shù)列，可用“累加法”去求解；（3）形如的遞推數(shù)列，可用“累乘法”去求解；（4）有些遞推數(shù)列變形后即為等差、等比數(shù)列，則可用公式求解.2.解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問題，要充分利用等差、等比數(shù)列的概念、公式和性質(zhì)，盡量避免復(fù)雜運(yùn)算，利用等比數(shù)列求和公式時，要注意公比是否等于1，必要時要分類討論.3.對非等差、等比數(shù)列的求和，一般用分組求和、裂項相消求和、錯位相減求和、倒序相加求和等方法解決.四、綜合訓(xùn)練1．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.2．已知數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列3.已知數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求使得的集合.4．設(shè)為公差大于0的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項的和．已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，證明：數(shù)列的前n項和<．5.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的格點（格點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)為（）.（1）求、的值及的表達(dá)式；（2）設(shè)，為的前項和，求.6.已知數(shù)列滿足＝1，＝（）.（1）求；（2）證明：求.7.已知點在函數(shù)的圖像上，.（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）設(shè),記，求.8.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，滿足關(guān)系.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）在正數(shù)數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列中的最大項.9．已知的首項為，公比為正數(shù)（）的等比數(shù)列，其前項和為，且.（1）求的值；（2）設(shè)，請判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列，若能，請求出的值，否則請說明理由.10.為減少市區(qū)的環(huán)境污染，有關(guān)部門決定，從2022年開始停止辦理市區(qū)摩托車入戶手續(xù).此時該區(qū)域內(nèi)居民摩托車擁有量已達(dá)萬輛.據(jù)測算，每7輛摩托車排放污染物總量等于一輛公交車排放的污染物，而每輛摩托車的運(yùn)送能力是一輛公交車運(yùn)送能力的4%.若從2022年年初起年內(nèi)退役部分摩托車，第一年退役萬輛，以后每年退役的摩托車數(shù)量是上一年的80%，同時增加公交車的數(shù)量，使新增公交車的運(yùn)送能力等于退役摩托車原有的運(yùn)送能力.（1）求年內(nèi)新增公交車的總量（萬輛）;（2）要求到2022年年初，剩余摩托車與新增公交車排放污染物的總量不超過原有萬輛摩托車排放污染物總量的一半，假定每輛摩托車排放污染物數(shù)量為,問第一年至少退役摩托車多少萬輛？（精確到）.11．已知由正數(shù)組成的兩個數(shù)列，如果是關(guān)于的方程的兩根。（1）求證：為等差數(shù)列；（2）已知分別求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)。12．已知點和互不相同的點，，，…，，…，滿足，其中分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，為坐標(biāo)原點，若是線段的中點.（1）求的值；（2）點，，，…，，…能否共線？證明你的結(jié)論；（3）證明：對于給定的公差不零的，都能找到唯一的一個，使得，，，…，，…，都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上.數(shù)列專題參考答案1．解：（1）設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，由題意，得解得∴.（2），∴=2．解：（1）當(dāng)； 當(dāng)（2）令 當(dāng)；當(dāng)綜上，3.解：（1）設(shè)數(shù)列由題意得：解得：（2）依題，為首項為2，公比為4的等比數(shù)列（2）由4．解：（1）＝，由解得．或，∵d>0，∴，于是，∴．（2）∴5.解：（1）由已知易于得到，；當(dāng)時，，可取格點個；當(dāng)時,，可取格點個∴.（2）由題意知:………①∴………②∴①—②得∴6.解：（1）解：（1）解:∵，∴，(2)證明：已知得……當(dāng)時，∴7.解：（1）∵點在函數(shù)的圖像上，∴=，并且

即，整理得，∵，∴∴數(shù)列{}是以1為首項、4為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，∴，∵，∴，＝=,

∴==8.解：（1）證明：∵①∴②②－①，得∵故數(shù)列{an}是等比數(shù)列（2）解：據(jù)（Ⅰ）可知由，得令∵在區(qū)間（0，e）上，∴在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).∴是遞減數(shù)列又∴數(shù)列中的最大項為.9．解：（1）由題意知4（2）要使為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)即為等比數(shù)列，∴能為等比數(shù)列，此時10.解：（1）由題意知，第一年退役摩托車萬輛，第二年退役萬輛，第n年退役萬輛，所以，n年共退役摩托車根據(jù)所給條件得：因此n年內(nèi)新增公交車的總量為萬輛；（2）由題意，經(jīng)過4年剩余摩托車排放污染物為：，新增公交車排放的污染物為：，據(jù)題意+則答：第一年至少退役摩托車萬輛.11．（1）證明：由的兩根得是等差數(shù)列（2）由（1）知又符合上式，（3）①②①—②得.12．解：（1）是線段的中點又，且不共線，由平面向量基本定理，知：(2)由設(shè)的公差為，的公比為，則由于，，，…，，…互不相同，所以，不會同時成立；若，則， ，，，…，，…都在直線上；若，則為常數(shù)列， ，，，…，，…都在直線上；若且，，，，…，，…共線與共線（）與矛盾，∴當(dāng)且時，，，