【轉(zhuǎn)】變力做功問題的求法集錦

【轉(zhuǎn)】變力做功問題的求法集錦【轉(zhuǎn)】變力做功問題的求法集錦#/13變力的功求法集錦第一.平均力法.基本依據(jù):如果一個過程,若尸是位移I的線性函數(shù)時，即F=k/+b時，可以用/的平均值F=(Fi+F2)/2來代替F的作用效果來計算。.基本方法：先判斷變力F與位移l是否成線性關(guān)系，然后求出該過程初狀態(tài)的力F和末狀態(tài)的力F,1 2再求出每段平均力和每段過程位移，然后由w=Flcosa求其功?！纠?】用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘釘入木塊內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm，問擊第二次時，能擊入多深？(設(shè)鐵錘每次做功都相等)解析：鐵錘每次做功都是克服鐵釘阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比。F二以，可用平均阻力來代替。丁 F］=［七入 叫=?1芯］=—丘J如圖所示，第一次擊入深度為田，平均阻力為 上，做功為： 2_1T= 耳=774(4十.T第二次擊入深度為對到犯，平均阻力為： 2位移為H—句做功為：'■兩次做功相等：的二嗎解后有：叼二小?14岳胞上工工廠工產(chǎn)0d化洛練習(xí)1：例如:用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘進d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次進入木板的深度是多少？解：kd.d=kd+k(d+d)d..?"，=(v-_1)d此題也可用圖像法：因為木板對釘子^2 ^2的阻力與釘進木板的深度成正比，即F=kd，其圖象為圖所示。鐵錘兩次對釘子做功相同，則三角形OAB的面積與梯形ABCD的面積相等，即1dx(kd)=1Ikd+k(d+d，)]xd廨得 d'=?2_1)d2 2練習(xí)2：要把長為l的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為E0，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問此釘子全部進入木板需要打擊幾次？分析：在把釘子打入木板的過程中，釘子把得到的能量用來克服阻力做功，而阻力與釘子進入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。釘子在整個過程中受到的平均阻力為:”包_k_釘子克服阻力做的功為：卬_和/2設(shè)全過程共打擊n次,則給予釘子的總能量：E_nE-1k2F— — w—Fl—kl2 —nL—22 2 f2 總02kl2所以kl2所以n——2E0泰然尹愉七窕鴕窯涔涔滔必也淞熹貧【例2】如圖所示，輕彈簧一端與豎直墻壁相連，另一端與一質(zhì)量為m的木塊連接，放在光滑的水平面上。彈簧勁度系數(shù)為k，開始時處于自然長度?，F(xiàn)用水平力緩慢拉木塊，使木塊前進x，求拉力對木塊做

了多少功？解析：在緩慢拉動過程中，力F與彈簧彈力大小相等，即F=kx。當x增大時，F(xiàn)增大，即F是一變力,求變力做功時，不能直接用Fscosa計算，可以用力相對位移的平均值代替它，把求變力做功轉(zhuǎn)換為求恒力做功。F緩慢拉木塊，可以認為木塊處于平衡狀態(tài)，故拉力等于彈力，即F=kx。因該力與位移成正比，可用平均力F=+kx求功，故2W=F-x=+kx2。2【例3】如圖所示，在盛有水的圓柱形容器內(nèi)豎直地浮著一塊立方體木塊，木塊的邊長為h，其密度為水的密度p的一半，橫截面積也為容器截面積的一半，水面高為2h，現(xiàn)用力緩慢地把木塊壓到容器底上，設(shè)水不會溢出，求壓力所做的功。解析：木塊下降同時水面上升，因緩慢地把木塊壓到容器底上，所以壓力總等于增加的浮力，壓力是變力，當木塊完全浸沒在水中的下降過程壓力是恒力。本題的解法很多，功能關(guān)系、F-S圖像法、平均值法等均可求變力做功，現(xiàn)用平均值法求。木塊從開始到完全浸沒在水中，設(shè)木塊下降了，水塊上升了（同體積的水塊隨木塊的下降而上升）1 2h,根據(jù)水的體積不變，貝hh2了=h2了得了=了所以當木塊下降7時，木塊恰好完全浸沒在水中，12 12 40+Pgh2二F=△F=Pgh2（了+了）=2pgh2了x了所以卬=Fh=Fi+F2h= 2h=1pgh4木塊恰好完全浮 12 11 WiF4 2 4 2 48Pgh一一3h5_ _ _h__ __ ,h5.5.浸沒在水中經(jīng)Ah=2h-=:h到容器底部，壓力為恒力F=pgh2工所以W=FAh=pgh2-h=-pgh444 2 2 24 8故壓力所做的功為:第二.圖象法1.原理：在F-1圖象中，圖線與坐標軸所圍成的“面積”表示功，作出變力變化的F-1圖象，圖象與位移軸所圍的“面積”即為變力做的功。力學(xué)中叫作示功圖。2、方法：對于方向在一條直線上，大小隨位移變化的力，作出F-1圖象,求出圖線與坐標軸所圍成的“面積”，就求出了變力所做的功?！纠?】靜置于光滑水平面上坐標原點處的小物塊，在水平拉力F作用下,沿x軸方向運動，拉力F隨物塊所在位置坐標x的變化關(guān)系如圖所示，圖線為半圓.則小物塊運動到x0處時的動能為（）答案（C）A.0 B.1/2FmX0 C.4FmX0 D.4X02【例2】用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設(shè)木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘進d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第一次相同，那么，第二次進入木板的深度是多少？

分析與解：因為阻力因三也，以F為縱坐標，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標，作出尸-X圖象，如圖所示，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功。121由于兩次做功相等，故有：邑二邑（面積）即萬七"=彳.（的十巧.的一狗）加二七一七二0.4止活【例3】如圖所示，輕彈簧一端與豎直墻壁相連，另一端與一質(zhì)量為m的木塊連接，放在光滑的水平面上。彈簧勁度系數(shù)為k,開始時處于自然長度?，F(xiàn)用水平力緩慢拉木塊，使木塊前進x,求拉力對木塊做了多少功。此題也可用圖像法：F緩慢拉木塊，可以認為木塊處于平衡狀態(tài)，故拉力等于彈力，即尸=1?,作出F-x圖，求出圖線與坐標軸所圍成的“面積”，結(jié)果也是卬=戶"=+依2。2練習(xí)：放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)k=200N/m的輕彈簧相連。現(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點移動，=02根時，木塊開始運動，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢1移動了，=0.4機的位移，求上述過程中拉力所做的功。2分析：由題意作出尸-X圖象如圖所示，在木塊運動之前，彈簧彈力隨彈簧伸長量的變化是線性關(guān)系,甲一工久〔0.6十54）x4。J-20J木塊緩慢移動時彈簧彈力不變，圖線與橫軸所圍梯形面積即為拉力所做的功。即？第三.用公式取=叫求解.基本原理：在機車的功率不變時，根據(jù)尸=尸口知，隨著速度v的增大，牽引力將變小，不能用W=FI求功，但已知功率恒定，所以牽引力在這段時間內(nèi)所做的功可以根據(jù)用二門求出來。.基本方法：因為功率恒定，所以設(shè)法求出做功的時間，然后即可按用=必求出這段時間牽引力的功。（在已知平均功率一定時，也可采用這種方法）［例1］質(zhì)量為m的機車，以恒定功率從靜止開始起動，所受阻力是車重的k倍，機車經(jīng)過時間t速度達到最大值v,求機車的功率和機車所受阻力在這段時間內(nèi)所做的功。解析：機車的功率恒定，從靜止開始達到最大速度的過程中，牽引力不斷減小，當速度達到最大值時,機車所受牽引力達到最小值，與阻力相等。在這段時間內(nèi)機車所受阻力可認為是恒力，牽引力是變力，因此，機車做功不能直接用爐=同°睡口來求解，但可用公式取=叫來計算。根據(jù)題意，機車所受阻力/二方微巳當機車速度達到最大值時，機車功率為：尸二朋;二戶二號中根據(jù)手-一,該時間內(nèi)機車牽引力做功為：稱=叫根據(jù)動能定理*-一八處?，得牽引力克服阻力做功為:1 . 1m%=W- --mv W'二一號二—wgv-km舒￡故 故阻力做功為：練習(xí)1：質(zhì)量為5t的汽車以恒定的輸出功率75kW在一條平直的公路上由靜止開始行駛，在10s內(nèi)速度達到10m/s,求摩擦阻力在這段時間內(nèi)所做的功。分析：汽車的功率不變，根據(jù)P=F知，隨著速度v的增大，牽引力將變小，不能用W=Fl求功，

但已知汽車的功率恒定，所以牽引力在這段時間內(nèi)所做的功一工5X10叮 ，再由動能定理得:1 、 -Wf+%=-rnv2-0 %=三用^一壓）=—5xlTJ所以-2練習(xí)2：質(zhì)量為5000Kg的汽車，在平直公路上以60kW的恒定功率從靜止開始啟動，速度達到24m/s的最大速度后，立即關(guān)閉發(fā)動機，汽車從啟動到最后停下通過的總位移為1200m.運動過程中汽車所受的阻力不變.求汽車運動的時間。解析：牽引力是變力，該過程中保持功率p恒定，牽引力的功可以通過w=n來求。汽車加速運動的時間為匕，由動能定理得：Pt-F-5=0TOC\o"1-5"\h\z1 1fC「 「 「P汽車達到最大速度時，牽引力和阻力大小相等，則P=Fv=Fv即b=一可求得汽車加速運mfmfymF?s 11200 ”動的時間為/=f-=—=—=50s關(guān)閉油門后，汽車在阻力作用下做勻減速直線運動至停止，由1P v 24mmvmv2 5000x242動量定理得：-F?t=0-mv可求得汽車勻減速運動的時間為t=m=m= s=48s則f2m 2FP 60x1000f汽車運動的時間為：t=t1+t2=50s+48s=98s小結(jié)：對于交通工具以恒定功率運動時，都可以根據(jù)取=必來求牽引力這個變力所做的功。第四.等效變換法：.基本思路：在某些情況下，通過等效變換可以將變力做功轉(zhuǎn)換成恒力做功，然后用WF=lcosa求解。.基本方法：找出不變的因素，將變力做功轉(zhuǎn)換成恒力做功及與之對應(yīng)的位移，然后用求功公式求解?！纠?】如圖所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑水平面上的物體。開始時與物體相連的輕繩和水平面間的夾角為a,當拉力F作用一段時間后，繩與水平面間的夾角為0。已知圖中的高度是h,繩與滑輪間的摩擦不計，求繩的拉力FT對物體所做的功。分析：拉力FT在對物體做功的過程中大小不變，但方向時刻改變，所以這是個變力做功問題。由題意可知，人對繩做的功等于拉力FT對物體做的功，且人對繩的拉力F是恒力，于是問題轉(zhuǎn)化為求恒力做功。由圖可知,在繩與水平面的夾角由a變到0的過程中，拉力F的作用點的位移為：加=s的高度為方=枷，AB的長度口=4施,求滑塊從A被拉到B的過程中，外力對它所做的功。所以繩對物體做功：WT=W=F所以繩對物體做功：WT=W=F?As=FhFIsina1

sinP變式：如圖所示，質(zhì)量為m的滑塊可以在光滑水平面上滑動，滑塊與不可伸長的輕繩相連，繩跨過一光滑的定滑輪（滑輪大小不計），另一端被

人拉著，人的拉力大小、方向均不變，大小為嚴=5口雙，已知滑輪到水平面解析:同上，由幾何關(guān)系可求得s,根據(jù)/=用，用=1口”?！纠?】以一定的速度豎直向上拋出一小球，小球上升的最大速度為九空氣的阻力大小恒為F則從拋出至落回出發(fā)點的過程中，空氣阻力對小球做的功為（ ）答案:CA.0 B.-Fh C.~2Fh D.~4Fh解析:從全過程看，空氣的阻力為變力，但將整個過程分為兩個階段：上升階段和下落階段，小球在每個階段上受到的阻力都是恒力，且總是跟小球運動的方向相反，空氣阻力對小球總是做負功，全過程空氣阻力對小球做的功等于兩個階段所做功的代數(shù)和，即+w=（-Fh）+（-Fh）=-2Fh上下點撥:空氣阻力、摩擦阻力是一種特殊的力，在計算這種力做功時，不可簡單地套用功的計算公式W=Rcosa得出w=o的錯誤結(jié)論.從上面的正確結(jié)果可以看出：空氣阻力做的功在數(shù)值上等于阻力與全過程小球路程的乘積。第五.動能定理法.動能定理:合外力對物體做功等于物體動能的改變，或外力對物體做功的代數(shù)和等于物體動能的改變。.基本思路：如果所研究的物體同時受幾個力的作用，而這幾個力中只有一個力是變力，其余均為恒力,且這些恒力所做的功和物體動能的變化量容易計算時，根據(jù)W=AE,其中W從是所有外力做功的代數(shù)夕卜 k 夕卜和，AEk是物體動能的增量，那么用動能定理就可以求出這個變力所做的功。TOC\o"1-5"\h\z.基本方法：了解哪些外力做功，哪些是恒力，哪些是變力，以及確定物體運 / \,動的初動能和末動能，然后用動能定理列方程就可以求出變力的功。 J\【例1】如圖所示，質(zhì)量為m的物體從A點沿半徑為R的粗糙半球內(nèi)表面 SC以串月的速度開始下滑，到達B點時的速度變?yōu)樾模笪矬w從A運動到B的過程中，摩擦力所做的功是多少？解析：物體由A滑到B的過程中，受重力G、彈力時和摩擦力馬三個力的作用，因而有%=刈，%—5且8￡日=學(xué) 3*+強_ _ R-即K ,式中.為動摩擦因數(shù)，V為物體在某點的速度，白為物塊與球心的連線與豎直方向的夾角。分析上式可知，物體由A運動到B的過程中，摩擦力燈是變力，是變力做功問題，根據(jù)動能定理有%,在物體由A運動到B的過程中，彈力為不做功；重力在物體由A運動到C的過程中對物體所做的正功與物體從C運動到B的過程中對物體所做的負功相等，其代數(shù)和為零。因此，物體所受的三個力中摩擦力在物體由A運動到B的過程中對物體所做的功，就等于物體動能的變化量，則有：西得二碼.即辱端

［例2］如圖所示，原來質(zhì)量為m的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力F［例2］如圖所示，原來質(zhì)量為m的小球用長L的細線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力F將小球緩慢地拉到細線與豎直方向成。角的位置的過程中，拉力F做功為()A.尸Acos0FLsin0FL(L-cos0)D.mgL(l-cos0)解析：很多同學(xué)會錯選B,原因是沒有分析運動過程，對亞=尸“05。來求功的適用范圍搞錯，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運動過程是緩慢的，因而任一時刻都可看作是平衡狀態(tài)，因此F的大小不斷變大，F(xiàn)做的功是變力功，小球上升過程中只有重力和拉力做功，而整個過程的動能改變?yōu)榱悖捎脛幽芏ɡ砬蠼猓篧+W=E'-E=0所以W=—W=mgLG-cos6),故D正確。FGKK F G【例3】某人用力將質(zhì)量為m的小球，在高度為H處拋出，已知當小球剛要落地時的速度為V,則該人在拋球過程中對小球做的功為多少？解析：在整個過程中，人及球的重力對球做功，人拋球時對球的作用力是變力,我們可應(yīng)用動能定理利用球動能的變化求出此功。根據(jù)動能定理得:W+mgH=mv2/2解得:W=mv2/2-mgH。TOC\o"1-5"\h\z［例4］如圖示,AB為1/4圓弧軌道,半徑為0.8m,BC是水平軌道，長 nAv 1L=3m,BC處的摩擦系數(shù)為1/15,今有質(zhì)量m=lkg的物體，自A點從靜止起\ ：艮下滑到C點剛好停止.求物體在軌道AB段所受的阻力對物體做的功。 飛 0——解析：物體在從A滑到C的過程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三個力做功，根據(jù)動能定理可知:W夕卜=0,所以mgR-umgL-WAB=0即WAB=mgR-umgL=6(J)【例5】如圖所示，質(zhì)量加=1總的物體從軌道上的A點由靜止下滑，軌道AB是彎曲的，且A點高出B點。="8根。物體到達B點時的速度為2根/s,求物體在該過程中克服摩擦1力所做的功。 「廣、解析：物體由A運動到B的過程中共受到三個力作用：重力G、支持力勺和(摩擦力/O由于軌道是彎曲的，支持力和摩擦力均為變力。但支持力時刻垂直于速度方向，故支持力不做f功，因而該過程中只有重力和摩擦力做功。TOC\o"1-5"\h\z…，一W=W+W ,… 1由動能定理w=A外,其中外Gf所以mgh+W=mW2代入數(shù)據(jù)解得W=-5.84J。1 1 f2b fAE=nw2一一mv2k2B2A【例6】物體以初速度v0豎直上拋，落回拋出點時的速度為匕,試求此過程物體克服空氣阻力所做的功。解析：設(shè)此過程克服空氣阻力所做的功為W，由動能定理有：-w=1mv2-1mv2解得：W=1mv2-1m］2 12 0 2 02 1【例7】如圖所示，AB為1/4圓弧軌道，半徑為0.8m,BC是水平軌道，長L=3m，BC處的摩擦系數(shù)為1/15,今有質(zhì)量m=1kg的

物體，自A點從靜止起下滑到C點剛好停止。求物體在軌道AB段所受的阻力對物體做的功。解析:設(shè)軌道AB段所受阻力對物體做功W,由動能定理得:卬+加且足印吆上0-嘛得:W=[imgL-mgR小結(jié)：利用動能定理可以求變力做功，但不能用功的定義式直接求變力功，并且用動能定理只要求始末狀態(tài)，不要求中間過程。這是動能定理比牛頓運動定律優(yōu)越的一個方面。第六?微元求和法.基本思路：⑴當物體在變力的作用下作曲線運動時，若力的方向與物體運動的切線方向之間的夾角不變，(例如當力的大小不變而方向總是與運動方向相同或相反時，可把公式卬=Reosa做變通處理，兩者同向時，W=Fl；兩者反向時，W=-Fl,式中的/指的是物體的路程)且力與位移的方向同步變化，可用微元法將曲線分成無限個小元段，每一小元段可認為恒力做功，總功即為各個小元段做功的代數(shù)和。⑵變力始終與速度在同一直線上或成某一固定角度時，可把曲線運動或往復(fù)運動的路線拉直考慮，在各小段位移上將變力轉(zhuǎn)化為恒力用取二耳支口、#計算功，而且變力所做功應(yīng)等于變力在各小段所做功之和。.基本方法：求出力在位移方向上的分量，求出曲線總長度，總功即為各個小元段做功的代數(shù)和【例1】如圖所示，某個力b=10N作用于半徑為H=lm的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力耳的大小保持不變，但方向保持在任何時刻均與作用點的切線一致，則轉(zhuǎn)動一周這個力耳做的總功為A.O B.20JIJ C.1OJD.1071j【解析】本題中F的大小不變，但方向時刻發(fā)生變化，屬于變力做功的問題.可以考慮把圓周分割為很多的小段采研究.當各小段的弧長足夠小時，可以認為力的方向與弧長代表的位移方向一致.所求的總功為：W=F?As+F?As+F?As 1 2 3=F(A5+As+As ) 【答案】B1 2 3=F?2rR=20V【例2】如圖6所示，質(zhì)量為m的小車以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運動，已知小車與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為N，試求小車從軌道最低點運動到最高點的過程中，克服摩擦力做的功。解析：小車沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一變力，本題可以用微元法來求。如圖7,rR個圓周均勻細分成n(〃-8)等分，在每段長——的圓弧上運n動時，可認為軌道對小車的支持力N不變、因而小車所受的摩擦i力f不變，摩擦力的功可以用w=F?S計算。當小車運動到如iv2一.圖所示的A處圓弧時，有N-mgSin9=m—則iA R

rRV2rR=Wjn—+wsin6)W=日(m—+mgsin6)?R iARV2當小車運動到如圖所示的與A關(guān)于x軸對稱的B處圓弧時，有N+mgsin6=m則iB RV2 V2 V2=R(m--mgsin6)W=R(m--mgsin6)?R bR兀R由此，小車關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上n… -V2兀R小車沿半圓周從軌道最低點運動到最摩擦力元功之和為：叱二.五?-于是可知，小車沿半圓周從軌道最低點運動到最n高點的過程中，摩擦力做的總功為：W=ZW=n?蟲竺2二甲mV2i2ni=1【例3】如圖所示，一質(zhì)量為m=2.0kg的物體從半徑為R=5.0m的圓弧的A端，在拉力作用下沿圓弧緩慢運動到B端（圓弧AB在豎直平面內(nèi)）.拉力F大小不變始終為15N,方向始終與物體在該點的切線成37°角.圓弧所對應(yīng)的圓心角為60°,BO邊為豎直方向。（g取10m/s2）求這一過程中：（1）拉力F做的功。（2）重力G做的功。（3）圓弧面對物體的支持力FN做的功。（4）圓弧面對物體的摩擦力Ff做的功。思路點撥：根據(jù)各個力的特點（是恒力還是變力），選擇相應(yīng)的計算功的方法。（62.8J,-50J,0,-12.8J）【例3】在光滑的桌面上，有一條粗細均勻的鏈條，全長為L,垂下桌邊 皿—的那部分的長度為a,鏈條在上述的位置由靜止釋放，如圖所示，則鏈條的上 aa端離開桌邊時，鏈條的速度為多少？練習(xí)：長為L的均勻鏈條，放在光滑的水平桌面上，且使其長度的1/4垂在桌邊，如圖所示，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為多大？解析：鏈條下滑時，因桌面光滑，沒有摩擦力做功。整根鏈條總的機械能守恒，可用機械能守恒定律求解。設(shè)整根鏈條質(zhì)量為端，則單位長度質(zhì)量（質(zhì)量線密度）為煙,￡,設(shè)桌面重力勢能為零，由機械能守L賀L1 L 1^5—7 F.一=—F附1〃-濘評、— V=一gL恒定律得：4工82 2解得"I?注：（1）對繩索、鏈條之類的物體，由于在考查過程中常發(fā)生形變，其重心位置相對物體來說并不是固定不變的.能否正確確定重心的位置，常是解決該類問題的關(guān)鍵， j一般情況下常分段考慮各部分的勢能，并用各部分勢能之和作為系統(tǒng)總的重力勢能.至RR壬;于參考平面，可任意選取，但以系統(tǒng)初、末重力勢能便于表示為宜.（2）此題也可運用等效法求解：繩索要脫離桌面時重力勢能的減少，等效于將圖中在桌面部分移至下垂部分下端時重力勢能的減少.然后由 列方程求解【例4】如圖所示，總長為L的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過一光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時底端相齊，當略有擾動時，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？解析：鐵鏈的一端上升，一端下落是變質(zhì)量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學(xué)物理大綱的要求.但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化，則機械能守恒,這個題目我們用機械能守恒定律的總量不變表達式E2=E],和增量表達式AEp=一AEk分別給出解答，以利于同學(xué)分析比較掌握其各自的特點.(1)設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)量為P,且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面，則初態(tài)弓=0滑離滑輪時為終態(tài)，重心離參考面距離L/4,E=—PLgL/4,E=』PLv2即終態(tài)E=—PLgL/4+」PLv2r "2 , 2由機械能守恒定律得E=E]有一PLgL/4+；PLv2=0,所以vJgL/2(2)利用AEp=-AEK，求解：初態(tài)至終態(tài)重力勢能減少，重心下降L/4,重卜力〃力勢能減少一AEp=PLgL/4,動能增量AEk=；PLv2,所以v=JgL/2第七.機械能守恒法 , 7【例1】如圖所示，質(zhì)量m為2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點以。二港’占的初速度滑下，在口點與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點時的速度為零，已知從A到B的豎直高度方=筋，求彈簧的彈力對物體所做的功。分析與解：由于斜面光滑，故機械能守恒,但彈簧的彈力是變力，彈力對物體做負功，彈簧的彈性勢能增加,且彈力做功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長處D點為彈性勢能的零TOC\o"1-5"\h\z參考點，則：對狀態(tài)A： 工對狀態(tài)B：*-m十0由機械能守恒定律得： 2【例2】如圖所示，質(zhì)量m=2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點以V0=5m/s的初速度滑下，在D點與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點時的速度 劭為零，已知從A到B的豎直高度h=5m，求彈簧的彈力對物體所做的功。 J分析與解：由于斜面光滑故機械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力 對物體做負功，彈簧的彈性勢能增加，且彈力做的功的數(shù)值與彈性勢能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長處D點為彈性勢能的零參考點，則狀態(tài)A：Ea=mgh+mV02/2對狀態(tài)B：EB=-W彈簧+0由機械能守恒定律得：W彈簧二—(mgh+mv02/2)=—125(J)。小結(jié)：對于涉及彈簧彈力做功的試題，一般我們都可以用機械能守恒定律求功。第八.功能原理法1.功能原理：如果除重力和彈力之外的其他力對物體也做功，系統(tǒng)的機械能將不再守恒，而且這些力做了多少功、系統(tǒng)就有多少機械能發(fā)生轉(zhuǎn)化，這時，除系統(tǒng)內(nèi)重力和彈力以外的其他力對系統(tǒng)所做功的代數(shù)和等于系統(tǒng)機械能的增量。若只有重力和彈力做功的系統(tǒng)內(nèi)，則機械能守恒(即為機械能守恒定律)。.基本思路：如果這些力是變力或只有一個變力做功，而其他力對物體做的功和系統(tǒng)機械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問題。.基本方法：在涉及重力、彈力之外的變力做功問題時，只要系統(tǒng)的機械能的變化容易求得，用功能原理求解該變力所做的功比較方便【例1】如圖所示，面積很大的水池，水深為H水面浮著一正方體木塊，木塊邊長為〃，密度為水的；，質(zhì)量為加，開始時，木塊靜止，現(xiàn)用力方將木塊緩慢往下壓，求從開始到木塊剛好完全沒入水中的過程中，力耳所做的功。解析：因為水池面積很大，故木塊壓入水中所引起的水深變化可忽略，木塊剛好完全沒入水中時，木塊下方深度為-空間內(nèi)的水被排開，結(jié)果等效于使這部分水平鋪于水面，這部分水的質(zhì)量為m，其勢能的2增加量為：AE=mg3-=3mg-木塊下降-的高度，其勢能的增加量為：水4 4 2AE=-mg-=-1mga根據(jù)功能關(guān)系，力F所做的功為系統(tǒng)勢能的增加量：木2 2W=AE+AE=1mga水木4【例2】如圖1所示，質(zhì)量為m的物體從A點沿半徑為R的粗糙半球內(nèi)表面以歲用的速度開始下滑，到達B點時的速度變?yōu)榭冢笪矬w從A運動到B的過程中產(chǎn)生了多少熱量。解析：以AB為零勢能點，則由A運動到B的過程中機械能變化為，則由功能原理八1 2 1 2二一陰匕：一一網(wǎng)吃12 2，由機械能轉(zhuǎn)化為熱能131AQ= =—W3VS--2 2【例3】兩個底面積都是S的圓筒，放在同一水平面上，桶內(nèi)裝水，水面高度分別為hl和h2,如圖所示,已知水的密度為p.現(xiàn)把連接兩桶的閥門打開，最后兩桶水面高度相等，則這過程中重力所做的功等于.解析：由于水是不可壓縮的，把連接兩桶的閥門打開到兩桶水面高度相等的過程中，利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管，如圖中的斜線所示.最后用功能關(guān)系，重力所做的功等于重力勢能的減少量，選用AB所在的平面為零重力勢能平面，則畫斜線部分從左管移之右管所減少的重力勢能為:二’二.印一電”0騏一%一％二口瓦一k15■士2、八0 O日解。該過程中,物體要經(jīng)歷圖所示的狀態(tài),當矩形對角線豎直時,物體重心高度最大,重心變化為:由功能原理可知知士2、八0 O日解。該過程中,物體要經(jīng)歷圖所示的狀態(tài),當矩形對角線豎直時,物體重心高度最大,重心變化為:由功能原理可知知W=巫.+AE當班,=0時,W,最小，為:WE=A=mg及i=1mg一）【例6】一個圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的。在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底。在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動。如圖所示，現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動。已知圓管半徑r=0.10m，井的半徑R=2r，水的密度p=1.00x103kg/m3，大氣壓P0=1.00x105Pa，求活塞上升H=9.00m的過程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足夠長，不計活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度g=10m/s2）。解析：大氣壓P0能夠支撐的水柱高度為h0=宗=10m從開始提升到活塞至管內(nèi)外水面高度差為10m的過程中，活塞始終與水面接觸，設(shè)活塞上升h，所以重力做的功4［例4］如圖所示,在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質(zhì)量均為m的小球，桿可繞無摩擦的軸0轉(zhuǎn)動，使桿從水平位置無初速釋放擺下.求當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時,輕桿對A、B兩球分別做了多少功？解析：設(shè)當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時,A球和B球的速度分別為VA和Vb.如果把輕桿、地球、兩個小球構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對象，那么由于桿和小球的相互作用力做功總和等于零，故系統(tǒng)機械能守恒.若取B的最低點為零重力勢能參考平面，可得：TOC\o"1-5"\h\z入“ __,2mgL=-mV^+-mV^+-mgL又因A球?qū)球在各個時刻對應(yīng)的角速度相同，故Vr=2Va由以上二式2A2 8 212gL寸根據(jù)功能關(guān)系可解出桿對A、B做的功.對于A有… 1 1W=—mV2-mgL/2=-0.2mgL對于B有WmmV2-mgL=0.2mgL22^ 4 2/"2 B【例5】如圖4所示，將一個質(zhì)量為m，長為a，寬為b的矩形物體豎立起來的過程中，人至少需要做多少功？管外液面下降h2，則有：ho=yh2因液體體積不變,有:Er管外液面下降h2，則有：ho=yh2因液體體積不變,有:Er2 12= =-得h eR2—兀r2 3iLliii,3,一 ..一 一.年通二7.5腔以此過程拉力為變力，根據(jù)功能關(guān)系，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量等于除重力以外其它力做功。根據(jù)題意，則拉力做功等于水的重力勢能的增量，即：w=AE=p71T2/zg活塞從々上升到H的過程中‘液面不變,拉力F是恒力,F=.r.PQ,則做功為:w=F(H-h)=b2P(H-h)=4.71x103/所求拉力所做的總功為：W=W+W=1.65x104J第九.能量守恒法【例1】如圖所示，一勁度系數(shù)上二即0況/期的輕彈簧兩端各焊接著一個質(zhì)量為然=12垢的物體。A、B豎立靜止在水平地面上，現(xiàn)要加一豎直向上的力F在上面物體A上，使A開始向上做勻加速運動，經(jīng)0.4s，B剛要離開地面。設(shè)整個過程彈簧都處于彈性限度內(nèi)（g取1口求力）求：（1）此過程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此過程中力F所做的功。分析與解：（1）設(shè)A上升前，彈簧的壓縮量為々，B剛要離開地面時彈簧的伸長量為三，A上升的加速度為厘。A原來靜止時，因受力平衡，有：」設(shè)使A剛做勻加速運動時的最小拉力為耳，有：F\+M-喉="厘B恰好離開地面時，所需的拉力最大，設(shè)為玲，對A有：乙-反2-陽2=池③由由位移公式對由由位移公式對A有:"V無1=無1=由①④式，得：⑥由⑤⑥式，解得生=4527 ?分別解②③得：一―，①（2（2）力作用的0.4s內(nèi)，在末狀態(tài)有對二七