橢圓-2019年高考數(shù)學(xué)（文）之高頻+含解析

解密17橢圓

金解雅高為

高考考點(diǎn)命題分析三年高考探源考查頻率

2018新課標(biāo)全國I4

2018新課標(biāo)全國H11

橢圓的定

2017新課標(biāo)全國I12

義與標(biāo)準(zhǔn)

從近三年高考情況來看，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)2017新課標(biāo)全國H20

方程及簡★★★★★

方程、幾何性質(zhì)一直是高考命題的熱點(diǎn)，尤2017新課標(biāo)全國IH11

單幾何性

其是離心率問題是高考考查的重點(diǎn)，多在選2016新課標(biāo)全國I5

質(zhì)

擇題、填空題中出現(xiàn)，考查直線與橢圓的位2016新課標(biāo)全國全21

置關(guān)系，常與向量、圓等知識相結(jié)合，多以2016新課標(biāo)全國III12

解答題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)，以直線與橢圓

的位置關(guān)系為主，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，2018新課標(biāo)全國III20

直線與橢轉(zhuǎn)化與化歸思想.同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想在解題2017新課標(biāo)全國I12

圓的位置中的指導(dǎo)作用，以及注重對運(yùn)算能力的培養(yǎng).2017新課標(biāo)全國全20

★★★★★

關(guān)系及綜2017新課標(biāo)全國ID11

合問題2016新課標(biāo)全國II21

2016新課標(biāo)全國HI12

急對點(diǎn)解咨

考點(diǎn)1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

調(diào)研1對于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程如?+〃f=i表示的曲線是橢圓”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若方程儂2+〃y2=i表示的曲線是橢圓，則有m>0,〃>0,m所以“加〃>0”是“方程

32+政2=1表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件.故選B.

2222

調(diào)研2設(shè)a>b>0,k>0且/HI,則橢圓G$+a*=1和橢圓。2：\+春■=>具有相同的

A.頂點(diǎn)B.焦點(diǎn)

C.離心率D.長軸和短軸

【答案】C

2

v2y2

【解析】橢圓G：二+—=1的離心率為e‘礦一”,橢圓。,：5+人化為標(biāo)準(zhǔn)方程得

aa-a-

22,所以兩橢圓的離心率相同.故選C.

二+上V=1,所以離心率為e=￡#（上"）='"一"2

ka2kb2ayjka2a

x"v

調(diào)研3在區(qū)間［0』］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)左，則方程-----+二一=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率為

3—4攵2k—1

【答案】B

22Q

【解析】若方程=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則2女—1>3—4k>0,解得—<%<白，故

3—4%2k-134

32

方程-----+二一=1表小焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率為==生上=—,故選B.

3—4%2k—11-012

運(yùn)?產(chǎn)培運(yùn)。.?鬻。??運(yùn)?。培.?蠹?，*?*-!!?!<°?*?.0<.??「.*

☆技巧點(diǎn)撥☆

求橢圓的方程有兩種方法:

（1）定義法，根據(jù)橢圓的定義，確定。2,/的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.

（2）待定系數(shù)法，這種方法是求橢圓的方程的常用方法，其一般步驟是：①做判斷，根據(jù)條件判斷橢圓的

焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能（這時(shí)需要分類討論）：②設(shè)方程，根據(jù)上述判斷

設(shè)方程為=+與=1（。>。>0）或與+與=13>匕>0）；③找關(guān)系，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于4仇C的

aba'b~

方程組（注意橢圓中固有的等式關(guān)系C2=〃—〃）.④得橢圓方程，解方程組，將解代入所設(shè)方程即可.

【注意】用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，可進(jìn)行分類討

論或把橢圓的方程設(shè)為初小+〃y2=q⑺>o,〃>0且加/鹿）.

運(yùn)?。運(yùn).?富。.?運(yùn)…：<.??莪?"魂S*.Bg<.???*.<

考點(diǎn)2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

丫22

調(diào)研1橢圓石+]=1的左焦點(diǎn)為月，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，M是圓f+（y—2石）2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則

歸刈+|尸制的最大值是.

【答案】17

【解析】圓》2+。一26）2=1的圓心為。（0,2行），半徑為L

22

由橢圓方程羨+匕=1可知。2=2512=9,所以”=5,左焦點(diǎn)為6（-4,0）,右焦點(diǎn)為鳥（4,0）.

故|PC|+|P耳|=|PC|+2a_|P閭=10+|PC|_|P弱區(qū)10+|C閭=10+而W公豆=16,

所以（|尸閘+|尸制）,w=（|PC|+|尸制）a+1=17.

22

調(diào)研2若橢圓匕+2-=1上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為m-3,則此橢圓的離心率為

4m

口V5.V21

A2B.——或----

337

后3-5

C.--D.一或一

779

【答案】A

【解析】由題意得，2a=m-3>0,即機(jī)>3,若/=4,即。=2,則加一3=4,m=7>4f不合題

意，因此。2=加，即。=>//，則2>/而="一3,解得〃2=9,即。=3,c=dm—4=行,所以橢圓的

離心率為e=2!_.故選A.

3

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查橢圓的定義、方程、離心率等有關(guān)方面的知識與運(yùn)算技能，屬于中低檔題型，

也是常考題.在解決此類問題時(shí)，要充分利用橢圓的定義，即橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（即兩個(gè)焦點(diǎn)）的距

離之和為定長（即長軸長2。），在焦點(diǎn)位置不確定的情況，有必要分兩種情況（其焦點(diǎn)在％軸或是y軸）

進(jìn)行討論，從而解決問題.

22

調(diào)研3設(shè)耳、鳥是橢圓?+斗=1（0<8<2）的左、右焦點(diǎn)，過耳的直線/交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若

|A鳥|+|8巴|的最大值為5,則橢圓的離心率為

Ba

A.-

22

CqD.2

22

【答案】A

【解析】因?yàn)橛?|A用=4,怛用+出引=4,所以ZXA明的周長為,5|+|8周+43=8,

顯然，當(dāng)IA卻最小時(shí)，W國+憐國有最大值，而=若-=從，所以8-人2=5,

解得〃=3,/=1,從而e=_L.故選A.

2

調(diào)研4設(shè)橢圓二+￡=l（a>0>0）的右焦點(diǎn)與拋物線/=i6x的焦點(diǎn)相同，離心率為逅，則此橢圓

b3

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【答案】二+匕=1

248

【解析】由題意知拋物線V=i6x的焦點(diǎn)為（4,0）,所以c=4,由e=￡=&=逅,

aa3

所以。=2#,所以從=/—。2=8,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

248

運(yùn)?產(chǎn)培運(yùn)。.?鬻。??運(yùn)?。培.?蠹電.下塌.y??W.????.*

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.利用橢圓兒何性質(zhì)解題時(shí)的注意點(diǎn)及技巧：（1）注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系，在求與橢圓有關(guān)的一

些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中X,y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系;

（2）利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧：求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、

焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.求橢圓離心率問題的一般思路：求橢圓離心率或其范圍時(shí)，一般是根據(jù)題意設(shè)出一個(gè)關(guān)于a,b,c的等

式或不等式，利用消去6即可求得離心率或離心率的范圍.

運(yùn).二運(yùn).?噓。.?運(yùn)一：嗨.??冬-丁??也.,。零.??

考點(diǎn)3直線與橢圓的位置關(guān)系

92

調(diào)研1已知橢圓c：=1（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F”&,左、右頂點(diǎn)分別為M,N,過&

a2b1

的直線/交C于A,B兩點(diǎn)（異于朋、N）,△AQB的周長為4g，且直線AM與AN的斜率之積為一一，則

3

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

xy1

A.----1-----—1B.=1

128

C.-----1------1D.—+/=1

323

【答案】C

【解析】由出的周長為4g,可知|然|+|整|+|州|+|8尸21=4。=4百，解得a=G，則

M（Y,O）NCO；設(shè)點(diǎn)A（x0,y），由直線AM與4N的斜率之積為一可得一為丁?―咋=

03%+，3/一。33

即為2=-g（x02-3）①―又立+乎=1,所以為2=從（1一日）②，由①②解得〃=2,所以橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1.故選C.

32

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查橢圓方程，由橢圓定義可得出焦半徑的性質(zhì)，由橢圓上的點(diǎn)和頂點(diǎn)連線的斜率

乘積可得出關(guān)系式，考查了斜率的坐標(biāo)表示以及點(diǎn)在橢圓方程上的靈活應(yīng)用，屬于中檔題型，也是?？伎?/p>

點(diǎn).數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法之一，通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，根據(jù)數(shù)列與形之間的對應(yīng)

關(guān)系，相互轉(zhuǎn)化來解決問題.

調(diào)研2已知直線/過橢圓C:工+9=1的左焦點(diǎn)尸，且與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，M為弦PQ的中點(diǎn)，。

2

為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是以線段。尸為底邊的等腰三角形，則直線/的斜率為.

【答案】±正

2

【解析】由題意得。2=2,從=1，可得。2=1，即c=l,所以橢圓C的左焦點(diǎn)為尸由題意得直線

/的斜率存在且不為0,可設(shè)直線/為丁=丘+々，直線/與橢圓C交于P(x”y)、。(馬，丁2)，聯(lián)立

r2AK1

土-+/=1與y=a+%,化簡可得(2左2+i)f+4公尤+222-2=0,所以玉+/=三」；而點(diǎn)M為

22攵+1

PQ的中點(diǎn)，所以點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為北士衛(wèi)=二^-.因?yàn)槭且?。尸為底邊的等腰三角形，所?/p>

22二+1

——三—=—,,即&2=工，卜=土顯，即直線/的斜率為士變.

2r+12222

22

調(diào)研3設(shè)耳是橢圓C:*■+?！?l(a>〃>0)的左焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，且肛與x軸垂直，若

31

|^|=-,橢圓的離心率為5.

(1)求橢圓c的方程；

(2)以橢圓C的左頂點(diǎn)A為RtZVlBO的直角頂點(diǎn)，邊A民4)與橢圓C交于氏。兩點(diǎn)，求面積

的最大值.

丫2V2144

【答案】—+2-=1：(2)—.

4349

h2b2

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)耳(―c,0),M耳與x軸垂直，所以M(—c,—)或M(—c,―),

aa

12&1

則一=—,￡=—,又/=〃+c2,所以可得a=22=百,c=l,

a2a2

22

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

(2)點(diǎn)A(—2,0),設(shè)直線AB的方程為y=?x+2)(%>0),

y=k（x+2）

聯(lián)立方程得|Yv2

消去y得（3+4攵2）/+16左2彳+16k2—12=0,

—+^-=1

143

.16k2—12.—8K+6

設(shè)5(9),則一2%=工瓦廠’e所以寸工

所以|4叫=&+如.歸+2|=J1+公?肅4；2，+2=吆］:

直線AD的方程為-工(》+

y=2)同理可得|AO|=

K

所以AABD的面積SAAfiO=；|裕卜|仞|=g?嚕譽(yù)72

12（左+；）+

k"

k

令￡=上+上，因?yàn)榕?gt;0,所以f=%+122,當(dāng)且僅當(dāng)女=1時(shí)取等號.

kk

149

因?yàn)閒⑺=⑵+-在［2,+8)上單調(diào)遞增,所以f(t)>—,

144144

所以528。4方，即△ABO面積的最大值為慧?

【名師點(diǎn)睛】橢圓是重要的圓錐曲線代表之一，也是高考重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)與考點(diǎn)之一，常以解答題的形

式出現(xiàn).求解本題的第?問時(shí)，依據(jù)題設(shè)條件建立方程組，解得a,b,c,從而使得問題獲解；求解第二問時(shí),

先建立直線的方程為丁=左(％+2)(k>0),再與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系中的坐

標(biāo)關(guān)系建立AABD面積關(guān)于斜率的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析求解，使得問題獲解.

調(diào)研4已知橢圓Gf+2)2=2的左、右頂點(diǎn)分別為A,4.

(1)求橢圓C的長軸長與離心率；

(2)若不垂直于％軸的直線/與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，直線耳尸與4Q交于點(diǎn)〃，直線4。與人

P交于點(diǎn)N.求證：直線MN垂直于4軸.

【答案】(1)2夜，正；(2)證明見解析.

2

2

【思路分析】（1）由橢圓C的方程可化為］+9=1,可得。=血,。=1,C=1,則長軸長為2a=2血，

離心率e=￡=也；（2）設(shè)直線AP的方程為y=K（x+g），4。的方程為丁=玲。一血），聯(lián)立可

a2

得X”=正紇兇2,同理可得小向匕,可證明k&=--Rk2k.從而可得xN=xM,

k「k\女4一占22

進(jìn)而可得結(jié)果.

2

【解析】（1）橢圓C的方程可化為］+y2=l,所以a=J5,b=l,c=l.

所以長軸長為2a=20,離心率e=￡=立

a2

（2）顯然直線AP、42。、4。、A2P都存在斜率，且互不相等，分別設(shè)為冬水2,占，3

設(shè)直線AP的方程為y=勺（x+0）,&Q的方程為y=&（x-&）,

垃億+匕）血征+自）

聯(lián)立可得xM=}-，".同理可得XN=J」，.

k2-k}kq_攵3

下面證明k&=設(shè)，則與2+2升=2.

22

所以k.k.——)(>/—No_%_No]_同理女2%=_g.

天+夜X。-及V-2-2y(/2

」_1

晚4+令向k仆）

2

所以XN=——F―'=xM,所以直線MN垂直于X軸.

_］k「k、

2__2

&k2

【名師點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定關(guān)于。，仇c的方程組，解出。,仇，

從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方

程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差

法”解決，往往會(huì)更簡單.

M?晨運(yùn).?＜°.?醒J。＜.??運(yùn)＜°.?運(yùn)霜；：：敲

☆技巧點(diǎn)撥☆

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考題，難度為中高檔，常作為壓軸題出現(xiàn)，大致在第20題的位置.

2.直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略

（1）求橢圓方程或有關(guān)幾何性質(zhì).可依據(jù)條件，尋找滿足條件的關(guān)于a,b,c?的等式，解方程即可求得

橢圓方程或橢圓有關(guān)幾何性質(zhì).

（2）關(guān)于弦長問題.一般是利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解.特別對于中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題，一

般利用點(diǎn)差法求解.

3.具體解題步驟：

對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理.

（1）設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，或者將直線

方程設(shè)成》=m丫+人的形式.

（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系.

（3）一般涉及弦的問題，要用到弦長公式|4用=護(hù)居出一對或|4劇=\”工|），|一刈.

運(yùn)?.:騰運(yùn)」<°.?運(yùn)*.?盤w.E°.Y。??疆篇.??源

念強(qiáng)化集訓(xùn)

（

1.（河南省周口市2018-2019學(xué)年高三期末調(diào)研）過橢圓C:^+A=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線

方程為x+2y—4=0,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

A.應(yīng)+亡=1B.立+藝=1

164204

。三+竺=1D.^+^=1

248328

【答案】A

【解析】直線方程為x+2y-4=0,令40,則尸2,得到橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,即〃=2,令）=0,

則I得到橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4.。），即N從而得到橢圓方程智|+91,故選A.

2.（湖北省2019屆高三1月聯(lián)考）已知橢圓C：《+?=l（a>4）的離心率是當(dāng)，則橢圓C的焦距為

A.2V2B.2V6

C.4V2D.4y/6

【答案】C

【解析】由題可得e=￡=立，則a=Wc，所以c2=a2—b2=3,2一16,所以c?=8,因此橢圓C的焦

a3

距為2c=4四.故選C.

3.(湖北省仙桃、天門、潛江市2019屆高三上學(xué)期期末考試)橢圓捺+卷=l(a>0,b>0)的長軸兩端點(diǎn)

為(-4,0),(4,0),離心率為點(diǎn)則短軸長為

A.8B.4

C.4V3D.2V3

【答案】C

【解析】由橢圓的性質(zhì)得a=4,e=|=貝Ue=2,又/=a?-c?=16-4=12,即b=2百，所以

短軸長為2b=4Vl.故選C.

4.(廣東省珠海市2018-2019學(xué)年高三上學(xué)期期末考試)已知點(diǎn)P(%,y)滿足方程J(x—3)2+y2+

+3++y2=io,則點(diǎn)P的軌跡為

A.圓B.橢圓

C.雙曲線D.拋物線

【答案】B

【解析】因?yàn)椋?x-3)2+y2+J(x+3)2+y2=i0,所以點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(一3,0)和(3,0)的距離之和為

定值10,且10>6,故點(diǎn)P的軌跡為橢圓，故選B.

5.(天津市河西區(qū)2019屆高三第一學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查)以橢圓式+工=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙

43

曲線方程為

A.^-x2=lB.x2-^=l

33

c.竺=1D.蘭—竺=1

4334

【答案】B

【解析】設(shè)雙曲線為馬—m=1,由橢圓力+”=1得焦點(diǎn)為(±1,0),頂點(diǎn)為(±2,0),.?.雙曲線的頂

a2b243

點(diǎn)為(±1,0),焦點(diǎn)為(±2,0),：.a=\,c=2,.\Z>2=c2-a2=3,.?.雙曲線為/一叱=1.故選B.

3

6.(福建省漳州市2018-2019學(xué)年高三第一次質(zhì)檢)已知曲線C的方程為上+g=1,現(xiàn)給出下列兩個(gè)命

2771-1m

題：「：0<加<1是曲線為雙曲線。的充要條件，勺：6>：是曲線。為橢圓的充要條件，則下列命題中真命

題的是

A.(->p)A(->q)B.(rp)Aq

C.pA(-it?)D.pAq

【答案】C

【解析】若曲線C為雙曲線，則m(2m-1)<0,可解得0<m<g,若0<zn<］，則m(2m-l)<0，

所以命題p為真命題；若曲線C為橢圓，則巾>3且小聲1,所以命題q為假命題，因而p/\(->q)為真命題，

故選C.

7.(廣東省茂名市2019屆高三第一次綜合測試)已知橢圓其+\=1(￡1>匕>0)與雙曲線捺-3=1的焦

點(diǎn)相同，則雙曲線的離心率為

A.V3B.V2

C.—D.2

33

【答案】D

【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c,依題意2a2-262=。2+爐，即。2=362,又-

.-.a2=3(c2-a2),即2=￡,.?.雙曲線的離心率為超.故選D.

a233

8.(江西名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2019屆高三質(zhì)量檢測(12月聯(lián)考))已知橢圓C：，+，=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(l,3)，

若點(diǎn)Q是橢圓。上的動(dòng)點(diǎn)，則APQF周長的最大值為

A.2-713B.17

C.30D.17+V13

【答案】D

【解析】設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F',則△P。尸的周長/=\QF\+|QP|+\PF\=2a一|QF'|+\QP\+\PF\<

2a+|PV|+|PF|=l2+5+舊=17+舊，當(dāng)點(diǎn)。為PF'的延長線與橢圓C的交點(diǎn)時(shí)取等號，故選D.

9.(河南省南陽市2019屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量評估)已知Fi，尸2分別為橢圓5+\=19>8>0)的左、

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，延長PF2交橢圓于點(diǎn)Q，若PFJPQ,且|P&|=|PQ|,則橢

圓的離心率為

A.V6-V3B.2-V2

C.V3-V2D.V2-1

【答案】A

【解析】設(shè)IPFJ=Mm>0)，則IPF2I=2a-m,\QF2\=2m-2a,\QFt\=4a-2m,因?yàn)?/p>

\QF1\=V2\PF1\,故m=（4—2&）a.又|P&『+|pF?|2=伊/2|2=4c?,所以（4a—2或a『+

[2a-（4a-2V2a）]Z=4c2>整理得4x（：/=36-24&,即/=泗-6&=痣一百,故選A.

10.（廣東省肇慶市2019屆高三第二次統(tǒng)一檢測）已知橢圓C:捻+5=l（a>b>0）的左右頂點(diǎn)分別為4,B,

P是橢圓上異于4B的一點(diǎn)，若直線P4的斜率kp.與直線PB的斜率kps乘積須〃跖8=-；，則橢圓C的

離心率為

A.-B.-

42

C.-D.隹

42

【答案】D

【解析】依題意可知a（-a,0）,B（a,0）.設(shè)P（q,y°）,代入橢圓方程得光=一捺詔+〃，代入

凝4/PB=_：得熱,含=_；，即川豬+?，與羽=—,x,+爐對比后可得，=所以橢

圓離心率為e=-=11—（-）2=/1--=—>故選D.

ayj42

11.（湖北省宜昌市2019屆高三元月調(diào)考）己知橢圓C：《+，=l（a>b>0）上存在4、B兩點(diǎn)恰好關(guān)于直

線2：尤-y-l=0對稱，且直線4B與直線，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則橢圓C的離心率為

A.-B.更

33

C.在D.-

22

【答案】C

【解析】由題意可得直線AB與直線1的交點(diǎn)P（2,1）,以8=-1,設(shè)A（xi，yi）,B（應(yīng)，力），則xi+Q

=4,巾+竺=2,因?yàn)锳、8是橢圓=+3=1上的點(diǎn)，所以①，4-=1②，①-②得

K+Xz學(xué)F）+（y，+4…）=0,所以空守=一空聲，所以以8=匕邕=一號=一1,所以a2=2〃，所

22

abQZb?x1-x2a”

以￡=="故選c.

ayja22

12.（湖北省宜昌市2019屆高三元月調(diào)研）過點(diǎn)P（3,1）且傾斜角為弓的直線與橢圓接+'=l（a>b>0）相

交于Z,8兩點(diǎn)，若麗=麗，則該橢圓的離心率為

A.-B.立

22

C.—D.更

33

【答案】c

【解析】設(shè)4（/，為），B（X2,%），.??麗=麗，是線段48的中點(diǎn)，貝暗=空，1=華，過點(diǎn)

P（3,1）且傾斜角為弓的直線方程為y—1=-0-3）,即y=r+4,聯(lián)立直線與橢圓方程

22[J八?二

a+左=l(a>b>0)得歸+g,整理得(Q2+b2)%2一8Q2%+16a2一。282=0,+%2=

a2b2

黑P、1+丫2=-（/+》2）+8=黑7，代入3=紅詈得a2=3/）2,.?.橢圓的離心率e=（=J1=

22

la-c故選C.

13.（遼寧省遼陽市2019屆高三上學(xué)期期末考試）若橢圓C：m+《=l（a>b>0）上存在一點(diǎn)P,使得

|P&|=8\PF2\,其中FI，F(xiàn)2分別C是的左、右焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍為.

【答案】5，1）

【解析】IP&I+IP&I=2a=9|PBI，，?仍加=.又|PFzl6[a-c,a+c],■-a-c<^-<a+c,

9L」9

解得3則ee5，1）,故橢圓C的離心率的取值范圍為E，1）.

14.（廣東省雷州市2019屆高三上學(xué)期期末考試）已知4、B分別為橢圓日+4=1（0<b<3）的左、右

9b2

頂點(diǎn)，P、Q是橢圓上的不同兩點(diǎn)且關(guān)于％軸對稱，設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為血、n,若點(diǎn)4到直線

y=-1—nmx的距離為1?則該橢圓的離心率為.

【答案】①

mn=

【解析】設(shè)P（x（）,y0）.則Q（&，一%），血=^^，''"~^2^,又P（Xo，y（>）在橢圓

1,解得接=空，c=S=,e=￡=立.

82\f234

15.（2018年黑龍江省哈爾濱三中高考三模）已知點(diǎn)尸為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C上的一點(diǎn)，且橢圓的右

焦點(diǎn)為尸2（石，0）,線段PF2的垂直平分線為y=2x,則橢圓C的方程為.

【答案】《+藝=1

94

【解析】點(diǎn)P為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C上的一點(diǎn)，F(xiàn)L橢圓的右焦點(diǎn)為尸2（盤，0），可得C=V^.與直

線PF2的垂直經(jīng)過心的直線方程為y=-*x-*），x+2y-Z=0,尸2到垂直平分線為y=2尤的距離

為器=2,原點(diǎn)到直線x+2y-遍=0的距離為1,可得a=2+1=3,所以b=2,則橢圓C的方程

為9+9=

16.(河南省洛陽市2019屆高三上學(xué)期尖子生第二次聯(lián)考)某同學(xué)同時(shí)擲兩顆均勻正方形骰子，得到的點(diǎn)

數(shù)分別為a,b,則橢圓m+4=1的離心率e>逅的概率是____________.

a2b22

【答案w

【解析】由橢圓m+4=1的離心率e>叵,可得當(dāng)a>b時(shí),e=￡=匹三>理,即得a?>4〃；當(dāng)a<b

a2b22aa2

時(shí)，e=：=變豆》段,即得b2>4a2.同時(shí)擲兩顆均勻正方形骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為源b,共有

bb2

6x6=36種情況，滿足上述關(guān)系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,

5),(6,1),(1,6),(6,2),(2,6),共12種情況，所以所求概率為登=；.

363

17.(福建省泉州市2019屆高三1月質(zhì)檢)己知F是橢圓C:m+”=1的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線，與C交于M,

43

N兩點(diǎn)，則嵩+薪的取值范圍為.

【答案】《，y]

【解析】楠圓C：〃+1的a=2,b=?c=l,可取左焦點(diǎn)為尸，連接用尸'，NF',可得四邊形M&V尸

43

為平行四邊形，即有|MQ+WQ=|M/q+|M用=2a=4,設(shè),3],貝lJWF|=4-x,則總+總=：+三可

令f⑴W+f'(x)=妥+備=9篝&可得/⑴在[1，芻上遞減，在03]上遞增，

可得f(x)的最小值為貝$蕓，又/(I)乏，/(3)=?,所以/(x)的最大值為弓，則焉+高的取值

范圍為[：,y].

18.(上海市奉賢區(qū)2019屆高三一模)橢圓正+片=1上任意一點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離恒大于1,貝亞的取

4t

值范圍為.

【答案】(3,4)U(4,

【解析】當(dāng)t>4時(shí)，橢圓三+g=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則a=VEb=2,c=由題意

4t

可得a—c=V?—VF』>1,解得4<t<R；當(dāng)0<t<4時(shí)，橢圓立+藝=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢

44t

圓，則a=2,b=Ji,c=44—t,由題意可得a—c=2—Jt-4>1,解得3<t<4；綜上司知,

實(shí)數(shù)t的取值范圍是(3,4)U(4,》

19.(四川省綿陽市2019屆高三第二次診斷性考試)已知點(diǎn)尸是橢圓Cq+y2=i上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。

是圓E：x2+(y-4)2=3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則IPQ\的最大值是.

【答案】4V3

【解析】由圓E：f+()，-4)2=3可得圓心為E(0,4),又點(diǎn)。在圓E上，.?.|PQ兇EP|+|EQ|=|EP|+百(當(dāng)且僅

當(dāng)直線PQ過點(diǎn)E時(shí)取等號).設(shè)「(X”》)是橢圓C上的任意一點(diǎn)，則曰+*=1,即*=9—9比，

???IE*好+S1-4)2=9-9資+(%-4)2=-85+}2+27.e[-1,1],.?.當(dāng)y尸-抖

IEP『取得最大值27,即|「。匕3V3+百=4百，???IPQI的最大值為4

20.(山東省恒臺第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期診斷性考試)已知橢圓C:1+[=l(a>b>0),E，尸2為

其焦點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足尸尸2,且|PBI=IF/zl，線段尸Q,PF2分別交橢圓于點(diǎn)A，B,若

|P川=|力居|,則陶=.

【答案】立

4

【解析】如圖所示，

由橢圓的方程捺+\=1可知，IF/2I=2c,又由IPF2I=I&F2I=2c,且PF2，F(xiàn)/2,所以APF2B為等

腰宜角三角形，又由伊川=m6|,所以點(diǎn)力為線段PF1的中點(diǎn)，貝1乂尸1=4尸2,且4&1A居，在等腰直

角中，因?yàn)榭傻?\AF\=迎又由橢圓的定義可知\AF\=

APF20IPF2I=\FAF2\=2c,2c,|AF/+2

2a,即2a=2/一即Q=V^C,又由/二十一C?,所以Q=又因?yàn)镻F?_L0尸2，所以直線尸產(chǎn)2的

方程為x=c,聯(lián)立方程組口:「二解得y=^=2a,即|BFzl=；a，所以吧=三=至■=?!

[京+京一1a22l"2l2c-J2a4

21.(黑龍江省大慶市2019屆高三第二次模擬考試)已知橢圓C