測(cè)試結(jié)果及誤差分析

測(cè)試結(jié)果及誤差分析第1頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第6章測(cè)試結(jié)果及誤差分析6.1概述測(cè)試工作的最終目的通過(guò)測(cè)試數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在規(guī)律，研究事物相互關(guān)系和預(yù)測(cè)事物發(fā)展趨勢(shì)的重要依據(jù),并在此基礎(chǔ)上對(duì)已獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的處理，才能去粗取精、去偽存真、由表及里，從中提取能反映事物本質(zhì)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的有用信息。研究被測(cè)量的變化規(guī)律及變量之間的關(guān)系尋求被測(cè)量的合理數(shù)值和評(píng)估其精度。第2頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的表述方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最終必然要以人們易于接受的方式表述出來(lái)，常用的表述方法有:

★表格法、圖解法、方程法。★表述方法的基本要求：⑴確切地將被測(cè)量的變化規(guī)律反映出來(lái)；⑵便于分析、應(yīng)用、控制與預(yù)報(bào);第3頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.2.1表格法

表格法是把被測(cè)量數(shù)據(jù)精選、定值，按一定的規(guī)律歸納整理后列于一個(gè)或幾個(gè)表格中，該方法比較簡(jiǎn)便、有效、數(shù)據(jù)具體、形式緊湊、便于對(duì)比。自變量的減小或增加為順序。第4頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日列表時(shí)應(yīng)以下幾個(gè)問(wèn)題：①數(shù)據(jù)的寫法要整齊規(guī)范，數(shù)值為零時(shí)要記“0”，不可遺漏；試驗(yàn)數(shù)據(jù)空缺時(shí)應(yīng)記為“—”；②表達(dá)力求統(tǒng)一簡(jiǎn)明。同一豎行的數(shù)值、小數(shù)點(diǎn)應(yīng)上下對(duì)齊。當(dāng)數(shù)值過(guò)大或過(guò)小時(shí)，應(yīng)以10n表示，n為正、負(fù)整數(shù)；③根據(jù)測(cè)量精度的要求，表中所有數(shù)據(jù)有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)取舍適當(dāng)。注意第5頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.2.2圖解法圖解法:利用圖形或曲線表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。該曲線又稱實(shí)驗(yàn)曲線。方法：把互相關(guān)聯(lián)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按照自變量和因變量的關(guān)系在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中繪制成幾何圖形，用以表示被測(cè)量的變化規(guī)律和相關(guān)變量之間的關(guān)系。特點(diǎn)：簡(jiǎn)單、直觀、便于分析與比較。第6頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日曲線描繪時(shí)應(yīng)如下幾個(gè)問(wèn)題：①合理布圖；②正確選擇坐標(biāo)分度；③靈活采用特殊坐標(biāo)形式；④正確繪制圖形；⑤圖的標(biāo)注要規(guī)范。注意第7頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.2.3經(jīng)驗(yàn)公式通過(guò)試驗(yàn)獲得一系列數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可用圖表法表示出函數(shù)之間的關(guān)系，也可用與圖形相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述函數(shù)之間的關(guān)系，從而進(jìn)一步用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究這些變量之間的相關(guān)關(guān)系。

數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為經(jīng)驗(yàn)公式，又稱為回歸方程。建立回歸方程的方法稱回歸分析。第8頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

根據(jù)變量個(gè)數(shù)以及變量之間的關(guān)系不同，常用的回歸方程有：

⑴一元線性回歸方程（直線擬合）;⑵一元非線性回歸方程（曲線擬合）;⑶多元線性回歸和多元非線性回歸;第9頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.2.4有效數(shù)字與數(shù)據(jù)修約不影響測(cè)量結(jié)果的最后一位有效數(shù)字為原則。四舍五入，偶舍奇入。12.3512.412.4512.4法則第10頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.3回歸分析及其應(yīng)用

6.3.1一元線性回歸一元線性回歸是最基本的回歸方法，也是最常用的回歸方法之一。1.線性相關(guān)

相關(guān)指變量之間具有某種內(nèi)在的物理聯(lián)系。對(duì)于確定性信號(hào)來(lái)說(shuō)，兩個(gè)變量之間可用函數(shù)關(guān)系來(lái)描述，兩者一一對(duì)應(yīng)。而兩個(gè)隨機(jī)變量之間不一定具有這樣確定性的關(guān)系，可通過(guò)大量統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)它們之間是否存在某種相互關(guān)系或內(nèi)在的物理聯(lián)系。第11頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日現(xiàn)討論兩個(gè)隨機(jī)變量x、y數(shù)值對(duì)的總體。每一對(duì)值在xy坐標(biāo)中用點(diǎn)來(lái)表示。

①（a）中兩個(gè)變量是不相關(guān)的，各對(duì)x和y值之間沒(méi)有明顯的關(guān)系。

②（b）中x和y具有確定的關(guān)系，這兩個(gè)變量是相關(guān)的，大的x值對(duì)應(yīng)大的y值，小的x值對(duì)應(yīng)小的y值。第12頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日xyxyxyxy相關(guān)系數(shù)第13頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日③如希望用直線形式來(lái)表示x和y的近似函數(shù)關(guān)系，則可使yi的實(shí)際值和用直線來(lái)近似的yi預(yù)計(jì)值之差的均方值為最小。第14頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.線性回歸方程的確定若所獲取的一組xi、yi數(shù)據(jù)可用線性回歸方程來(lái)描述，確定回歸方程的方法較多，常用“最小二乘法”。假設(shè)有一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，含有N對(duì)xi

、yi值，用回歸方程來(lái)描述：第15頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

由上式可計(jì)算出與自變量xi對(duì)應(yīng)的回歸值,即

(i=1，2，…，N)。由于數(shù)據(jù)的誤差和公式的近似性，回歸值與對(duì)應(yīng)測(cè)量值yi間會(huì)有一定的偏差，偏差計(jì)算公式：

通常該差值稱為剩余誤差，表征了測(cè)量值與回歸值的偏離程度。剩余誤差越小，測(cè)量值與回歸值越接近。根據(jù)最小二乘法理論，若剩余誤差的平方和為最小，即

第16頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

意味著回歸值的平均偏差程度最小，回歸直線為最能代表測(cè)量數(shù)據(jù)內(nèi)在關(guān)系的曲線。根據(jù)求極值的原理應(yīng)有

第17頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解此方程組有：

第18頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則得:

回歸方程的另一種形式為：

第19頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.回歸方程的精度問(wèn)題

用回歸方程根據(jù)自變量x的值，求因變量y的值，其精度如何，即測(cè)量數(shù)據(jù)中yi和回歸值的差異可能有多大，用回歸方程的剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征，有N為測(cè)量次數(shù)，或成對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)；q為回歸方程中待定常數(shù)的個(gè)數(shù)。

越小表示回歸方程對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)擬合越好。第20頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.3.2多元線性回歸設(shè)因變量y依賴若干個(gè)變量xj(j=1、2、…、m)變化而變化，按照間接測(cè)量的原理，對(duì)上述變量進(jìn)行測(cè)量，可獲得{X1、X2、…Xm、y}數(shù)據(jù)對(duì)，回歸方程可表示為：

第21頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日yi在某點(diǎn)上與上述回歸方程差值為:利用最小二乘原理，可求出系數(shù)k0、k1、k2、…、km，即有：第22頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日得到正規(guī)方程組:上式可解出回歸系數(shù)k0、k1、k2、…、km。第23頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日相關(guān)系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差

式中，m為自變量個(gè)數(shù)，n為測(cè)量次數(shù)。第24頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.3.3非線性回歸

在測(cè)試過(guò)程中，被測(cè)量之間并非都是線性關(guān)系，很多情況下，它們遵循一定的非線性關(guān)系。求解非線性模型的方法通常有：①利用變量變換把非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型。②利用最小二乘原理推導(dǎo)出非線性模型回歸的正規(guī)方程，然后求解。③采用直接最優(yōu)化方法，以殘差平方和為目標(biāo)函數(shù)，尋找最優(yōu)化回歸函數(shù)。第25頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.模型轉(zhuǎn)換常用非線性模型，可用變量變換的方法使其轉(zhuǎn)化為線性模型，如指數(shù)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得：令，則方程可化為

第26頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)冪函數(shù)

同樣有

令

，，則有:

即可轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系。第27頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.非線性回歸分析簡(jiǎn)介并不是所有非線性模型都能用上述方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。如當(dāng)，就無(wú)法用上述辦法來(lái)處理，可采用多項(xiàng)式回歸方法來(lái)解決。對(duì)于若干測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)（xi，yi），經(jīng)繪圖發(fā)現(xiàn)其間存在著非線性關(guān)系時(shí)，可用含m+1個(gè)待定系數(shù)的m階多項(xiàng)式來(lái)逼近。

第28頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

將上式作如下變量置換，

令，，，

即可將上式轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型：第29頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1）在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，把數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi=1,2,……,n)描繪成測(cè)量曲線。2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)基本形式：—直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程;—曲線，先將該曲線方程變換為直線方程，再按一元線性回歸方法處理；—曲線類型未知，按曲線多項(xiàng)式回歸方程處理3)由測(cè)量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟第30頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第31頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.4誤差的定義及分類

6.4.1誤差的概念

★

1.真值真值即真實(shí)值，是指在一定時(shí)間和空間條件下，被測(cè)物理量客觀存在的實(shí)際值。一般指理論真值和約定真值（規(guī)定真值、相對(duì)真值、算術(shù)平均值）。1）理論真值：理論真值也稱絕對(duì)真值。圓心角360度。2）規(guī)定真值：國(guó)際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量值。規(guī)定真值也稱約定真值。1m的規(guī)定。3）相對(duì)真值：是指計(jì)量器具按精度不同分為若干等級(jí)，上一等級(jí)的指示值即為下一等級(jí)的真值，此真值稱為相對(duì)真值。4）算術(shù)平均值。為什么要討論誤差？第32頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

★

2.誤差誤差:測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值

——測(cè)量誤差（又稱真誤差）；

——測(cè)量結(jié)果（由測(cè)量所得到的被測(cè)量值）；

——被測(cè)量的真值。第33頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日★

3.殘余誤差測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的最佳估計(jì)值v

——?dú)堄嗾`差（簡(jiǎn)稱殘差）；

——真值的最佳估計(jì)（也即約定真值）。第34頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.4.2誤差的分類★

1.產(chǎn)生誤差的主要因素：①工具誤差：它包括試驗(yàn)裝置、測(cè)量?jī)x器所帶來(lái)的誤差；②方法誤差：方法引起的，這種誤差亦稱為原理誤差或理論誤差；③環(huán)境誤差：在測(cè)量過(guò)程中，因環(huán)境條件的變化而產(chǎn)生的誤差。④人員誤差：測(cè)量者生理特性和操作熟練程度的優(yōu)劣引起的誤差稱為人員誤差。第35頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日★

2.誤差的分類按照誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)進(jìn)行分類，可分為:◆隨機(jī)誤差；◆系統(tǒng)誤差；◆粗大誤差。第36頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日⑴隨機(jī)誤差產(chǎn)生誤差的原因及誤差數(shù)值的大小、正負(fù)是隨機(jī)的，沒(méi)有確定的規(guī)律性，或者說(shuō)帶有偶然性，這樣的誤差就稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差就個(gè)體而言，從單次測(cè)量結(jié)果來(lái)看是沒(méi)有規(guī)律的，但就其總體來(lái)說(shuō)，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。第37頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日⑵.系統(tǒng)誤差

在相同的測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一物理量，誤差不變或按一定規(guī)律變化著，這樣的誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差等于誤差減去隨機(jī)誤差，是具有確定性規(guī)律的誤差，可以用非統(tǒng)計(jì)的函數(shù)來(lái)描述。系統(tǒng)誤差又可按下列方法分類。①按對(duì)誤差的掌握程度可分為：已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。②按誤差的變化規(guī)律可分為：定值系統(tǒng)誤差、線性系統(tǒng)誤差、周期系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。第38頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(3)粗大誤差粗大誤差是指那些誤差數(shù)值特別大，超出在規(guī)定條件下的預(yù)計(jì)值，測(cè)量結(jié)果中有明顯錯(cuò)誤的誤差，也稱粗差。

出現(xiàn)粗大誤差的原因是由于在測(cè)量時(shí)儀器操作的錯(cuò)誤，或讀數(shù)錯(cuò)誤，或計(jì)算出現(xiàn)明顯的錯(cuò)誤等。粗大誤差一般是由于測(cè)量者粗心大意、實(shí)驗(yàn)條件突變?cè)斐傻摹?/p>

粗大誤差由于誤差數(shù)值特別大，容易從測(cè)量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)有粗大誤差，應(yīng)認(rèn)為該次測(cè)量無(wú)效，即可消除其對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。第39頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.4.3誤差的表示方法

常用的幾種誤差表示方法：

絕對(duì)誤差；

相對(duì)誤差；

引用誤差。

第40頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

1.絕對(duì)誤差

絕對(duì)誤差是指測(cè)得值與真值之差，表示為:

絕對(duì)誤差=測(cè)得值-真值

即：第41頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.相對(duì)誤差

相對(duì)誤差是指絕對(duì)誤差與被測(cè)真值之比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，即第42頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日說(shuō)明1）當(dāng)被測(cè)真值為未知數(shù)時(shí)，一般可用測(cè)得值的算術(shù)平均值代替被測(cè)真值。2）對(duì)于不同的被測(cè)量值，用測(cè)量的絕對(duì)誤差往往很難評(píng)定其測(cè)量精度的高低，通常采用相對(duì)誤差來(lái)評(píng)定。第43頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

3.引用誤差

測(cè)量?jī)x器的絕對(duì)誤差除以儀器的滿度值?！獪y(cè)量?jī)x器的引用誤差；

——測(cè)量?jī)x器的絕對(duì)誤差，一般指的是測(cè)量?jī)x器的示值絕對(duì)誤差；

——測(cè)量?jī)x器的滿度值，又稱為引用值，通常是測(cè)量?jī)x器的量程。

第44頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日說(shuō)明1)

引用誤差實(shí)質(zhì)是一種相對(duì)誤差，可用于評(píng)價(jià)某些測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度高低。2)

國(guó)際規(guī)定電測(cè)儀表的精度等級(jí)指數(shù)a分為：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共七級(jí)，其最大引用誤差不超過(guò)儀器精度等級(jí)指數(shù)a百分?jǐn)?shù)，即rm≤a%。第45頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.4.4表征測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的指標(biāo)

◆常用正確度、精密度、準(zhǔn)確度、不確定度等來(lái)描述測(cè)量的可信度。準(zhǔn)確理解幾個(gè)“度”第46頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（1）正確度

正確度表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度，即由于系統(tǒng)誤差而使測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量值偏離的程度。

系統(tǒng)誤差越小，測(cè)量結(jié)果越正確。第47頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）精密度

精密度表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度，即在相同條件下，多次重復(fù)測(cè)量所得測(cè)量結(jié)果彼此間符合的程度。隨機(jī)誤差越小，測(cè)量結(jié)果越精密。第48頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）準(zhǔn)確度

準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合大小的程度，即測(cè)量結(jié)果與被測(cè)真值偏離的程度。綜合誤差越小，測(cè)量結(jié)果越準(zhǔn)確。第49頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（4）不確定度

不確定度表示合理賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。不確定度越小，測(cè)量結(jié)果可信度越高。

第50頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.5不確定度評(píng)定的基本知識(shí)

測(cè)量不確定度就是對(duì)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的定量表征，測(cè)量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其不確定度的大小。

測(cè)量結(jié)果必須附有不確定度說(shuō)明才是完整并有意義。第51頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.5.1有關(guān)不確定度的術(shù)語(yǔ)

1、標(biāo)準(zhǔn)不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)差表示的測(cè)量不確定度。

2、A類不確定度評(píng)定：用對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

3、B類不確定度評(píng)定：用不同于觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，又稱為第52頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

4、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：當(dāng)測(cè)量結(jié)果是由若干個(gè)其它量的值求得時(shí)，按其它各量的方差和協(xié)方差算得標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

5、擴(kuò)展不確定度：確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測(cè)量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間，有時(shí)也稱為展伸不確定度或范圍不確定度。

6、包含因子：為求得擴(kuò)展不確定度，對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘之?dāng)?shù)字因子。第53頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.5.2產(chǎn)生測(cè)量不確定度的原因和測(cè)量模型

1.測(cè)量不確定的來(lái)源①被測(cè)量的定義不完整；②復(fù)現(xiàn)被測(cè)量的測(cè)量方法不理想；③取樣的代表性不夠，即被測(cè)樣本不能代表所定義的被測(cè)量；④對(duì)測(cè)量過(guò)程受環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不恰如其分或?qū)Νh(huán)境的測(cè)量與控制不完善；第54頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日⑤對(duì)模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏移；⑥測(cè)量?jī)x器的計(jì)量性能（如靈敏度、鑒別力閾、分辨力、死區(qū)及穩(wěn)定性等）的局限性

⑦測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的不確定度；⑧引用的數(shù)據(jù)或其它參數(shù)的不確定度；⑨測(cè)量方法和測(cè)量程序的近似和假設(shè)；⑩在相同條件下被測(cè)量在重復(fù)觀測(cè)中的變化。第55頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.測(cè)量不確定度及其數(shù)學(xué)模型的建立

測(cè)量不確定度通常用測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型和不確定度的傳播律來(lái)評(píng)定。在實(shí)際測(cè)量的很多情況下，被測(cè)量Y（輸出量）不能直接測(cè)得，而是由N個(gè)其它量X1、X2、…、XN（輸入量）通過(guò)函數(shù)關(guān)系f來(lái)確定

Y=f（X1，X2，…，XN）(A)

稱為測(cè)量模型或數(shù)學(xué)模型。第56頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

說(shuō)明：數(shù)學(xué)模型不是唯一的，如果采用不同的測(cè)量方法和不同的測(cè)量程序就可能有不同的數(shù)學(xué)模型。

例：一個(gè)隨溫度t變化的電阻器兩端的電壓為V，在溫度為t0時(shí)的電阻為R0，電阻器的溫度系數(shù)為α，則電阻器的損耗功率P（被測(cè)量）取決于V、R0、α和t，

P=f（V，R0，α，t）=V2/R0[1+α（t-t0）]第57頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日也可采用測(cè)量其端電壓和流經(jīng)電阻的電流來(lái)獲得，則P的數(shù)學(xué)模型就變成

P=f（V，I）=VI

最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型是Y=X，如用卡尺測(cè)量工件的尺寸時(shí)，則工件的尺寸就等于卡尺的示值。模型中，被測(cè)量Y的估計(jì)值為y，輸入量Xi的估計(jì)值為xi，則有：

y=f（x1，x2，…，xN）式（A）中，大寫字母表示的量的符號(hào)既代表可測(cè)的量，代表隨機(jī)變量。當(dāng)敘述為Xi具有某概率分布時(shí)，這個(gè)符號(hào)的含義就是隨機(jī)變量。第58頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日y是取Y的n次獨(dú)立觀測(cè)值yk的算術(shù)平均值，其每個(gè)觀測(cè)值yk

的不確定度相同，且每個(gè)yk都是根據(jù)同時(shí)獲得的N個(gè)輸入量Xi的一組完整的觀測(cè)值求得的。在一列觀測(cè)值中，第k

個(gè)Xi的觀測(cè)值用Xik表示。當(dāng)被測(cè)量Y的最佳估計(jì)值y是通過(guò)輸入量X1，X2，…，XN的估計(jì)值x1，x2，…，xN得出時(shí)，可有以下兩種方法：①（B）

第59頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

②式中，它是獨(dú)立觀測(cè)值Xi,k的算術(shù)平均值。

說(shuō)明:

（１）以上兩種方法，當(dāng)f是輸入量Xi的線性函數(shù)時(shí)，它們的結(jié)果相同。（２）當(dāng)f是Xi的非線性函數(shù)時(shí)，①式的計(jì)算方法較為優(yōu)越。

第60頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（３）在數(shù)學(xué)模型中，輸入量X1、X2、…、XN可以是：①由當(dāng)前直接測(cè)定的量；②由外部來(lái)源引入的量；

xi的不確定度是y的不確定度的來(lái)源。（4）評(píng)定y的不確定度之前，為確定Y的最佳值，應(yīng)將所有修正量加入測(cè)得值，并將所有測(cè)量異常值剔除。（5）Y的不確定度將取決于xi的不確定度，為此首先應(yīng)評(píng)定xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（xi）。評(píng)定方法可歸納為A、B兩類。第61頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.6標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定

6.6.1單次測(cè)量結(jié)果試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差與平均值試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差

等精度測(cè)量定義：使用同樣的儀器，在同等的測(cè)量環(huán)境條件下，同一人員進(jìn)行的測(cè)量。

不等精度測(cè)量定義：使用不同的儀器或在不同的測(cè)量環(huán)境條件下，由不同人員進(jìn)行的測(cè)量。A類第62頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日X在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)，觀測(cè)值為（i=1,2,…,n）平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)值算術(shù)平均值單次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差第63頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日通常以樣本的算術(shù)平均值作為被測(cè)量值的估計(jì)（即測(cè)量結(jié)果），以平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差作為被測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。⑴當(dāng)測(cè)量結(jié)果取觀測(cè)列的任一次時(shí)所對(duì)應(yīng)的A類不確定度為⑵當(dāng)測(cè)量結(jié)果取n次的算術(shù)平均值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的A類不確定度為第64頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日⑶當(dāng)測(cè)量結(jié)果取其中的m次的算術(shù)平均值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的A類不確定度為的自由度是相同的，

都是和第65頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日◆觀測(cè)次數(shù)n充分多，才能使A類不確定度的評(píng)定可靠，一般認(rèn)為n應(yīng)大于5；◆當(dāng)該A類不確定度分量對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)較大，n也不宜太??；◆當(dāng)該A類不確定度對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)較小，n小一些關(guān)系也不大。說(shuō)明第66頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：對(duì)一等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)的活塞有效面積進(jìn)行檢定。在各種壓力下測(cè)得有效面積S0與工作基準(zhǔn)面積SS之比li如下：

0.2506700.2506730.2506700.2506710.2506750.2506710.2506750.2506700.2506730.250670試計(jì)算最佳估計(jì)值

L

、

、第67頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解：最佳估計(jì)值L為：?jiǎn)未螠y(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差為第68頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日L由測(cè)量重復(fù)性導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是表示一等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)活塞有效面積S0與工作基準(zhǔn)面積SS之比l的由測(cè)量重復(fù)性引起的不確定度分量，因：

第69頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日得到由測(cè)量重復(fù)性引起的S0的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量：以相對(duì)不確定度表示第70頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.6.2極差

在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下，對(duì)進(jìn)行n獨(dú)立觀測(cè)，計(jì)算結(jié)果中的最大值與最小值之差R稱為極差。在可以估計(jì)接近正態(tài)分布的前提下，單次測(cè)量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，可按下式近似地評(píng)定式中系數(shù)C及自由度如表6-4所示。第71頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日表6-4極差系數(shù)C及自由度n23456789C1.131.642.062.332.532.702.852.970.91.82.73.64.55.36.06.8一般在測(cè)量次數(shù)較小時(shí)采用極差法，以4～9為宜

第72頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：用金屬洛氏硬度計(jì)測(cè)量混凝土回彈儀試驗(yàn)鋼砧的硬度，測(cè)量5次，硬度值分別為：60.0、60.9、60.8、61.8、62.0HRC，5次平均值為61.1HRC。用貝塞爾公式算得平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差為:

自由度為第73頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如采用極差法進(jìn)行計(jì)算，則自由度極差法與貝塞爾法相比，得到不確定度的自由度下降了，也就是說(shuō)不確定度評(píng)定的可靠性有所降低。第74頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.6.3最小二乘法

當(dāng)X的估計(jì)值由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合的直線或曲線上得到時(shí)，任意預(yù)期是估計(jì)值或表征曲線擬合參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以用已知的統(tǒng)計(jì)程序計(jì)算得到的。如兩估計(jì)值x、y有線性關(guān)系，對(duì)其獨(dú)立測(cè)得若干對(duì)數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），n＞2，欲得到參數(shù)b、k及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度，以及預(yù)期估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度，要用到最小二乘法。important第75頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差：為殘差.參數(shù)b、k的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為[]為求和公式第76頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.6.4不確定度A類評(píng)定的獨(dú)立性

在重復(fù)性條件下所得的測(cè)量列的不確定度，通常比其它評(píng)定方法所得到的不確定度更為客觀，并具有統(tǒng)計(jì)學(xué)的嚴(yán)格性，但要求有充分的重復(fù)次數(shù)。第77頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.6.5A類不確定度評(píng)定的自由度和評(píng)定流程

◆對(duì)于獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，自由度（n為測(cè)量次數(shù)）。◆對(duì)于最小二乘法，自由度（n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，t為未知數(shù)個(gè)數(shù)）第78頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定的流程

第79頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.7標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定

6.7.1B類不確定度評(píng)定的信息來(lái)源★當(dāng)被測(cè)量X的估計(jì)值不是由重復(fù)觀測(cè)得到，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度可用的可能變化的有關(guān)信息或資料來(lái)評(píng)定?！?/p>

B類評(píng)定的信息來(lái)源有以下六項(xiàng)：①以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)；②對(duì)有關(guān)技術(shù)資料和測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)；③生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說(shuō)明文件；B類第80頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日④校準(zhǔn)證書(shū)、檢定證書(shū)或其它文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等級(jí)或級(jí)別，包括目前暫時(shí)在使用的極限誤差等；⑤手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度；⑥規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限r(nóng)或復(fù)現(xiàn)性限R。

第81頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.7.2B類不確定度的評(píng)定方法

1、已知置信區(qū)間和包含因子

★根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)信息或資料，先分析或判斷被測(cè)量值落入的區(qū)間，并估計(jì)區(qū)間內(nèi)被測(cè)量值的概率分布，再按置信水準(zhǔn)p來(lái)估計(jì)包含因子k，則B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度

a——置信區(qū)間半寬；k——對(duì)應(yīng)置信水準(zhǔn)的包含因子。

第82頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、已知擴(kuò)展不確定度U和包含因子k；U/K3、已知擴(kuò)展不確定度和置信水準(zhǔn)p的正態(tài)分布；一般按正態(tài)分布考慮評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。第83頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日正態(tài)分布的置信水準(zhǔn)（置信概率）p與包含因子之間存在如下表的關(guān)系。正態(tài)分布情況下置信水準(zhǔn)p與包含因子kp間的關(guān)系P（%）

5068.27909595.459999.730.6711.6451.9622.5763第84頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

4、已知擴(kuò)展不確定度以及置信水準(zhǔn)p

與有效自由度的t分布如的擴(kuò)展不確定度不僅給出了擴(kuò)展不確定度和置信水平p，及有效自由度或包含因子，按t分布處理第85頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例：校準(zhǔn)證書(shū)上給出了標(biāo)稱值為5kg的砝碼的實(shí)際質(zhì)量為m=5000.00078g，并給出了m的測(cè)量結(jié)果擴(kuò)展不確定度U95=48mg，有效自由度，求

解：查t分布表得知t95（35）=2.03，故B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為第86頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.7.3B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定的流程第87頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.8合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定

被測(cè)量Y的估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，是由相應(yīng)輸入量x1，x2，…，xN的標(biāo)準(zhǔn)不確定度適當(dāng)合成求得，估計(jì)值y的合成不確定度記為，它表征合理賦予被測(cè)量估計(jì)值y的分散性。第88頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

6.8.1輸入量不相關(guān)時(shí)不確定度的合成

1、當(dāng)全部輸入量是彼此獨(dú)立或不相關(guān)時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度由下式得出式中f——被測(cè)量y與諸直接測(cè)得量xi的函數(shù)關(guān)系?！蚴茿類評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，或是B類評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。（C）第89頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日說(shuō)明：

1）不確定度是個(gè)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，表征合理賦予被測(cè)量Y的分散性。

2）上式是基于的泰勒級(jí)數(shù)的一階近似，稱為“不確定度傳播律”。

3）但當(dāng)f是明顯非線性時(shí)，上式中還應(yīng)包括泰勒級(jí)數(shù)的高階項(xiàng)，當(dāng)每個(gè)輸入量都對(duì)其平均值對(duì)稱分布時(shí)，第90頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、偏導(dǎo)數(shù)稱為靈敏系數(shù)，符號(hào)為ci

，即。式（C）在互不相關(guān)時(shí)，可表達(dá)為：第91頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6.8.2輸入量相關(guān)時(shí)不確定度的合成如果一些量明顯相關(guān)時(shí)，就必須考慮其相關(guān)性，即使兩個(gè)量，無(wú)真正關(guān)聯(lián)，但在得到它們的估計(jì)值的過(guò)程中，某些因素可能使它們估計(jì)值，之間有某種關(guān)聯(lián)，使得在不確定度處理時(shí)，仍要考慮它們之間的相關(guān)性。第92頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1、輸入量相關(guān)時(shí)的不確定度傳播率當(dāng)輸入量相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果的合成方差應(yīng)表示為如下的不確定度傳播率式中

——

，的估計(jì)；

——的估計(jì)方差，且

第93頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

的相關(guān)程度可按估計(jì)相關(guān)系數(shù)表示為第94頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2、相關(guān)系數(shù)的求法

兩輸入量X，Y的估計(jì)相關(guān)系數(shù)r(X，Y)表示，取值范圍是可用以下公式計(jì)算①統(tǒng)計(jì)法第95頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期日②物理（實(shí)驗(yàn)）判斷法★對(duì)于，即X，Y不相關(guān)，有下面幾種情況：

a）X、Y不相關(guān)；

b）X、Y屬于不同體系的分量，如人員引起的不確定度分量與溫度影響的不確定度分量；