機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)

北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院第2章2.1數(shù)值數(shù)據(jù)的表示2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.3非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示2.4十進(jìn)制數(shù)和數(shù)串的表示2.5不同類型的數(shù)據(jù)表示舉例2.6數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.2.1定點(diǎn)表示法在定點(diǎn)表示法中約定：所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置固定不變。通常，把小數(shù)點(diǎn)固定在有效數(shù)位的最前面或末尾，這就形成了兩類定點(diǎn)數(shù)。1.定點(diǎn)小數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置固定在最高有效數(shù)位之前，符號(hào)位之后，記作Xs.X1X2…Xn，這個(gè)數(shù)是一個(gè)純小數(shù)。定點(diǎn)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置是隱含約定的，小數(shù)點(diǎn)并不需要真正地占據(jù)一個(gè)二進(jìn)制位。北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院202-12-2…

2-(n-1)2-n2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

當(dāng)Xs=0，X1～Xn=1時(shí)，X為最大正數(shù)，即：X最大正數(shù)

=(1-2-n)。1最大正數(shù)…1110定點(diǎn)小數(shù)格式小數(shù)點(diǎn)位置XsX1XnX2Xn-1…202-12-2…

2-(n-1)2-n注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院202-12-2…

2-(n-1)2-n2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示最小正數(shù)00100…定點(diǎn)小數(shù)格式小數(shù)點(diǎn)位置XsX1XnX2Xn-1…202-12-2…

2-(n-1)2-n

當(dāng)Xn=1，Xs～Xn-1=0時(shí)，X為最小正數(shù)，即：X最小正數(shù)

=2-n。注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

當(dāng)Xs=1，表示X為負(fù)數(shù)，此時(shí)情況要稍微復(fù)雜一些，這是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)中帶符號(hào)數(shù)可用補(bǔ)碼表示，也可用原碼表示。如前所述，原碼與補(bǔ)碼所能表示的絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)是有區(qū)別的，所以原碼和補(bǔ)碼的表示范圍有一些差別。北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院202-12-2…

2-(n-1)2-n202-12-2…

2-(n-1)2-n2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示原碼表示的絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)11111…X絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)(原碼表示時(shí)）=-(1-2-n)補(bǔ)碼表示的絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)10000…X絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)（補(bǔ)碼表示時(shí)）=-1注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院0.11111110.11111110.1111111

綜上所述：若機(jī)器字長有n+1位，則：原碼定點(diǎn)小數(shù)表示范圍為：-(1-2-n)～(1-2-n)補(bǔ)碼定點(diǎn)小數(shù)表示范圍為：-1～(1-2-n)

若機(jī)器字長有8位，則：原碼定點(diǎn)小數(shù)表示范圍為：-(1-2-7)～(1-2-7)補(bǔ)碼定點(diǎn)小數(shù)表示范圍為：-1～(1-2-7)2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示1.00000001.00000001.00000000.11111110.11111110.11111111.11111111.11111111.1111111北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2n2n-12n-2…

21202.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.定點(diǎn)整數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置隱含固定在最低有效數(shù)位之后，記作XsX1X2…Xn，這個(gè)數(shù)是一個(gè)純整數(shù)。定點(diǎn)整數(shù)格式小數(shù)點(diǎn)位置XsX1XnX2…2n2n-12n-2…

201最大正數(shù)…1110X最大正數(shù)

=(2n-1)注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2n2n-12n-2…

21202n2n-12n-2…

21202n2n-12n-2…

21202.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示X絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)（原碼表示時(shí)）=-(2n-1)最小正數(shù)00100…X最小正數(shù)

=1X絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)（補(bǔ)碼表示時(shí)）=-2n原碼表示的絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)11111…補(bǔ)碼表示的絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)10000…注意注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

綜上所述：若機(jī)器字長有n+1位，則：原碼定點(diǎn)整數(shù)的表示范圍為：-(2n-1)～(2n-1)補(bǔ)碼定點(diǎn)整數(shù)的表示范圍為：-2n

～(2n-1)

若機(jī)器字長有8位，則：原碼定點(diǎn)整數(shù)表示范圍為：-127～127補(bǔ)碼定點(diǎn)整數(shù)表示范圍為：-128～1270111111101111111011111111000000010000000100000002.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示011111110111111101111111111111111111111111111111北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.2.2浮點(diǎn)表示法

小數(shù)點(diǎn)的位置根據(jù)需要而浮動(dòng)，這就是浮點(diǎn)數(shù)。例如：

N=M×rE

式中：r為浮點(diǎn)數(shù)階碼的底，與尾數(shù)的基數(shù)相同，通常r=2。E和M都是帶符號(hào)數(shù)，E叫做階碼，M叫做尾數(shù)。在大多數(shù)計(jì)算機(jī)中，尾數(shù)為純小數(shù)，常用原碼或補(bǔ)碼表示；階碼為純整數(shù)，常用移碼或補(bǔ)碼表示。=M×2E北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

浮點(diǎn)數(shù)的一般格式：

浮點(diǎn)數(shù)的底是隱含的，在整個(gè)機(jī)器數(shù)中不出現(xiàn)。階碼的符號(hào)位為es，階碼的大小反映了在數(shù)N中小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置；尾數(shù)的符號(hào)位為ms，它是整個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)位，反映了該浮點(diǎn)數(shù)的正負(fù)。假設(shè)階碼和尾數(shù)部分均用補(bǔ)碼表示。esemms階碼部分E尾數(shù)部分MK位N位1位1位北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院階碼部分E尾數(shù)部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示0011111……1.浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍當(dāng)es=0，ms=0，階碼和尾數(shù)的數(shù)值位各位全為1（即階碼和尾數(shù)都為最大正數(shù)）時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)為最大正數(shù)。X最大正數(shù)=(1-2-n)×22k-1注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院階碼部分E尾數(shù)部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

當(dāng)es=1，ms=0，尾數(shù)的最低位mn=1，其余各位為0（即階碼為絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)，尾數(shù)為最小正數(shù)）時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)為最小正數(shù)。1100000……X最小正數(shù)=2-n×2-2k注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院階碼部分E尾數(shù)部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

當(dāng)es=0，階碼的數(shù)值位為全1；ms=1，尾數(shù)的數(shù)值位為全0（即階碼為最大正數(shù)，尾數(shù)為絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)）時(shí)，該浮點(diǎn)數(shù)為絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)。1110000……X絕對(duì)值最大負(fù)數(shù)=-1×22k-1注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)為了提高運(yùn)算的精度，需要充分地利用尾數(shù)的有效數(shù)位，通常采取規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)形式，即規(guī)定尾數(shù)的最高數(shù)位必須是一個(gè)有效值。

1/r≤|M|＜1

如果r=2，則有1/2≤|M|＜1。

北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

在尾數(shù)用原碼表示時(shí)，規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)的最高數(shù)位總等于1。在尾數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)滿足尾數(shù)最高數(shù)位與符號(hào)位不同（ms⊕m1=1），即當(dāng)1/2≤M＜1時(shí)，應(yīng)有0.1xx…x形式，當(dāng)-1≤M＜-1/2時(shí)，應(yīng)有1.0xx…x形式。需要注意的是當(dāng)M=-1/2，對(duì)于原碼來說，是規(guī)格化數(shù)，而對(duì)于補(bǔ)碼來說，不是規(guī)格化數(shù)；當(dāng)M=-1時(shí)，對(duì)于原碼來說，這將無法表示，而對(duì)于補(bǔ)碼來說，這是一個(gè)規(guī)格化數(shù)。

北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院階碼部分E尾數(shù)部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

20階碼部分E尾數(shù)部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示X規(guī)格化的最小正數(shù)=2-1×2-2k00011111……X規(guī)格化的絕對(duì)值最小負(fù)數(shù)=-(2-1+2-n)×2-2k……01000100注意注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.2.3浮點(diǎn)數(shù)階碼的移碼表示法

移碼就是在真值X上加一個(gè)常數(shù)（偏置值），相當(dāng)于X在數(shù)軸上向正方向平移了一段距離，這就是“移碼”一詞的來由，移碼也可稱為增碼或偏碼。

[X]移=偏置值+X

字長n+1位定點(diǎn)整數(shù)的移碼形式為X0X1X2…Xn。北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示最常見的移碼的偏置值為2n。當(dāng)字長8位時(shí)，偏置值為27。例1：X=1011101[X]移=27+X=10000000=11011101[X]補(bǔ)=01011101

例2：X=-1011101[X]移=27+X=10000000-1011101=00100011[X]補(bǔ)=10100011北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示偏置值為2n的移碼具有以下特點(diǎn)：

(1)在移碼中，最高位為“0”表示負(fù)數(shù)，最高位為“1”表示正數(shù)。

(2)移碼為全0時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的真值最小，為全1時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的真值最大。

(3)真值0在移碼中的表示形式是唯一的，即[+0]移=[-0]移=100…0。

(4)移碼把真值映射到一個(gè)正數(shù)域，所以可將移碼視為無符號(hào)數(shù)，直接按無符號(hào)數(shù)規(guī)則比較大小。北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示(5)同一數(shù)值的移碼和補(bǔ)碼除最高位相反外，其他各位相同。浮點(diǎn)數(shù)的階碼常采用移碼表示最主要的原因有：便于比較浮點(diǎn)數(shù)的大小。階碼大的，其對(duì)應(yīng)的真值就大，階碼小的，對(duì)應(yīng)的真值就小。簡(jiǎn)化機(jī)器中的判零電路。當(dāng)階碼全為0，尾數(shù)也全為0時(shí)，表示機(jī)器零。注意北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.2.5IEEE754標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)

大多數(shù)計(jì)算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)采用IEEE754標(biāo)準(zhǔn)，其格式如下，IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中有三種形式的浮點(diǎn)數(shù)。msEm北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院

2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

以短浮點(diǎn)數(shù)為例討論浮點(diǎn)代碼與其真值之間的關(guān)系。最高位為數(shù)符位；其后是8位階碼，以2為底，階碼的偏置值為127；其余23位是尾數(shù)。為了使尾數(shù)部分能表示更多一位的有效值，IEEE754采用隱含尾數(shù)最高數(shù)位1（即這一位1不表示出來）的方法，因此尾數(shù)實(shí)際上是24位。應(yīng)注意的是，隱含的1是一位整數(shù)（即位權(quán)為20），在浮點(diǎn)格式中表示出來的23位尾數(shù)是純小數(shù)，并用原碼表示。北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

例1：將(100.25)10轉(zhuǎn)換成短浮點(diǎn)數(shù)格式。

(1)十進(jìn)制數(shù)→二進(jìn)制數(shù)

(100.25)10=(1100100.01)2

(2)非規(guī)格化數(shù)→規(guī)格化數(shù)

1100100.01=1.10010001×26

(3)計(jì)算移碼表示的階碼（偏置值＋階碼真值）

1111111+110=10000101北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

(4)以短浮點(diǎn)數(shù)格式存儲(chǔ)該數(shù)。符號(hào)位=0

階碼=10000101

尾數(shù)=00000

短浮點(diǎn)數(shù)代碼為

0;10000101;10010001000000000000000

表示為十六進(jìn)制的代碼：42C88000H。北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示例2：把短浮點(diǎn)數(shù)C1C90000H轉(zhuǎn)換成為十進(jìn)制數(shù)。

(1)十六進(jìn)制→二進(jìn)制形式，并分離出符號(hào)位、階碼和尾數(shù)。

C1C90000H=1;10000011;00000階碼符號(hào)位尾數(shù)北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示

(2)計(jì)算出階碼真值（移碼－偏置值）

10000011-1111111=100

(3)以規(guī)格化二進(jìn)制數(shù)形式寫出此數(shù)

1.1001001×24

(4)寫成非規(guī)格化二進(jìn)制數(shù)形式

11001.001

(5)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，并加上符號(hào)位。

(11001.001)2=(25.125)10

所以，該浮點(diǎn)數(shù)=-25.125北京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2.2機(jī)器數(shù)的定點(diǎn)表示與浮點(diǎn)表示2.2.6定點(diǎn)/浮點(diǎn)表示法與定點(diǎn)/浮點(diǎn)計(jì)算機(jī)1.

定點(diǎn)/浮點(diǎn)表示法的區(qū)別