數(shù)列極限定義的教學思考

數(shù)列極限定義的教學思考極限是數(shù)學分析的基礎，是數(shù)學分析課程中重要的概念之一，它也是研究微分學和積分學的必備工具。在數(shù)列極限的教學中，有很多學生總感到理解數(shù)列極限概念很困難，認為s-N定義中的符號關(guān)系復雜，不易理解。本文對數(shù)列極限概念的教學過程進行了如下設計。一、介紹極限發(fā)展歷史極限思想的萌芽可以追溯到中國戰(zhàn)國時期和古希臘時期，但極限概念首次出現(xiàn)于沃利斯的《無窮算數(shù)》中，牛頓在其《自然哲學的數(shù)學原理》一書中明確使用了極限這個詞并作了闡述。18世紀下半葉，達郎貝爾等人認識到把微積分建立在極限概念的基礎之上，微積分才是完善的，柯西最先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴格定義。教師通過對極限發(fā)展歷史的簡單介紹，能加強學生對極限概念的感性認識。二、列舉極限相關(guān)的例子，為引入極限定義作鋪墊例1：古代哲學家莊周的《莊子?天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進行下去。分析：把每天截下部分的長度列出如下（單位為尺）：第一天截下■，第二天截下■，……，第n天截下■，……，這樣就得到一個數(shù)列?。觀察易知，數(shù)列■的通項■隨著n的無限增大而無限地接近于0。例2：介紹劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”。我國古代杰出的數(shù)學家劉徽于魏景元四年（公元263年）創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，他通過借助于圓的一串內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列的穩(wěn)定變化趨勢定義了圓的周長。其作法是：首先作圓的內(nèi)接正六邊形，其次平分每個邊所對的弧，作圓的內(nèi)接正十二邊形，以下用同樣的方法，繼續(xù)作圓的內(nèi)接正二十四邊形，圓的內(nèi)接正四十八邊形，等等。這樣我們就得到了一串圓的內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列：P6,P12,P24,…，P?，…，其中P■通項表示第n次作出的圓的內(nèi)接正2n-L6邊形的周長。觀察，我們知道圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)成倍無限增加時，這一竄圓的圓的內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列趨向于某個常數(shù)C。于是我們可以將C定義為該圓的周長。例3：觀察數(shù)列特征：■，｛（-1）n｝，■，｛3n｝。我們發(fā)現(xiàn)當n無限增大時，■趨向于1,（-1）n則在-1，+1之間擺動，■也趨向于1,但是3n則趨向于無窮大。通過對以上三個例題的分析，讓學生對數(shù)列極限有個初步認識。三、數(shù)列極限定義定義：設｛an｝為數(shù)列，a為常數(shù)。若對任給的正數(shù)￡，總存在正整數(shù)N，使得當nN時有|an-a|<￡，則稱數(shù)列｛an｝收斂于a，a稱為數(shù)列｛an｝的極限，并記作?an=a。若數(shù)列數(shù)列｛an｝沒有極限，則稱｛an｝不收斂，或稱｛an｝為發(fā)散數(shù)列。></￡，則稱數(shù)列｛an｝收斂于a，a稱為數(shù)列｛an｝的極限，并記作?an=a。若數(shù)列數(shù)列｛an｝沒有極限，則稱｛an｝不收斂，或稱｛an｝為發(fā)散數(shù)列。>為了更好地理解極限的定義，我們給出以下注意事項。注：1.8的雙重性。首先s具有絕對的任意性，這樣就保證了數(shù)列｛an｝無限趨向與a。另外一方面，s具有相對的固定性，一旦取定8,我們就可以估算an與a的接近程度。s的雙重性使得數(shù)列極限的s-N定義，既能從近似轉(zhuǎn)化為精確，又能從精確轉(zhuǎn)化為近似，它是掌握極限定義的關(guān)鍵。.N的存在性。在極限定義中，重在N的存在性，且N的存在性是與s相關(guān)的。定義中并沒有要求N的唯一性，也就是說一旦s任意給定后，我們只要能夠找到滿足條件的N即可。.極限的幾何意義。在平面坐標系中，數(shù)列｛an｝對應于數(shù)軸上的一竄點，對于任意的￡,存在正整數(shù)N,使得當nN時，所有點an均在開區(qū)間（a-s，a+C內(nèi)。故至多N個點an在這區(qū)間外。.收斂與發(fā)散的數(shù)學符號敘述。數(shù)列｛an｝收斂？圳？堝aRR，？全s0，？堝NRN?，？全nN，有|an-a|<s。></s。>數(shù)列｛an｝發(fā)散？圳？全aRR，？堝s?0，？坌NENB，？堝n?N，有|an--a|2s。四、例題講解例1：證明??二1。證明：？全s0,要使不等式--1=■<￡成立，只需n>■-2。于是取N=--2，從而？全s0，？堝N=--2RN+，使得？全nN，有--1<s，即??=1。></s，即??=1。></s成立，只需n>例2：證明■■二?。證明：限定n7,從而n3-30,要使不等式■-■二■■■<￡></￡>成立，只需n■。取N=max?，7。于是？全s0,？堝N=max?，7RN+，使得？全nN，有■-■<￡，即■■=?。></￡，即■■二?。>通過上面兩個例題的詳細講解，出求數(shù)列極限的一般步驟，并強調(diào)證明數(shù)列極限過程重在尋找合適的，我們可以采取“限定”和“放大”的方法來尋找N。然后再講解幾個求數(shù)列極限的證明題，照的證明步驟，一步一步證明，以此加深學生對的理解。最后在學生對證明數(shù)列極限方法有了一定的熟練后，再舉兩個證明數(shù)列發(fā)散的題目。通過嚴格的分析證明，結(jié)出證明數(shù)列發(fā)散的一般步驟，對比證明數(shù)列收斂的步驟，找出他們各自的證明難點，從而加深對數(shù)列極限的理解。