中山大學信息光學習題課后標準答案-習題234章作業(yè)

#/8習題22.1把下列函數(shù)表示成指數(shù)傅里葉級數(shù)，并畫出頻譜。(1)f(x)=￡rect((1)f(x)=￡rect(x-2n)(2)￡tri(x-2n)n二一8n二一8F{1}=b&,n);(5)F{n5(sinnx)}；F{sgn(x)sgn(y)}=(6)F2-n(x2+y2)/a2n=-g2.2證明下列傅里葉變換關(guān)系式：F{rect(x)rect(y)}二sincd)sinc⑺)；(2)F{A(x)A(y)}=sinc21)sinc2(q)；求x和xf(2x)的傅里葉變換。求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。H(己)=trj(+-)&r-( G&)=rect(-3)rec證明下列傅里葉變換定理：(1)在所在f(x,y)連續(xù)的點上ff{f(x,y)}=F-1F-1{f(x,y)}=f(-x，—y)；F{f(x,y)h(x,y)=F{f(x,y)}*F(g(x,y)}。2.6證明下列傅里葉-貝塞爾變換關(guān)系式：(1)若f(r)=3(r-r)，則B{f(r)}二2nrJ(2nrp)；r 0 r 00 0(2)若a<r<1時f(r)=1，而在其他地方為零，則B{f(r)}=)(2,P)aJ1(2,aP)；r rp 1(pA(3)若B{f(r)}=F(p)，則B{f(r)}=—p；r ra21aJ(4)B{e-nr2}=e-邛22.7設(shè)g(r,0)在極坐標中可分離變量。證明若f(r,0)=f(r)eimd，則：rF{f(r,0))=(-i)mei蹄H{f(r)]mr其中H{}為m階漢克爾變換：H{f(r)}=2Jrf(r)J(2nrp)dr。而(p,。)空間頻率中的極坐m mr 0rm標。(提示：eiasinx=￡sJ(a)eikx)k=-8k

(1)rect((x一1、⑶rectV2J*(1)rect((x一1、⑶rectV2J*8(2x—3)*comb(x)2.9試用卷積定理計算下列各式。sinc(x)*sinc(x)(x+3、-c..crect *8(x-4)*8(x-1)I2J.(nx) ,、sin—*rect(x)V2J(2)F{sinc(x)sinc(2x)}用寬度為a的狹縫，對平面上強度分布f(x)=2+cos(2危x)0掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出強度分布。利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵的透過率。假定縫寬為a，光柵常數(shù)為d，縫數(shù)為N。計算下面函數(shù)的相關(guān)。(1)(x一1)★rect—V2J⑵tri(2x-14tri(2x-1)2.13應(yīng)用傅里葉定理求下面積分。(1)J8e-nx2cos(2nax)dx一8(2)J"sinc2(x)sin(nx)dx一8求函數(shù)f(x)=rect(x)和f(x)=tri(x)的一階和二階導數(shù)。試求下圖所示函數(shù)的一維自相關(guān)。ol1 2 3 4 5 6 7試計算函數(shù)f(x)=rect(x-3)的一階矩。證明實函數(shù)f(x,y)的自相關(guān)是實的偶函數(shù)，即：R(x,j)=R(-x,-j)。a aff ff求下列廣義函數(shù)的傅里葉變換。step(x) (2)sgn(x) (3)sin(2nN0x)求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，并畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。H(x)=tri(x+1)-tri(x-1) (2)G(x)=rect(x/3)-rect(x)表達式

/ 、 / 、”■,rx'ip(x,y)=g(x,y)*comb-comb_Ix7定義了一個周期函數(shù)，它在X方向上的周期為X它在y方向上的周期為y。(a)證明p的傅里葉變換可以寫為:n=—8m=—8其中G是g的傅里葉變換。,、 一八 r_y) (b)當g(x,定義了一個周期函數(shù)，它在X方向上的周期為X它在y方向上的周期為y。(a)證明p的傅里葉變換可以寫為:n=—8m=—8其中G是g的傅里葉變換。,、 一八 r_y) (b)當g(x,y)=rect2—rect22_時，回出函數(shù)p(x,y)的圖形，并求出對應(yīng)的傅里葉變換I17習題33.1設(shè)在一線性系統(tǒng)上加一個正弦輸入：g(x,y)=cos[2兀&x+ny)]，在什么充分條件下，輸出是一個空間頻率與輸入相同的實數(shù)值正弦函數(shù)？用系統(tǒng)適當?shù)奶卣鞅硎境鲚敵龅恼穹拖辔弧?.2證明零階貝塞爾函數(shù)2J0(2兀PJ)是任何具有圓對稱脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。對應(yīng)的本征值是什么？3.3傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數(shù)到其他變換式的變換，因此它滿足本章把提出的關(guān)系系統(tǒng)的定義。試問:(a)這個系統(tǒng)是線性的嗎?(b)你是否具體給出一個表征這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？如果能夠，它是什么？如果不能，為什么不能?3.4某一成像系統(tǒng)的輸入是復數(shù)值的物場分布U(X,y)，其空間頻率含量是無限的，而系統(tǒng)的輸出是像場o分布U(x,y)。可以假定成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變換低通濾波器，其傳遞函數(shù)在頻域上的區(qū)間1|己|<B，|”￡B之外恒等于零。證明，存在一個由點源的方形陣列所構(gòu)成的“等效”物體U'(x,y)，它與真實物體U產(chǎn)生完全一樣的像。，并且等產(chǎn)供效物體的場分布可寫成:U(己E)s1nc(n—2B己)s1nc(m—2B"尷d”n=-8m=-80—82B-，y2B-/Xy3.5定義:Axy一1一JJf(x,y)dxdy,Af(0,0)一8一1一JfFd,”)d^d”F(0,0)一8分別為原函數(shù)f(x,y)及其頻譜函數(shù)F&,n)的“等效面積”和“等效帶寬”，試證明:AA=1xy丁勒上式表明函數(shù)的“等效面積”和“等效帶寬”成反比，稱為傅里葉變換反比定理，亦稱面積計算定理。已知線性不變系統(tǒng)的輸入為：f(x)=comb(x)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為rect化/b)。當b=1和b=3時，求系統(tǒng)的輸出g(x)，并畫出函數(shù)及其頻譜。對一個線性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為：h(x)=7sinc(7x)用頻率域方法對下列的每一個輸入f(x)，求其輸出g(x)(必要時，可取合理近似):ii(1)f(x)=cos4nx1f(x(1)f(x)=cos4nx1f(x)=[1+cos(8nx)]rect(x/75) (4)f(x)=comb(x)*rect(2x)343.8給定正實常數(shù)匕和實常數(shù)。和b，求證:1(1)若|b|<芥2q01則——1(1)若|b|<芥2q01則——IbIsinc(x/b)*cos(2ngx)=cos(2ngx)(2)若1b1>:2g

0貝U sinc(x/b)*cos(2ngx)=0IbI 0⑶若|b|<|a|，則sinc(x/b)*sinc(x/a)=|b|sinc(x/a)IaI(4)若?b|<，則smc(x/b)*smc2(x/a)=|b|smc2(x/a)213.9若限帶函數(shù)f(x)的傅里葉變換在帶寬攻之外恒為零，(1)如果?a|<—，證明:w11since(a/f*c=(f)x()(2)如果|a|>，上面的等式還成立嗎?IaI w3.10給定一個線性系統(tǒng)，輸入為有限延伸的矩形波：g(x)=3comb(x/3)rect(x/100)*rect(x)若系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：h(x)=rect(x-1)。求系統(tǒng)的輸出，并繪出傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、輸出及其頻譜的圖形。3.11給定一線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波2comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)對下列傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出：(1)H&)=rect化/2) (2)H2comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)對下列傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出：(1)H&)=rect化/2) (2)H&)=rect6/4)—rect化/2)若對函數(shù)：h(x)=asinc2(ax)抽樣，求允許的最大抽樣間隔。證明在頻率平面上一個半徑為B的圓之外沒有非零的頻譜分量的函數(shù)，遵從下述抽樣定理：g(x,y)=EEgn=-8m=-8cJ[2nB、；(x—n/2B)2+(y—m/2B)2]2^2nB、《(x—n/2B)2+(y—m/2B)24.1尺寸為axb的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠零后的平面上透射光場的角譜。4.2采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過率函數(shù)的孔徑，求菲涅耳衍射圖樣在孔徑軸上的強度分布：⑴t(X0,yJ=circ(\.0+y;)1,a<X:X2+y2<10 00,其它4.3余弦型振幅光柵的復振幅透過率為：t(x)=a+bcos(2兀x/d)式中，d為光柵的周期，a>b>0。觀察平面與光柵相距z。當z分別取下述值時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。(3)z=[=d-2-4 2人4.4參看下圖，用向P點會聚的單色球面波照明孔徑，。P點位于孔徑后面距離為z的觀察平4.4面上，坐標為(0,b)。假定觀察平面相對孔徑的位置是在菲涅耳區(qū)內(nèi)，證明觀察平面上強度分布是以P點為中心的孔徑的夫瑯禾費衍射圖樣。方向余弦為cosa,cosP,振幅為A的傾斜單色平面波照明一個半徑為〃的圓孔。觀察平面位于夫瑯禾費區(qū)，也孔徑相距為z。求衍射圖樣的強度分布。環(huán)形孔徑的外徑為2a，內(nèi)徑為2sa(0<8<1)。其透射率可以表示為：[1,sa<r<aM)/其他0用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求距離為z的觀察屏上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。下圖所示孔徑由兩個相同的圓孔構(gòu)成。它們的半徑都為a，中心距離為d(d>>a)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求出相距孔徑為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布并畫出沿y方向截面圖。參看下圖，邊長為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個邊長為a的正方形掩模，其中心落在&,n)點。采用單位振幅的單色平面波垂直照射，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯禾費射圖樣的光場分布。畫出x'=y'=0時，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。

下圖所示孔徑由兩個相同的矩孔構(gòu)成，它們的寬度為〃，長度為b，中心相距d。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。假定b=4a及d=1.5a，畫出沿x和y方向上強度分布的截面圖。即：下圖所示半無窮不透明屏的復振幅透過率可以用階躍函數(shù)表示，即：t(x)=step(x)00采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的復振幅分布。畫出沿X方向的振幅分布曲線。下圖所示為寬度為a的單狹縫，它的兩半部分之間通過相位介質(zhì)引入位相差n。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣強度分布。畫出沿x方向的截面圖。線光柵的縫寬為a，光柵常數(shù)為d，光柵整體孔徑是邊長L的正方形。試對下述條件，分別確定a和d之間的關(guān)系：光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中缺少偶數(shù)級。光柵的夫瑯禾費衍射圖樣中第三級為極小。衍射屏由兩個錯開的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，其透過率可以表示為：t(x,y)= comix( a/ )coymb^b /)comb[4a0.1)y)bcomb( /)00 0 0 0 0采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為Z的觀察平面上夫瑯禾費衍射圖樣的強度分布。畫出沿x方向的截面圖。如下圖所示為透射式鋸齒形位相光柵。其折射率為n，齒寬為a，齒形角為a，光柵的