第三章作業(yè)及答案(學(xué)生版)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第三章作業(yè)及答案(學(xué)生版)

習(xí)題3-1

1.

而且P{X1X20}1.求X1和X2的聯(lián)合分布律.解X1和X2的聯(lián)合分布律

2.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

k(6xy),0x2,2y4,

f(x,y)

其它.0,

求:(1)常數(shù)k;(2)P{X1,Y3};(3)P{X1.5};(4)P{XY≤4}.

解(1)k

1

.8

38

.(2)P{X1,Y3}

(3)P{X1.5}

2732

(4)P{XY≤4}

.3

3.二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

2

kxy,x2≤y≤1,0≤x≤1,

f(x,y)

其它.0,

試確定k,并求P{(X,Y)G},G:x2≤y≤x,0≤x≤1.

解k6.P{(X,Y)G}

1

.4

4.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為

4.8y(2x),0≤x≤1,0≤y≤x,

f(x,y)

其它.0,求關(guān)于X和Y邊緣概率密度.

解

fX(x)

x4.8y(2x)dy,0x1,

f(x,y)dy0

其它.0,

fY(y)

2.4(2x)x2,0x1,

其它.0,

14.8y(2x)dx,0y1,

f(x,y)dxy

其它.0,

2

2.4y(34yy),0y1,

其它.0,

5.假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間[-2,2]上聽從均勻分布,隨機(jī)變量

1,若U≤1,1,若U≤1,

XY

1,若U1,1,若U1.試求：(1)X和Y的聯(lián)合概率分布；(2)P{XY≤1}.

解(1)

P{X1,Y1}P{U≤1,U≤1}P{U≤1}

同理,P{X1,Y1}P{U≤1,U1}0；

1

14

2

x

14

;

P{X1,Y1}P{U1,U≤1}

12

；

2

P{X1,Y1}P{U1,U1}P{U1}

于是得到X和Y的聯(lián)合概率分布為

1

1

1x.44

(2)P{XY≤1}1P{XY1}1P{X1,Y1}1

習(xí)題3-2

1.設(shè)(X,Y)的分布律為

13

.44

求:(1)在條件X=2下Y的條件分布律;

(2)P{X≥2Y≤2}.

解(1)P{X2}0.6,所以在條件X=2下Y的條件分布律為

1,2

P{Y2|X2}0,

P{Y1|X2}

1,61

P{Y4|X2},

3P{Y3|X2}

或?qū)懗?/p>

(2)注意到P{Y≤2}=0.6.P{X≥2,Y≤2}0.5因此P{X≥2Y≤2}

P{X≥2,Y≤2}

P{Y≤2}

2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

0.55

.0.66

f(x,y)

1,0x1,0y2x,

0,其它.

11X≤22

求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；(2)P{Y≤

y

2x,0x1,1,0y2,

fY(y)2解(1)fX(x)

0,其它.其它.0,

z

1,0z2,

(2)fZ(z)Fz(z)2

其它.0,

113

PX≤，Y≤

11322

.(3)PY≤X≤

11224PX≤

42

3.設(shè)G是由直線y=x,y=3,x=1所圍成的三角形區(qū)域,二維隨機(jī)變量(X,Y)在G上聽從二維均勻分布.求:

(1)(X,Y)的聯(lián)合概率密度；(2)P{YX≤1}；(3)關(guān)于X的邊緣概率密度.解(1)

1,(x,y)G,

f(x,y)2

0,(x,y)G.

(2)P{YX≤1}=

3

.4

1

(1x),x[1,3],

(3)fX(x)2

其它.0,

習(xí)題3-3

1.設(shè)X與Y相互獨(dú)立,且分布律分別為下表:

求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律.

解

1

P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i1,,0;j0,2,5,6.

2

2.設(shè)(X,Y)的分布律如下表:

問,為何值時(shí)X與Y相互獨(dú)立?

2

1,3

解可得方程組

111().939

解得

29

,

19

.

經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)因此當(dāng)

29

,

19

時(shí),對于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.

時(shí),X與Y相互獨(dú)立..

99

3.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率密度為

2

,

1

be(xy),0x1,y0,

f(x,y)

其它.0,

(1)試確定常數(shù)b.

(2)求邊緣概率密度fX(x),fY(y).(3)問X與Y是否相互獨(dú)立？

1

解(1)b.

1e1(2)fX(x)

fY(y)

ex

,0x1,

f(x,y)dy1e1

其它.0,

ey,y0,

f(x,y)dx

其它.0,

(3)X與Y相互獨(dú)立.

4.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在(0,1)上聽從均勻分布,Y的

概率密度為

y

12e,

fY(y)2

0，

y0,

y≤0.

(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度.

(2)設(shè)關(guān)于a的二次方程為a2XaY0,試求a有實(shí)根的概率.

解(1)

y

12

e,0x1,y0

f(x,y)fX(x)fY(y)2

其它.0,

2

(2){方程有實(shí)根}{X2≥Y}.P{X2≥Y}0.1445習(xí)題3-4

1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為

若隨機(jī)事件{X=0}與{X+Y=1}相互獨(dú)立,求常數(shù)a,b.

解解得a0.4,b0.1.

2.設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X,Y的分布律分別為

求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.解

3.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),Y聽從均勻分布U(-a,a)(a0),試求隨機(jī)變量和Z=X+Y的概率密度.

解

fZ(z)

fX(zy)fY(y)dy

12aa

(zy)2

22

dy

=

1zμazμa[Φ()Φ()].2aσσ

4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上

的均勻分布,試求隨機(jī)變量U=|X-Y|的概率密度f(u).

解隨機(jī)變量U|XY|的概率密度為

1

(2u),0u2,p(u)2.

其它.0,

總習(xí)題三

1.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

1,|y|x,0x1,

f(x,y)

0,其它.

求條件概率密度fY|X(y|x)和fX|Y(x|y).

解

1

,yx1,

當(dāng)0y1時(shí),fX|Y(x|y)1y

0,x取其它值.

1

,yx1,

當(dāng)1y≤0時(shí),fX|Y(x|y)1y

0,x取其它值.1

,|y|x,

當(dāng)0x1時(shí),fY|X(y|x)2x

y取其它值.0,

2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,下表列出二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律及

關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中空白處.

解得到下表

3.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

ke(3x4y),x0,y0,

f(x,y)

其它.0,

1,0Y≤2};(1)求常數(shù)k；(2)求(X,Y)的分布函數(shù)；(3)計(jì)算P{0X≤

(4)計(jì)算fx(x),fy(y)；(5)問隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立?解(1)k12.

(2)(X,Y)的分布函數(shù)

(1e3x)(1e4y),x0,y0,

F(x,y)

其它.0,

1,0Y≤2}F(1,2)F(0,0)(1e3)(1e8).(3)P{0X≤

3e3x,x0,4e4y,y0,

(4)fX(x)fY(y)

0,其它.其它.0,

(5)X與Y相互獨(dú)立.

4.解(1)X與Y不相互獨(dú)立.(2)Z

(3)V

(4)Umin{

(5)WU

V5.2xy,0x1,0y1,

f(x,y)

其它.0,

(1)求P{X2Y};(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(z).

解(1)P{X2Y}

7.24

(2)Z=X+Y的概率密度為

2zz2,0z1,

fZ(z)FZ(z)(2z)2,1≤z2,

0,其它.

6.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)得密度為

21

xxy,

(x,y)3

0,

0≤x≤1,0≤y≤2,

其它.

試求:(1)(X,Y)的分布函數(shù);(2)(X,Y)的兩個邊緣分布密度;(3)(X,Y)的兩個條

11

件密度;(4)概率P{X+Y1},P{YX}及P{Y|X}.

22

解(1)分布函數(shù)為

x≤0或y≤0,0,

1

x2y(xy),0x≤1,0y≤2,

43

1

F(x,y)x2(2x1),0x≤1,y2,

31

x1,0y≤2,12y(4y),

x1,y2.1,

22

2xx,0≤x≤1,

(2)X(x)3

其它.0,11

y,0≤y≤2,

Y(y)36

其它.0,

(3)當(dāng)0≤y≤2時(shí),X關(guān)于Y=y的條件概率密度為

(x,y)6x22xy

(x|y).

Y(y)2y

當(dāng)0≤x≤1時(shí),Y關(guān)于X=x的條件概率密度為

(y|x)

(4)參見圖

3-10.

(x,y)3xy

.

X(y)6x2

圖3-10第9題積分區(qū)域圖3-11第9題積分區(qū)域

P{XY1}