高中數(shù)學-高中數(shù)學必修3《輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

《算法案例——輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》教案教學目標：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析.能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序.教學重點與難點：重點：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.難點：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.教學過程與方法：學生自主學習：認真自學課本34-37內(nèi)容.1.輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個正整數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡為止，這時的較小的數(shù)即為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).2.更相減損術(shù)，就是對于給定的兩個正整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的減法，直到差和較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)即為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).合作探究（一）：輾轉(zhuǎn)相除法問題1:12與16的最大公約數(shù)是多少？18與90的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？枚舉法：短除法：問題2：對于8251與6105這兩個數(shù)，由于其公有的質(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？又6105=2146×2+1813，同理，6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等.重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎？問題3：上述求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法稱為輾轉(zhuǎn)相除法或歐幾里得算法.一般地，用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計？第一步，給定兩個正整數(shù)m，n(m>n).第二步，第三步，第四步，問題4：該算法的程序框圖如何表示？問題5：該程序框圖對應(yīng)的程序如何表述？問題6：如果用當型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表示？練習：用輾轉(zhuǎn)相除法求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)：（1）225,135:；（2）98,196；（3）72,168；（4）153,119.合作探究（二）：更相減損術(shù)《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著,是世界數(shù)學史上的瑰寶.設(shè)兩個正整數(shù)m>n，若m-n=k，則m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理，可求得98與63的最大公約數(shù)為多少？練習：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)，并用輾轉(zhuǎn)相除法驗證.合作探究（三）：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以為主，更相減損術(shù)以為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯.從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是則得到，而更相減損術(shù)則以相等而得到課堂測試：1.用輾轉(zhuǎn)相除法求80和36的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗所得結(jié)果．求三個數(shù)175、100、75的最大公約數(shù)．隨堂練習：1.用輾轉(zhuǎn)相除法計算60與48的最大公約數(shù)時，需要做的除法次數(shù)是()A．1B．2C．3 D．42.用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做除法的次數(shù)是()A．1B．2C．3 D．4求378和90的最大公約數(shù)．求三個數(shù)324,243,108的最大公約數(shù)．本節(jié)小結(jié)：輾轉(zhuǎn)相除法.更相減損術(shù).輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù).本節(jié)作業(yè)：課本P48頁習題1.3A組T1.《輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》學情分析教材內(nèi)容分析：本節(jié)教材選自人教版普通高中課程標準實驗教科書必修3第一章第1.3節(jié)與傳統(tǒng)教學內(nèi)容相比，《算法初步》為新增內(nèi)容，算法是計算機科學的重要基礎(chǔ)，算法思想已經(jīng)滲透到社會的方方面面，算法思想也逐漸成為每個現(xiàn)代人應(yīng)具有的數(shù)學素養(yǎng)。算法思想即體現(xiàn)了時代的特點，也是中國古代數(shù)學燦爛的歷史和巨大的貢獻在新層次上的復(fù)興。本節(jié)內(nèi)容是探究古代算法案例――輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)，經(jīng)歷設(shè)計算法解決問題的全過程，體會算法在解決問題中的重要作用，體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理的思考和數(shù)學表達能力，鞏固算法三種描述性語言（自然語言、圖形語言和程序語言），提高學生分析和解決問題的能力。學生學習情況分析：學生已經(jīng)學習了有關(guān)算法和框圖的基礎(chǔ)知識。絕大多數(shù)同學對算法和框圖的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力，應(yīng)用數(shù)學的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強。《輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》效果分析教學環(huán)節(jié)：自主學習交流研討精講自我測評自主學習首先引入課題，求9與24的最大公約數(shù)，引出最大公約數(shù)的表示方法和小學的求法。但小學解法不具有一般性。接著是知識準備：24=9×2+6，說明9與24的最大公約數(shù)為什么等于6與9的最大公約數(shù)，從而體會去求8251與6105的最大公約數(shù)的過程。接著學生進入自主學習環(huán)節(jié)，自學環(huán)節(jié)是依據(jù)學習指導(dǎo)書來進行，學習指導(dǎo)書中有“知識沙盤”部分，沙盤是知識地貌的的呈現(xiàn)，如果把自主學習比作一次旅行，學習指導(dǎo)書則是指南針，知識沙盤是地圖，自主學習就是體現(xiàn)個性化的自助游。在學生自學完畢后，基本可以理清脈絡(luò)，發(fā)現(xiàn)問題，找到解決部分問題的途徑。作為指導(dǎo)教師要依據(jù)教學評價中的整體性原則、客觀性原則做好觀察筆記，注重觀察整體學生對學習指導(dǎo)書完成的情況，客觀準確記錄下來普遍學生存在的問題，并根據(jù)觀察筆記診斷學生存在的共性問題和個性問題問題及時調(diào)整精講的內(nèi)容。美國教育學家蘇娜丹戴克說：“告訴我，我會忘記；做給我看，我會記??；讓我參與，我會完全理解。”自主學習環(huán)節(jié)的設(shè)計是為了給學生最大空間，最長時間的參與。這也是當下課堂改革的精髓。（二）交流研討交流研討是集思廣益，生生互助的過程，在這個環(huán)節(jié)學生不僅要相互幫助解決疑難問題，還能從中受到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)新問題，從而拓寬自己的思路。作為指導(dǎo)教師，我要耐心傾聽，給學生更多的機會，讓他們?nèi)リ愂鲇^點，這個環(huán)節(jié)不僅提高了學生的溝通能力，更重要的是培養(yǎng)了學生獨立思考和創(chuàng)新精神，可使學生認知結(jié)構(gòu)完善，展示自己的獨立思想。在交流研討中學生生成的問題主要有三個方面：1.輾轉(zhuǎn)相除法的算理問題，即不理解8251與6105的最大公約數(shù)為什么就轉(zhuǎn)化為6105與2146的最大公約數(shù)。2.對程序框圖的理解問題主要有三個方面①循環(huán)體如何確定？②為什么初始輸入的與，不用比較大??？如果，怎么運行？③最后輸出結(jié)果是，為什么不是除數(shù)？3.一題多解和多題一解方面，是否還有其他的算法？預(yù)測同學們會提出用計算機查找所有約數(shù)的方法，或提出能否利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個以上甚至多個正整數(shù)的最大公約數(shù)。（三）精講精講是教師針對學生研討生成的問題而展開，從自身專業(yè)角度對學生知識糾錯，方法點化，方向指引，漏洞修補。根據(jù)同學們生成的問題我分析如下：關(guān)于輾轉(zhuǎn)相除法的算理問題，首先這個新出現(xiàn)的數(shù)學知識是理解算法的必要前提，但教學的重點在于對算法的學習，不強調(diào)對這些知識的記憶和靈活應(yīng)用。為了降低理解上的難度，教學中設(shè)計板書如下：所以這樣我們可以得到8251與6105的最大公約數(shù)就等于148與37的最大公約數(shù)，也就是37，這種大數(shù)化小數(shù)的轉(zhuǎn)化思想很有借鑒意義。再接著我們介紹輾轉(zhuǎn)相除法的關(guān)鍵步驟是帶余除法，在學生閱讀研討的基礎(chǔ)上指導(dǎo)學生寫出以下關(guān)系：（下列關(guān)系式中，）若，則,若，則。特別注意引導(dǎo)學生思考“為什么時，”，然后自然過渡到把輾轉(zhuǎn)相除法編制成計算機程序。2．關(guān)于程序框圖方面的問題，（1）教學中，應(yīng)先進行算法步驟分析，根據(jù)剛才的分析，我們知道帶余除法是一個反復(fù)執(zhí)行，直到余數(shù)為零才停止的步驟，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)。接著寫出自然語言描述算法的步驟，關(guān)鍵是第三步，實際上這是數(shù)值轉(zhuǎn)移的過程，也是建立循環(huán)的基礎(chǔ)，然后我們畫出程序框圖，指導(dǎo)學生構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)的方法是確定循環(huán)體，初始化變量和設(shè)定循環(huán)控制條件。①確立循環(huán)體:求除以的余數(shù),；②初始化變量：輸入；③設(shè)定循環(huán)控制條件：？（2）關(guān)于學生生成的問題最后輸出的結(jié)果是或的問題，根本原因在于，滿足程序結(jié)束時，還執(zhí)行了兩個賦值語句，將原來該輸出的值賦給了變量，故最后應(yīng)輸出。（3）關(guān)于學生生成的問題輸入的，只要執(zhí)行一次循環(huán)，程序就會將的值交換過來，這樣就保證了,故不需要比較的大小關(guān)系。（4）《學習指導(dǎo)書》設(shè)計有將算法改寫為當型循環(huán)結(jié)構(gòu)寫出輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟、程序框圖和程序。目的是通過對程序的變換，讓學生再次體會用算法思想解決實際問題的全過程，并加深對直到型和當型兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解。（5）在例題講解中，介紹了更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法，先按步驟求出最大公約數(shù)，再引導(dǎo)學生思考算法原理。這是我國早期解決求最大公約數(shù)問題的算法，通過中外數(shù)學歷史的對比，反映中國古代人民的優(yōu)秀，讓學生體會中國古代數(shù)學對世界歷史的發(fā)展做出的貢獻。注意：更相減損術(shù)的程序比較復(fù)雜，課堂上只要求學生能讀懂算理，課后鼓勵有能力的學生進行較深入的理解。3.總結(jié)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的聯(lián)系與區(qū)別及算法程序，使學生們對知識有一個系統(tǒng)的認識，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)概括能力，實現(xiàn)知識的升華。4.最后關(guān)于學生提供的其他方法，首先是肯定鼓勵大家的開放性思維，然后需要指出的是解決同一個問題可以有多種算法，有優(yōu)有劣，差異很大。好的算法可以把解決問題的時間由幾天縮短到幾秒。因而算法分析也成為計算機科學的一個基本研究方向。通過以上教學環(huán)節(jié)的實施，完成了本節(jié)課的教學任務(wù)。其中，學生在課堂上學會了兩種求最大公約數(shù)的方法：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)；并且探究了兩種方法的算法的不同表示形式：算法步驟、程序框圖、程序語言。通過合作探究鍛煉了學生的合作意識，提高了學生學習的積極性與主動性；通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻，增加民族自豪感和對祖國的熱愛。總之，本節(jié)課達到了預(yù)期的效果?！遁氜D(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》教材分析（一）地位與作用 對于算法這枚葉子的研究，在我國可謂是歷史悠久,并且還取得了舉世公認的偉大成就。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，算法日漸融入我們社會生活的方方面面，現(xiàn)代算法的作用之一就是使計算機能代替人完成枯燥的，重復(fù)的，繁瑣的工作。所以算法進入了中學數(shù)學課程，既反映了時代的要求，也是中國古代數(shù)學思想在新層次上的復(fù)興，更是中國數(shù)學課程的一個新特色。從教材內(nèi)容上看，算法是數(shù)學的一個基本內(nèi)容。本章前兩節(jié)介紹了算法的初步知識：基本思想，基本結(jié)構(gòu)，基本語句。教材在第三節(jié)安排了三個案例，讓學生經(jīng)歷設(shè)計算法解決問題的全過程，體驗算法在解決問題中的重要作用，體會算法的基本思想。提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理的思考與數(shù)學表達能力。（二）教學目標1.課標分析 《課程標準》提出的要求是通過閱讀中國古代數(shù)學中的算法案例，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。這里有兩句話，一個是閱讀案例，另一個是體會貢獻。從表面上看，這個目標不難實現(xiàn)，實際上在閱讀算法案例時，需要寫算法步驟，畫程序框圖和編寫程序，體會算法逐漸精確的過程，同時還要體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。這就是說閱讀案例不是簡單的看書，而是經(jīng)歷設(shè)計算法，解決問題的全過程。案例教學的關(guān)鍵是理解案例當中的算法核心思想，此外理解算法中新出現(xiàn)的數(shù)學知識，是理解案例的必要前提。但教學的重點在于對算法的學習，不強調(diào)對這些知識的記憶及靈活應(yīng)用。通過以上的分析，本節(jié)課教學目標確定如下：2.教學目標①初步了解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學原理，不強調(diào)對這些知識的記憶與靈活應(yīng)用，但能根據(jù)這些原理進行算法分析，能夠畫出程序框圖表示算法。模仿、探索、經(jīng)歷設(shè)計算法，解決問題的全過程，體會算法的基本思想。感受算法在解決實際問題中的重要作用，培養(yǎng)學生利用算法解決問題的意識。④在計算機上驗證算法，領(lǐng)會數(shù)學算法與計算機處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學算法轉(zhuǎn)化成計算機語言的一般步驟?！端惴ò咐氜D(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》導(dǎo)學案學習目標：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學原理，并能根據(jù)這些原理進行算法分析.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序.學習重點與難點：重點：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.難點：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.學習過程與方法：自主學習：認真自學課本34-37內(nèi)容.1.輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個正整數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡為止，這時的較小的數(shù)即為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).2.更相減損術(shù)，就是對于給定的兩個正整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的減法，直到差和較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)即為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù).合作探究（一）：輾轉(zhuǎn)相除法問題1:12與16的最大公約數(shù)是多少？18與90的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？枚舉法：短除法：問題2：對于8251與6105這兩個數(shù)，由于其公有的質(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？又6105=2146×2+1813，同理，6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等.重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個數(shù)的最大公約數(shù)嗎？問題3：上述求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法稱為輾轉(zhuǎn)相除法或歐幾里得算法.一般地，用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計？第一步，給定兩個正整數(shù)m，n(m>n).第二步，第三步，第四步，問題4：該算法的程序框圖如何表示？問題5：該程序框圖對應(yīng)的程序如何表述？問題6：如果用當型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表示？練習：用輾轉(zhuǎn)相除法求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)：（1）225,135:；（2）98,196；（3）72,168；（4）153,119.合作探究（二）：更相減損術(shù)《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著,是世界數(shù)學史上的瑰寶.設(shè)兩個正整數(shù)m>n，若m-n=k，則m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等.反復(fù)利用這個原理，可求得98與63的最大公約數(shù)為多少？練習：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)，并用輾轉(zhuǎn)相除法驗證.合作探究（三）：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以為主，更相減損術(shù)以為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯.從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是則得到，而更相減損術(shù)則以相等而得到課堂測試：1.用輾轉(zhuǎn)相除法求80和36的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗所得結(jié)果．求三個數(shù)175、100、75的最大公約數(shù)．隨堂練習：1.用輾轉(zhuǎn)相除法計算60與48的最大公約數(shù)時，需要做的除法次數(shù)是()A．1B．2C．3 D．42.用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做除法的次數(shù)是()A．1B．2C．3 D．4求378和90的最大公約數(shù)．求三個數(shù)324,243,108的最大公約數(shù)．本節(jié)小結(jié)：輾轉(zhuǎn)相除法.更相減損術(shù).輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù).本節(jié)作業(yè)：課本P48頁習題1.3A組T1.《輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》課后反思告知不如感知，教練不如歷練。所以本課時基本原則是，認識特殊，推廣一般，閱讀案例，經(jīng)歷過程。本節(jié)課基本流程是：從解決特殊問題開始到一般問題解決的算法分析，寫算法步驟，畫程序框圖和編制程序。這是關(guān)注算法思想，突出重難點的有效處理方法。其中寫算法步驟是基礎(chǔ)，畫程序框圖是算理算則的清晰化，編制程序是算法的進一步精確化，教學中應(yīng)以此為重點，而不是以程序設(shè)計為重點。這是案例教學的基調(diào)，后續(xù)案例教學也用這種辦法。此外從人教版和北師大版教材的對比中不難看出，其算法與基本結(jié)構(gòu)是一致的，但采用的程序語句是不同的，從側(cè)面也說明，本章的重點是體會算法的核心思想和依據(jù)算理畫出程序框圖。最后，算法初步是新課程新增內(nèi)容，但算法思想貫穿整個高中數(shù)學學習，正因為如此有些教師想改變教學順序，把算法教學放在最后我認為這是不妥的。此外本章作為數(shù)學學科與信息技術(shù)學科的交叉學科，在教學中可與信息技術(shù)教師在適當?shù)臅r間共同安排課程,以計算機為工具，以機房為實驗室，共同開發(fā)算法應(yīng)用的相關(guān)內(nèi)容。《輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)》課標分析 《課程標準》提出的要求是通過閱