第三章多元正態(tài)均值向量和協(xié)方差矩陣的檢驗(yàn)

第三章多元正態(tài)均值向量和協(xié)方差矩陣的檢驗(yàn)2023/4/141第1頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一內(nèi)容第一節(jié)

單個(gè)總體均值向量的推斷第二節(jié)

單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)第三節(jié)

兩個(gè)總體均值的檢驗(yàn)第四節(jié)

兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)第五節(jié)

多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)（多元方差分析）第六節(jié)

正態(tài)總體協(xié)方差矩陣的檢驗(yàn)第七節(jié)

在SAS多元假設(shè)檢驗(yàn)過程2023/4/142第2頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/143一、均值向量的檢驗(yàn)

設(shè)是取自多元正態(tài)總體的一個(gè)樣本，，現(xiàn)欲檢驗(yàn)

由于總體的協(xié)方差矩陣可能未知或已知，所以在檢驗(yàn)時(shí)必須采用有不同的的統(tǒng)計(jì)量，所以我們分成兩種情況來討論。第一節(jié)單個(gè)總體均值向量的推斷第3頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/144

由于是來自多元正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本1、總體協(xié)方差矩陣已知時(shí)第4頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/145第5頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/146

由于樣本均值，所以有

服從自由度為p的卡方分布。當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，服從自由度為p的中心卡方分布。所以，我們用作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，對(duì)顯著性水平，檢驗(yàn)的規(guī)則為：第6頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/147第7頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1482、總體協(xié)方差矩陣未知時(shí)

總體的協(xié)方差矩陣未知，用樣本的協(xié)方差矩陣

替代中的總體協(xié)方差，得霍特林（Hotelling）統(tǒng)計(jì)量第8頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/149

在原假設(shè)為真時(shí)對(duì)顯著性水平，檢驗(yàn)的規(guī)則為：當(dāng)，拒絕原假設(shè)；當(dāng)，接受原假設(shè)。第9頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【例】人的出汗多少與人體內(nèi)的鈉和鉀的含量有一定的關(guān)系，今測(cè)量了20位成年女性的出汗量、鈉含量和鉀含量。試檢驗(yàn)：2023/4/1410第10頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1411

例在企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究中，起決定作用的指標(biāo)有市場(chǎng)份額X1，企業(yè)規(guī)模（資產(chǎn)凈值總額的自然對(duì)數(shù)）X2，資本收益率X3和總收益增長(zhǎng)率X4。為了研究美國(guó)市場(chǎng)的變動(dòng)，夏菲爾德抽取了美國(guó)231個(gè)大型企業(yè)，調(diào)查這些企業(yè)某十年的資料。假設(shè)以前企業(yè)市場(chǎng)結(jié)構(gòu)的均值向量為(20,7.5,10,2)’，該調(diào)查所得的樣本均值向量和樣本協(xié)方差矩陣如下。第11頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1412

試問企業(yè)的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)是否發(fā)生了變化？第12頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一注：似然比統(tǒng)計(jì)量

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，通常還可以利用最大似然原理導(dǎo)出似然比統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。

設(shè)p維總體的密度函數(shù)為2023/4/1413其中是未知參數(shù)，參數(shù)空間。第13頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有如下假設(shè)：2023/4/1414現(xiàn)在從總體中抽出容量為n的樣本樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為第14頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一引入似然比統(tǒng)計(jì)量2023/4/1415由于，所以統(tǒng)計(jì)量取值在0到1之間。

第15頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

由極大似然比原理，如果取值太小，說明H0為真的時(shí)觀測(cè)到此樣本的概率要小得多，故有理由認(rèn)為假設(shè)H0不成立。

可以證明當(dāng)樣本容量很大時(shí)2023/4/1416

近似服從自由度為f的卡方分布，其中自由度為的維數(shù)減0的維數(shù)。第16頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

下面我們討論2023/4/1417

的似然比檢驗(yàn)。

其中第17頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一原假設(shè)成立時(shí)，有2023/4/1418

其中第18頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一我們來討論一下，似然比檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和霍特林的T平方統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系。2023/4/1419第19頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一有2023/4/1420第20頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一三個(gè)統(tǒng)計(jì)量是等價(jià)的，有2023/4/1421第21頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1422

例設(shè)x1,x2,

…,xn取自該總體Np(,)的樣本，=(1,2,…p)，檢驗(yàn)H0：1=2=…=p=

H1：至少存在一對(duì)i和j，使i

j第二節(jié)單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)

第22頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1423

則與上面的原假設(shè)等價(jià)的假設(shè)為

例假定人類的體形有這樣的一般規(guī)律：身高、胸圍和上臂圍平均尺寸比例為6：4：1。檢驗(yàn)身高、胸圍和上臂圍平均尺寸比例是否符合這一規(guī)律。第23頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1424則上面的假設(shè)可以表達(dá)為

第24頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1425

設(shè)取自多元正態(tài)總體的一個(gè)樣本。前面，我們已經(jīng)利用樣本，檢驗(yàn)均值向量是否等于一個(gè)指定的向量。在實(shí)際問題中，我們也需要檢驗(yàn)均值向量的分量之間是否存在某一指定的結(jié)構(gòu)關(guān)系，即檢驗(yàn)

其中C為一已知的kp階矩陣，k<p，rank(C)=k，為已知的k維向量。根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知第25頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1426第26頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1427

為了檢驗(yàn)H0：C=

，可以用統(tǒng)計(jì)量

當(dāng)為真時(shí)H0：C=

時(shí)對(duì)給定的顯著性水平，檢驗(yàn)的規(guī)則當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)。第27頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1428

特別當(dāng)=0

，即檢驗(yàn)H0:C=0

，H1:C0，則第28頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1429

在例中，假定人類的體形有這樣一個(gè)一般規(guī)律的身高、胸圍和上臂圍平均尺寸比例為6:4:1。檢驗(yàn)比例是否符合這一規(guī)律。檢驗(yàn)：

第29頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1430某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù)如下編號(hào)身高（cm）胸圍（cm）上半臂長(zhǎng)（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0檢驗(yàn)三個(gè)指標(biāo)的均值是否有關(guān)系第30頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1431第31頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1432第三節(jié)兩個(gè)總體均值的檢驗(yàn)

一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形

與一元隨機(jī)變量的情形相同，常常我們需要檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值是否相等。

設(shè)從總體和中各自獨(dú)立地抽取樣本

考慮假設(shè)第32頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1433根據(jù)兩個(gè)樣本可得1和2的無偏估計(jì)量為第33頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1434

因?yàn)閮蓚€(gè)總體的協(xié)方差矩陣相等，所以我們可以用樣本的聯(lián)合協(xié)方差矩陣來估計(jì)第34頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1435霍特林（Hotelling）統(tǒng)計(jì)量為：當(dāng)原假設(shè)為真的條件下，統(tǒng)計(jì)量

檢驗(yàn)的規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，接受原假設(shè)。第35頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1436

二、成對(duì)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

前面我們討論的是兩個(gè)獨(dú)立樣本的檢驗(yàn)問題，但是不少的實(shí)際問題中，兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)是成對(duì)出現(xiàn)的。例如檢驗(yàn)?zāi)信毠さ墓べY收入是否存在差異；一種新藥的療效等。

設(shè)(xi,yi)，i=1,2,3,…,n(n>p)，是成對(duì)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，總體X和y均服從p維正態(tài)分布，且協(xié)方差相等。令di=xi-yi，則di=xi-yi服從正態(tài)分布，。

檢驗(yàn)假設(shè)第36頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1437

其中

當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為和的分布。

檢驗(yàn)規(guī)則為：

當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。

第37頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1438

中小企業(yè)的破產(chǎn)模型為了研究中小企業(yè)的破產(chǎn)模型，首先選定了X1總負(fù)債率（現(xiàn)金收益/總負(fù)債），X2收益性指標(biāo)（純收入/總財(cái)產(chǎn)），X3短期支付能力（流動(dòng)資產(chǎn)/流動(dòng)負(fù)債）和X4生產(chǎn)效率性指標(biāo)（流動(dòng)資產(chǎn)/純銷售額）4個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，對(duì)17個(gè)破產(chǎn)企業(yè)為“1”和正常運(yùn)行企業(yè)“2”進(jìn)行了調(diào)查，得資料如下。如果這些指標(biāo)是用來做判別分析和聚類分析的變量，他們之間沒有顯著性差異是不恰當(dāng)?shù)?，所以檢驗(yàn)所選擇的指標(biāo)在不同類型企業(yè)之間是否有顯著的差異。

第38頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1439x1,x2,x3,x4均為判別變量第39頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1440x1,x3為判別變量第40頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1441DependentVariable:x1（對(duì)X1進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.874667910.8746679116.900.0002

Error361.863008400.05175023

CorrectedTotal372.73767632

X1在類間有顯著性差異。DependentVariable:x2（對(duì)X2進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.083120770.083120771.950.1710

Error361.533700280.04260279

CorrectedTotal371.61682105X2在類間沒有顯著性差異。第41頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1442DependentVariable:x3（對(duì)X3進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model116.4695844316.4695844321.45<.0001

Error3627.640805040.76780014

CorrectedTotal3744.11038947X3在類間有顯著性差異。DependentVariable:x4（對(duì)X4進(jìn)行的檢驗(yàn)）

SumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>F

Model10.001126940.001126940.030.8643

Error361.369780950.03804947

CorrectedTotal371.37090789X4在類間沒有顯著性差異。第42頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1443

多元假設(shè)檢驗(yàn)

StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>F

Wilks'Lambda0.545616206.874330.0004Pillai'sTrace0.454383806.874330.0004Hotelling-LawleyTrace0.832790156.874330.0004Roy'sGreatestRoot0.832790156.874330.0004

從SAS的輸出可以看出應(yīng)該拒絕原假設(shè)，即類間的有顯著性差異。第43頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1444第四節(jié)兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)

一、問題提出

設(shè)從總體，中各自獨(dú)立地抽取樣本和，。他們的均值向量差為：第44頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1445

例在愛情和婚姻的調(diào)查中，對(duì)一個(gè)由若干名丈夫和妻子組成的樣本進(jìn)行了問卷調(diào)查，請(qǐng)他們回答以下幾個(gè)問題：(1)你對(duì)伴侶的愛情的“熱度”感覺如何？(2)伴侶對(duì)你的愛情的“熱度”感覺如何？(3)你對(duì)伴侶的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？(4)伴侶對(duì)你的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？回答采用沒有、很小、有些、很大和非常大5個(gè)等級(jí)，得到結(jié)果如表。

第45頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1446丈夫?qū)ζ拮悠拮訉?duì)丈夫X1X2X3X4X1X2X3X4235544555544455545554455434445553355445533453344344443544455345545554454443334444455455555445555第46頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1447

現(xiàn)在我們關(guān)心均值分量間的差異是否滿足某種結(jié)構(gòu)關(guān)系。比如每個(gè)指標(biāo)均值間的差異是否相等。

1、丈夫?qū)ζ拮右约捌拮訉?duì)丈夫的回答在α＝0.05顯著水平上沒有差異。

2、在四個(gè)指標(biāo)上他們是否會(huì)有相同的分?jǐn)?shù)。即檢驗(yàn)四個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值是否相等。

第47頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1448二、統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn)

檢驗(yàn)

在原假設(shè)為真的條件下，檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：第48頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1449dataa;inputx1x2x3x4class;cards;數(shù)據(jù)行省略;run;proc

anova;classclass;modelx1-x4=class;manovah=classm=(1-1

0

0,

1

0-1

0,

1

0

0-1);run;第49頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1450H=AnovaSSCPMatrixforclassE=ErrorSSCPMatrixS=1M=0.5N=27StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>FWilks'Lambda0.878572612.583560.0626Pillai'sTrace0.121427392.583560.0626Hotelling-LawleyTrace0.138209852.583560.0626Roy'sGreatestRoot0.138209852.583560.0626第50頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1451

例某種產(chǎn)品有甲乙兩個(gè)品牌，其質(zhì)量指標(biāo)有5個(gè)，從兩種品牌的產(chǎn)品中分別抽出5個(gè)，有如下的數(shù)據(jù)，

序號(hào)X1X2X3X4X5111181518152332731211732028272319418261818952223221610第51頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1452序號(hào)X1X2X3X4X51181720181823124312620314161720174252431261853628242629檢驗(yàn)兩種品牌的質(zhì)量指標(biāo)差異有顯著不同。第52頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1453s1={63.7021.3546.407.558.00,21.3516.3019.957.154.25,46.4019.9542.3012.1016.25,7.557.1512.107.7010.50,8.004.2516.2510.5019.00};s2={81.7044.7036.9029.8036.60,44.7026.2022.6518.3019.60,36.9022.6540.3020.603.45,29.8018.3020.6015.209.90,36.6019.603.459.9024.30};第53頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1454mu1={20.80,24.40,22.60,19.20,14.00};mu2={24.80,21.80,24.60,23.20,20.40};第54頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1455sp=(4#s1+4#s2)/8;C={1-1000,01-100,001-10,0001-1};T=5#(t(mu1-mu2)*t(C)*inv(C*sp*t(c))*C*(mu1-mu2))/2;

T=35.645395

第55頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1456第56頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1457dataa1;inputx1-x5class$@@;cards;1118151815133273121171202827231911826181891222322161011817201818231243126202141617201722524312618236282426292;procanova;classclass;modelx1-x5=class;manovah=classm=(-11000,01-100,001-10,000-11);run;第57頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1458第五節(jié)多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)（多元方差分析）

前面我們已經(jīng)對(duì)單個(gè)總體和兩個(gè)總體的均值向量進(jìn)行了檢驗(yàn)。但常常還需要檢驗(yàn)三個(gè)或三個(gè)以上總體的均值向量是否相等。

一、方差分析的回顧

某工廠實(shí)行早、中、晚三班工作制。工廠管理部門想了解不同班次工人勞動(dòng)效率是否存在明顯的差異。每個(gè)班次隨機(jī)抽出了7個(gè)工人，得工人的勞動(dòng)效率（件/班）資料如表。分析不同班次工人的勞動(dòng)效率是否有顯著性差異。=0.05，0.01。第58頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1459早班中班晚班344939374740355142334839335041355142365140第59頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1460

為什么各值會(huì)有差異？可能的原因有兩個(gè)。

一是，各個(gè)班次工人的勞動(dòng)效率可能有差異，從而導(dǎo)致了不同水平下的觀察值之間差異，即存在條件誤差。

二是，隨機(jī)誤差的存在。

如何衡量?jī)煞N原因所引起的觀察值的差異?總平均勞動(dòng)效率為：第60頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1461三個(gè)班次工人的平均勞動(dòng)效率分別為：總離差平方和ss組間離差平方和(條件誤差)ssA第61頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1462組內(nèi)離差平方和（隨機(jī)誤差）sse

統(tǒng)計(jì)量F第62頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1463查F分布表得臨界值因?yàn)楣蕬?yīng)拒絕原假設(shè)，即不同班次工人的勞動(dòng)效率有顯著的差異。

方差分析：比較3個(gè)或3個(gè)以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機(jī)誤差）。第63頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1464

方差分析的任務(wù)是：尋找適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)諸效應(yīng)是否相等。亦即檢驗(yàn)

原假設(shè)Ho:a1=a2=…=ak,即諸效應(yīng)均為零;備擇假設(shè)H0：諸ai不全相等.總離差平方和反映了全部觀察值相對(duì)于總平均數(shù)的離散程度。隨機(jī)波動(dòng)所引起的離差平方和反映了各相同水平下觀察值之間的分散程度，稱為誤差平方和或組內(nèi)平方和。第64頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1465由各水平的效應(yīng)不同引起的離差平方和

可以證明

在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量F服從第一自由度為k-1，第二自由度為n-k的F分布，對(duì)于給定的顯著性水平，可以查表確定臨界值滿足P{F>F(k-1,n-k)}=。第65頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1466把計(jì)算的F值與臨界值比較，當(dāng)FF時(shí)，拒絕原假設(shè)，不同水平下的效應(yīng)有顯著性差異；當(dāng)F<F時(shí)，接受原假設(shè)。方差來源離差平方和自由度方差F值

組間A

組內(nèi)E

—

總和

——NEXT第66頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1467

二、多元方差分析中的假設(shè)

設(shè)有個(gè)總體，他們的分布分別今從這個(gè)總體中抽出樣本，，為第個(gè)總體的樣本容量，樣本容量為。

三、多元方差分析的叉積矩陣的分解第67頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1468交叉乘積項(xiàng)第68頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1469SSE為組內(nèi)叉積矩陣，反映隨機(jī)因素引起的誤差；SS(TR)為組間叉積矩陣，反映系統(tǒng)因素引起的誤差。

SSE和SS(TR)之和等于總叉積矩陣SST。當(dāng)SSE在SST中占有較大的份額時(shí)，可以認(rèn)為隨機(jī)因素影響過大，反之SSE所占份額小，SS（RT）所占份額就大，不同試驗(yàn)間的觀測(cè)值會(huì)有顯著性差異。第69頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1470

四、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量第70頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1471

從前面的分析，可以看出統(tǒng)計(jì)量實(shí)際上是組內(nèi)離差平方和與總離差平方和的比值，反映了組內(nèi)離差平方和在總離差平方和中所占比重。

越小，則不同試驗(yàn)間的觀測(cè)值之間的差異就越大，則支持備擇假設(shè)不完全相同；

越大，則不同試驗(yàn)間的觀測(cè)值之間的差異就越小，則支持原假設(shè)。第71頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一【例】為了研究某種疾病，對(duì)一批人同時(shí)測(cè)量了4個(gè)指標(biāo)，脂蛋白、甘油三酯、脂蛋白和前脂蛋白。按這批人的不同年齡、不同性別分為三組（20至35歲的女性、20至25歲的男性和35至50歲的男性）。討論三組人的4項(xiàng)指標(biāo)是否存在顯著性差異。=0.05。2023/4/1472第72頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1473dataa;inputg$x1-x4@@;cards;126075401812007234171240874518117065391712701103924120513034231190692715120046461512501172120120010728201225130361112101252617117064311412707633131190603416……;proc

anova;classg;modelx1-x4=g;manovah=g;run;第73頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1474StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>FWilks'Lambda0.66413.0781080.0038Pillai'sTrace0.36273.0581100.0039Hotelling-LawleyTrace0.46543.11874.8560.0044Roy'sGreatestRoot0.34994.814550.0021從SAS的輸出可以看出應(yīng)該拒絕原假設(shè)，即類間的有顯著性差異。第74頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1475第三節(jié)協(xié)差陣檢驗(yàn)

如同一元隨機(jī)變量檢驗(yàn)方差情形，多元隨機(jī)向量通常也要對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法是似然比檢驗(yàn)。似然比檢驗(yàn)的思路是原假設(shè)成立的似然函數(shù)與原空間的似然函數(shù)（極大似然估計(jì)的似然函數(shù)）相比的比值。即

該比如越大越接受原假設(shè)，反之比如越小越不能接受原假設(shè)。第75頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1476

在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量

漸近到自由度為p(p+1)/2的卡方分布。第76頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1477為樣本聯(lián)合密度函數(shù)。第77頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1478

原假設(shè)成立的條件下，似然函數(shù)為

全空間似然函數(shù)為第78頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1479

將兩個(gè)似然函數(shù)相比，有第79頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1480

注：統(tǒng)計(jì)量是原假設(shè)成立的似然函數(shù)除以全空間的似然函數(shù)（極大似然估計(jì)的似然函數(shù)）。該統(tǒng)計(jì)量的值大于零小于等于1。越靠近0，說明全空間的似然函數(shù)值越大，則拒絕原假設(shè)。第80頁(yè)，共92頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/148