《蒙特卡羅方法》PPT

2.1蒙特卡洛方法(MonteCarlosimulation)引言(introduction)MC基本思想MC收斂性及誤差MC特點(diǎn)1完整版ppt一、兩種自然現(xiàn)象確定性的：日月升落，四季輪回，磁石吸鐵不確定的：擲骰子，炮彈落點(diǎn)，考試成績(jī)二、兩種研究方法

確定性問題:解析,有限元,分子動(dòng)力學(xué),Monte-Carlo

隨機(jī)性問題：Monte-Carlo，布朗動(dòng)力學(xué)1.引言2完整版ppt

計(jì)算機(jī)模擬：(1)隨機(jī)模擬方法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，又稱蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。它是通過不斷產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列來模擬過程。自然界中有的過程本身就是隨機(jī)的過程，物理現(xiàn)象中如粒子的衰變過程、粒子在介質(zhì)中的輸運(yùn)過程等。當(dāng)然蒙特卡洛方法也可以借助慨率模型來解決不直接具有隨機(jī)性的確定性問題。(2)確定性模擬方法。它是通過數(shù)值求解一個(gè)個(gè)的粒子運(yùn)動(dòng)方程來模擬整個(gè)系統(tǒng)的行為。在統(tǒng)計(jì)物理中稱為分子動(dòng)力學(xué)（MolecularDynamics）方法。此外,近年來還發(fā)展了神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)方法和原胞自動(dòng)機(jī)方法。1.引言3完整版ppt

MC方法，分為三種類型：（1）直接蒙特卡洛模擬。它采用隨機(jī)數(shù)序列來模擬復(fù)雜隨機(jī)過程的效應(yīng)。（2）蒙特卡洛積分。這是利用隨機(jī)數(shù)序列計(jì)算積分的方法。積分維數(shù)越高，該方法的積分效率就越高。（3）Metropolis蒙特卡洛模擬。這種模擬是以所謂“馬爾科夫”（Markov）鏈的形式產(chǎn)生系統(tǒng)的分布序列。該方法可以使我們能夠研究經(jīng)典和量子多粒子系統(tǒng)的問題。1.引言4完整版pptMonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，statisticalsimulationmethod

利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法MonteCarlo名字的由來：是由Metropolis在二次世界大戰(zhàn)期間提出的：Manhattan計(jì)劃，研究與原子彈有關(guān)的中子輸運(yùn)過程；MonteCarlo是摩納哥（monaco)的首都，該城以賭博聞名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,Monaco1.引言5完整版pptMonteCarlo方法簡(jiǎn)史簡(jiǎn)單地介紹一下MonteCarlo方法的發(fā)展歷史1、Buffon投針實(shí)驗(yàn)：1768年，法國(guó)數(shù)學(xué)家ComtedeBuffon利用投針實(shí)驗(yàn)估計(jì)的值dL1.引言6完整版ppt1.引言7完整版ppt1.引言8完整版ppt1.引言9完整版ppt2、1930年，EnricoFermi利用MonteCarlo方法研究中子的擴(kuò)散，并設(shè)計(jì)了一個(gè)MonteCarlo機(jī)械裝置，F(xiàn)ermiac,用于計(jì)算核反應(yīng)堆的臨界狀態(tài)3、VonNeumann是MonteCarlo方法的正式奠基者,他與StanislawUlam合作建立了概率密度函數(shù)、反累積分布函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器。在這些工作中，StanislawUlam意識(shí)到了數(shù)字計(jì)算機(jī)的重要性合作起源于Manhattan工程：利用ENIAC(ElectronicNumericalIntegratorandComputer)計(jì)算產(chǎn)額1.引言10完整版pptMC的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)-隨機(jī)變量及其分布

定義隨機(jī)變量X={xi}，概率分布F(x)是X的函數(shù)

離散分布：

連續(xù)分布：

f(x)為概率分布密度

數(shù)學(xué)期望：和

方差：1.引言11完整版pptMC的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)-大數(shù)定理設(shè)x1,x2,,xn,為一隨機(jī)變量序列,相互獨(dú)立,具有同樣分布,且E(xi)=a存在,則對(duì)任意小量>0,有

統(tǒng)計(jì)含義：不論隨機(jī)變量的分布如何,只要n足夠大,則算術(shù)平均與數(shù)學(xué)期望值可無限接近,也就是說,算術(shù)平均以幾率收斂于其數(shù)學(xué)期望值.1.引言12完整版pptMC的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)-中心極限定理設(shè)x1,x2,,xn,為一隨機(jī)變量序列,相互獨(dú)立,具有同樣分布,且E(xi)=μ,D(xi)=2存在,則統(tǒng)計(jì)含義：如果一個(gè)隨機(jī)變量X，是由大量相互獨(dú)立的因素的影響形成的，其中每一個(gè)因素在總的影響中所起作用都是微小的（被稀釋），這種隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布1.引言13完整版pptMC的基礎(chǔ)–隨機(jī)過程1定義，X＝X(x,t)隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，或時(shí)間隨機(jī)變量序列2按分布函數(shù)，分類a)平穩(wěn)隨機(jī)過程b)Markov過程c)獨(dú)立增量隨機(jī)過程d)獨(dú)立隨機(jī)過程1.引言14完整版pptMC的基礎(chǔ)-平穩(wěn)隨機(jī)過程1定義：X(t),如果它的n維（n個(gè)狀態(tài)）概率密度與初始分布無關(guān)，即對(duì)任何n和t’滿足fx(x1,x2,…,xn;t1,t2,..,tn)=fx(x1,x2,…,xn;t1+t’,t2+t’,..,tn+t’)含義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性與所選擇的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，不隨時(shí)間的推移而變化，即是“時(shí)間平穩(wěn)的”。2統(tǒng)計(jì)特性

1）一維概率密度與時(shí)間無關(guān)2）二維概率密度，只與兩個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔Δt有關(guān)，其時(shí)間自相關(guān)僅是Δt的函數(shù)3應(yīng)用：電阻的熱噪聲，電子信號(hào)，…1.引言15完整版pptMC的基礎(chǔ)-Markov鏈1定義：在可列個(gè)離散狀態(tài)x1,x2,..xN和離散時(shí)間t1,t2,..tn,若隨機(jī)過程在tm+k時(shí)刻變成任一狀態(tài)xi的概率，只與tm時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)(無后效)，而與此前狀態(tài)無關(guān)，稱離散隨機(jī)序列P{Xm+k=xi,m+k|Xm=xi,m,Xm-1=xi,m-1,..,X1=xi,1}=P{Xm+k=xi,m+k|Xm=xi,m}為Markov鏈.

2概率轉(zhuǎn)移矩陣pij條件概率：pij(m,m+k)＝P{Xm+k=xj|Xm=xi}不依賴于m的pij稱，齊次Markov鏈

3應(yīng)用：統(tǒng)計(jì)物理Ising模型（固態(tài)相變，液固相變，…）1.引言16完整版pptMC的模擬方法（步驟）1.

確定統(tǒng)計(jì)方案(Xi,)2.確定隨機(jī)變量Xi的概率分布：fi(x)3.根據(jù)fi(x)，對(duì)Xi抽樣：Xi-->Ri4.編程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬5.獲得統(tǒng)計(jì)量1.引言17完整版pptMC的模擬方法－1確定統(tǒng)計(jì)方案1確定統(tǒng)計(jì)模型1)現(xiàn)象模型隨機(jī)現(xiàn)象Y＝Y(jié)(Xi)，Xi={X1,X2,X3,…}2)確定隨機(jī)變量Xi的分布特征fi(x)平均分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布，Γ分布…2確定統(tǒng)計(jì)量1.引言18完整版pptMC的模擬方法－2常見的概率分布其他還有：Γ分布，β分布，χ2分布，t分布，Poisson分布…1.引言19完整版pptMC的模擬方法－3概率抽樣方法1

直接抽樣法：反函數(shù)法、函數(shù)變換法

2間接抽樣法：舍選法,值序抽樣…設(shè)g(x,y)為X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)

如有某一分布

H(x)<M為任意函數(shù)，請(qǐng)對(duì)其抽樣。舍選抽樣示意圖

1.引言20完整版pptMC的模擬方法－4隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1基本隨機(jī)數(shù)，2隨機(jī)數(shù)和“偽隨機(jī)數(shù)”

偽隨機(jī)數(shù)（序列）重演周期應(yīng)足夠長(zhǎng)3產(chǎn)生辦法

同余法、混合同余法、組合同余法等4計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

a)自定義子程序，b)調(diào)用內(nèi)部函數(shù)強(qiáng)調(diào)：偽隨機(jī)數(shù)的好壞，直接影響統(tǒng)計(jì)結(jié)果，應(yīng)予重視。

1.引言21完整版pptMonteCarlo模擬在物理研究中的作用1.引言22完整版pptMonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)，建立能夠描述該系統(tǒng)特性的理論模型，導(dǎo)出該模型的某些特征量的概率密度函數(shù)；從概率密度函數(shù)出發(fā)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到特征量的一些模擬結(jié)果；對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，預(yù)言物理系統(tǒng)的某些特性。1.引言23完整版ppt注意以下兩點(diǎn)：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MonteCarlo方法利用隨機(jī)抽樣的方法來求解物理問題;數(shù)值解法:從一個(gè)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā),通過求解一系列的微分方程來的導(dǎo)出系統(tǒng)的未知狀態(tài);MonteCarlo方法并非只能用來解決包含隨機(jī)的過程的問題:許多利用MonteCarlo方法進(jìn)行求解的問題中并不包含隨機(jī)過程例如:用MonteCarlo方法計(jì)算定積分.

對(duì)這樣的問題可將其轉(zhuǎn)換成相關(guān)的隨機(jī)過程,然后用MonteCarlo方法進(jìn)行求解1.引言24完整版pptMonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf)—必須給出描述一個(gè)物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù);隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器—能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)抽樣規(guī)則—如何從在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)出發(fā),隨機(jī)抽取服從給定的pdf的隨機(jī)變量;模擬結(jié)果記錄—記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果誤差估計(jì)—必須確定統(tǒng)計(jì)誤差（或方差）隨模擬次數(shù)以及其它一些量的變化；減少方差的技術(shù)—利用該技術(shù)可減少模擬過程中計(jì)算的次數(shù)；并行和矢量化—可以在先進(jìn)的并行計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的有效算法1.引言25完整版pptMonteCarlo模擬的應(yīng)用：自然現(xiàn)象的模擬：宇宙射線在地球大氣中的傳輸過程；高能物理實(shí)驗(yàn)中的核相互作用過程；實(shí)驗(yàn)探測(cè)器的模擬數(shù)值分析：利用MonteCarlo方法求積分1.引言26完整版ppt271.針對(duì)實(shí)際問題建立一個(gè)簡(jiǎn)單且便于實(shí)現(xiàn)的概率統(tǒng)計(jì)模型，使所求的量（或解）恰好是該模型某個(gè)指標(biāo)的概率分布或者數(shù)字特征。2.對(duì)模型中的隨機(jī)變量建立抽樣方法，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬測(cè)試，抽取足夠多的隨機(jī)數(shù)，對(duì)有關(guān)事件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)3.對(duì)模擬試驗(yàn)結(jié)果加以分析，給出所求解的估計(jì)及其精度(方差)的估計(jì)4.必要時(shí)，還應(yīng)改進(jìn)模型以降低估計(jì)方差和減少試驗(yàn)費(fèi)用，提高模擬計(jì)算的效率2.MC基本思路27完整版ppt

當(dāng)問題可以抽象為某個(gè)確定的數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個(gè)隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X，使得待求的解等于隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。然后進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，即重復(fù)多次地模擬隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X。最后對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問題的近似解。2.MC基本思想28完整版ppt二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。但其基本思想并非新穎，人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。兩個(gè)例子

例1.蒲豐氏問題

例2.射擊問題（打靶游戲）計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過程2.MC基本思想29完整版ppt例1.蒲豐氏問題為了求得圓周率π值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（l＜a）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式：求出π值其中Ｎ為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。2.MC基本思想30完整版ppt

一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.14159292.MC基本思想31完整版ppt例2.射擊問題（打靶游戲）

設(shè)r表示射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)，它反映運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。該運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)?yōu)?/p>

用概率語言來說，<g>是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即

2.MC基本思想32完整版ppt現(xiàn)假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值代表了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。換言之，為積分<g>的估計(jì)值，或近似值。在該例中，用Ｎ次試驗(yàn)所得成績(jī)的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望<g>的估計(jì)值（積分近似值）。

2.MC基本思想33完整版ppt2.MC基本思想——數(shù)值積分34完整版ppt與一般的數(shù)值積分方法比較，MonteCarlo方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：2.MC基本思想——數(shù)值積分35完整版ppt由以上例子可以看出，當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。當(dāng)隨機(jī)變量的取值僅為1或0時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望就是某個(gè)事件的概率?；蛘哒f，某種事件的概率也是隨機(jī)變量（僅取值為1或0）的數(shù)學(xué)期望。

2.MC基本思想36完整版ppt因此，可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望

通過某種試驗(yàn)，得到Ｎ個(gè)觀察值r1，r2，…，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€(gè)子樣r1，r2，…，rN，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值作為積分的估計(jì)值（近似值）。

2.MC基本思想37完整版ppt為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀(jì)四十年代以來，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過電子計(jì)算機(jī)來模擬隨機(jī)試驗(yàn)過程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。

2.MC基本思想38完整版ppt計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過程

計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)過程，就是將試驗(yàn)過程（如投針，射擊）化為數(shù)學(xué)問題，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。以上述兩個(gè)問題為例，分別加以說明。例1.蒲豐氏問題例2.射擊問題（打靶游戲）由上面兩個(gè)例題看出，蒙特卡羅方法常以一個(gè)“概率模型”為基礎(chǔ)，按照它所描述的過程，使用由已知分布抽樣的方法，得到部分試驗(yàn)結(jié)果的觀察值，求得問題的近似解。2.MC基本思想39完整版ppt例１．蒲豐氏問題設(shè)針投到地面上的位置可以用一組參數(shù)（x,θ）來描述，x為針中心的坐標(biāo)，θ為針與平行線的夾角，如圖所示。任意投針，就是意味著x與θ都是任意取的，但x的范圍限于［0，a］，夾角θ的范圍限于［0，π］。在此情況下，針與平行線相交的數(shù)學(xué)條件是針在平行線間的位置2.MC基本思想40完整版ppt如何產(chǎn)生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均勻分布的，其分布密度函數(shù)為：類似地，θ的分布密度函數(shù)為：因此，產(chǎn)生任意的（x,θ）的過程就變成了由f1(x)抽樣x及由f2(θ)抽樣θ的過程了。由此得到：其中ξ1，ξ2均為（0,1）上均勻分布的隨機(jī)變量。2.MC基本思想41完整版ppt每次投針試驗(yàn)，實(shí)際上變成在計(jì)算機(jī)上從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣得到（x,θ），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機(jī)變量s(x,θ)，為如果投針Ｎ次，則是針與平行線相交概率Ｐ的估計(jì)值。事實(shí)上，于是有2.MC基本思想42完整版ppt例２．射擊問題

設(shè)射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)分布為用計(jì)算機(jī)作隨機(jī)試驗(yàn)（射擊）的方法為，選取一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，按右邊所列方法判斷得到成績(jī)。這樣，就進(jìn)行了一次隨機(jī)試驗(yàn)（射擊），得到了一次成績(jī)ｇ(r)，作Ｎ次試驗(yàn)后，得到該運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的近似值環(huán)數(shù)78910概率0.10.10.30.52.MC基本思想43完整版ppt蒙特卡羅方法作為一種計(jì)算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)心的一個(gè)重要問題。收斂性誤差減小方差的各種技巧效率3.MC收斂性及誤差44完整版ppt收斂性

由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣X1，X2，…，XN的算術(shù)平均值：作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則即隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時(shí)，以概率1收斂于它的期望值E(X)。3.MC收斂性及誤差45完整版ppt誤差蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即f(X)是X的分布密度函數(shù)。則3.MC收斂性及誤差46完整版ppt當(dāng)N充分大時(shí)，有如下的近似式其中α稱為置信度，1－α稱為置信水平。這表明，不等式近似地以概率1－α成立，且誤差收斂速度的階為。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為上式中與置信度α是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出。3.MC收斂性及誤差47完整版ppt下面給出幾個(gè)常用的α與的數(shù)值：

關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計(jì)算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差σ是未知的，必須使用其估計(jì)值來代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出。α0.50.050.003

0.67451.9633.MC收斂性及誤差48完整版ppt減小方差的各種技巧

顯然，當(dāng)給定置信度α后，誤差ε由σ和N決定。要減小ε，或者是增大N，或者是減小方差σ2。在σ固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)次數(shù)N需增加兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，單純?cè)龃驨不是一個(gè)有效的辦法。另一方面，如能減小估計(jì)的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。后面課程將會(huì)介紹一些降低方差的技巧。3.MC收斂性及誤差49完整版ppt效率一般來說，降低方差的技巧，往往會(huì)使觀察一個(gè)子樣的時(shí)間增加。在固定時(shí)間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個(gè)子樣的費(fèi)用（使用計(jì)算機(jī)的時(shí)間）兩者來衡量。這就是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為，其中c

是觀察一個(gè)子樣的平均費(fèi)用。顯然越小，方法越有效。3.MC收斂性及誤差50完整版ppt優(yōu)點(diǎn)能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程。受幾何條件限制小。收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力。誤差容易確定。程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)收斂速度慢。誤差具有概率性。在粒子輸運(yùn)問題中，計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。4.MC特點(diǎn)51完整版ppt能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過程從這個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至可以得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問題，可以直接從實(shí)際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它有直觀、形象的特點(diǎn)。4.MC特點(diǎn)52完整版ppt受幾何條件限制小在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時(shí)，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)，得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。另外，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會(huì)有原則上的困難。4.MC特點(diǎn)53完整版ppt收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為，與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)間及估計(jì)量計(jì)算時(shí)間的變化，不影響誤差。也就是說，使用蒙特卡羅方法時(shí)，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應(yīng)的計(jì)算量外，不影響問題的誤差。這一特點(diǎn)，決定了蒙特卡羅方法對(duì)多維問題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計(jì)算定積分時(shí)，計(jì)算時(shí)間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量