信號(hào)與系統(tǒng)習(xí)題答案7

本文格式為Word版，下載可任意編輯——信號(hào)與系統(tǒng)習(xí)題答案(77.22信號(hào)y(t)由兩個(gè)均為帶限的信號(hào)x1(t)和x2(t)卷積而成，即

y(t)?x1(t)?x2(t)其中

X1(j?)?0,??1000?X2(j?)?0,??2000?

現(xiàn)對(duì)y(t)作沖激串采樣，以得到

yp(t)??y(nT)?(t?nT)

????請(qǐng)給出y(t)保證能從yp(t)中恢復(fù)出來的采樣周期T的范圍。

解：根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)，可得

Y(j?)?X1(j?)X2(j?)因此，有

當(dāng)??1000?時(shí)，Y(j?)?0

即y(t)的最高頻率為1000?，所以y(t)的奈奎施特率為2?1000??2000?，因此最大采樣周期T?2??10?3(s)，所以當(dāng)T?10?3(s)時(shí)能保證y(t)從2000?yp(t)中恢復(fù)出來。

7.27（P407）如圖7.27（a）一采樣系統(tǒng)，x(t)是實(shí)信號(hào)，且其頻譜函數(shù)為X(j?)，如圖7.27（b）。頻率?0選為?0?1??1??2?，低通濾波器H?j??的截至頻率為2?c?1??2??1?。21.畫出輸出x2?t?的頻譜X2?j??；

2.確定最大采樣周期T，以使得x?t?可以從xp?t?恢復(fù)；

圖7.27（a）

圖7.27(b)解：

1、x(t)經(jīng)復(fù)指數(shù)調(diào)制后的x1(t)?x(t)e?j?0t，其傅立葉變換為

X1(j?)?X(j(???0))如圖（a）所示。

X1(j?)1

X2(j?)1

?1??20?2??122??1??20?2??122?圖（a）圖（b）經(jīng)低通濾波器H(j?)的輸出x2(t)的頻譜X2(j?)如圖（b）所示。2、由圖（b）可見，X2(j?)的帶寬為?2??1，所以最大采樣周期為Tmax?2?

?2??18.3(P452)設(shè)x?t?是一實(shí)值信號(hào)，并有X?j???0，??2000?，現(xiàn)進(jìn)行幅度調(diào)制以產(chǎn)生信號(hào)g?t??x?t?sin?2000?t?，圖4-1給出一種解調(diào)方法，其中g(shù)?t?是輸入，y?t?是輸出，理想低通濾波器截止頻率為2000?，通帶增益為2，試確定y?t?。

g?t??w?t?理想低通濾波器y?t?cos?2000?t?圖4-1

解：w(t)?g?t?cos(2000?)?x?t?sin?2000?t?cos(2000?)?對(duì)w(t)進(jìn)行傅立葉變換W(j?)?11X?j(??4000?)??X?j(??4000?)?4j4j1x?t?sin?4000?t?2由于X?j???0,??2000?

很明顯，W(j?)?0,??2000?，所以w(t)通過截止頻率為2000?的理想低通濾波器后的輸出y(t)?0。

9.28（P525）考慮一LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H?s?的零極點(diǎn)圖如圖9.28所示。1.指出與該零極點(diǎn)圖有關(guān)的所有可能的收斂域ROC。

2.對(duì)于1中所標(biāo)定的每個(gè)ROC，給出有關(guān)的系統(tǒng)是否是穩(wěn)定和/或因果的。

Im

╳╳╳+1+2Re-2-1圖9.28

解：1.可能的收斂域ROC為：（1）Re{s}??2

（2）?2?Re{s}??1（3）?1?Re{s}?1（4）Re{s}?1

2.（1）Re{s}??2，不穩(wěn)定和反因果的。（2）?2?Re{s}??1，不穩(wěn)定和非因果的。

（3）?1?Re{s}?1，穩(wěn)定和非因果的。（4）Re{s}?1，不穩(wěn)定和因果的。

9.31（P525）有一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，其輸入x?t?和輸出y?t?由以下微分方程所關(guān)聯(lián)：

d2y(t)dy(t)??2y(t)?x(t)2dtdt設(shè)X?s?和Y?s?分別是x?t?和y?t?的拉普拉斯變換，H?s?是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h?t?的拉普拉斯變換。

1.求H?s?，畫出H?s?的零極點(diǎn)圖。2.對(duì)以下每一種狀況求h?t?：

（1）系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）系統(tǒng)是因果的。（3）系統(tǒng)既不穩(wěn)定又不是因果的。

解：

1、對(duì)給出的微分方程兩邊作拉普拉斯變換，得

s2Y?s??sY?s??2Y?s??X?s?所以得H?s??Y(s)11?2?X(s)s?s?2(s?2)(s?1)?1Im(s)2?e(s)其零—極點(diǎn)圖如圖（a）所示。圖（a）2、H?s??Y(s)111111?2???X(s)s?s?2(s?2)(s?1)3s?23s?1（1）當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定時(shí)，其收斂域?yàn)?1???s??2，所以有

11h?t???e2tu(?t)?e?tu(t)

33（2）當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定時(shí)，其收斂域?yàn)??s??2，所以有

11h?t??e2tu(t)?e?tu(t)

33（3）當(dāng)系統(tǒng)是非因果的和不穩(wěn)定的時(shí)，其收斂域?yàn)??s???1，所以有

11h?t???e2tu(?t)?e?tu(?t)

3310.28（P581）已知序列x?n????n??0.95??n?6?

a.求該序列的z變換X(z)。b.畫出X(z)零極點(diǎn)圖。

c.利用考慮極點(diǎn)向量和零點(diǎn)向量沿單位圓橫穿一周時(shí)的特性，近似畫出x?n?傅里葉變換的模特性。

解：a、x?n?的z變換為

z?0.95，|z|?06z6Im6階極點(diǎn)X(z)?1?0.95z?6?b、由X(z)可知，在z?0處有一6階極點(diǎn)，其零點(diǎn)為

?3Re1/6?jk?3zk?(0.95)e5，k?0,1,2???其零—極點(diǎn)圖如圖（a）所示

圖（a）c、傅氏變換的幅值近似圖如圖（b）所示。

X(ej?)

?

圖（b）

10.34（P583）有一個(gè)因果LTI系統(tǒng)，其差分方程為

y?n??y?n?1??y?n?2??x?n?1?

1.求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出H?z?的零極點(diǎn)圖，指出收斂域。2.求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。

3.判斷該系統(tǒng)是不是穩(wěn)定的？假使是不穩(wěn)定的，試求一個(gè)滿足該差分方程的穩(wěn)定（非因果）單位脈沖響應(yīng)。解：

1、1、對(duì)所給的差分方程兩邊進(jìn)行z變換，得

Y(z)?z?1Y(z)?z?2Y?z?1X(z)

所以得

Y(z)z?1z1?5H(z)???1?2?，|z|?

X(z)1?z?z(z??1)(z??2)21?51?5??0.62???1.62，?2?其中，122系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零點(diǎn)為z?0，極點(diǎn)為z??1和z??2系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖如圖（a）所示

圖（a）

?0.62Im1.621Re2、由于

H(z)?z?(z??1)(z??2)1/51/5?1?5?11?5?11?()z1?()z22所以

1?1?5?1?1?5?u[n]?u[n]????h?n??????5?2?5?2?nn1?53、系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，由于系統(tǒng)的收斂域?yàn)閨z|?，不包括單位圓。若要使系

2統(tǒng)穩(wěn)定，則收斂域應(yīng)包括單位圓，即收斂域?yàn)榇藭r(shí)有

5?11?5?|z|?22n1?1?5?1?1?5?h?n???u[?n?1]?u[n]????????5?2?5?2?10.59（P589）一個(gè)數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)如圖10.59所示

y[n]x[n]

n??z?1?k3?k4圖10.59a.求這個(gè)因果濾波器的H?z?，畫出零極點(diǎn)圖，并指出收斂域。b.當(dāng)k為何值時(shí)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

?2?c.假使k?1且對(duì)所有的n，x[n]???，確定y[n]。

?3?

解：a.由圖（1）得

x[n]n?z?1?k3w1[n]k4?w2[n]y[n]?

圖（1）

Y(z)?W1(z)?W2(z)

W1(z)?X(z)?所以?1?而

W2(z)??k?1zW1(z)3??k?1?z?W1(z)?X(z)3?k?1zW1(z)4k?1zX(z)X(z)?4得Y(z)?W1(z)?W2(z)?k?1k?11?z1?z33k?1zY(z)k4??,z?H(z)?kX(z)31?z?131?其零極點(diǎn)圖和收斂域示意圖如圖（2）所示。

1

k?4

（a）（b）