新疆2020屆高三數(shù)學（理科）二模試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精新疆2020屆高三高考數(shù)學（理科）二模試題含解析2020年新疆高考數(shù)學二模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1。已知全集,，，則集合（)A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】先求，再由即可?！驹斀狻坑?，,得或，所以.故選：D?！军c睛】本題主要考查了集合的補集及并集的運算，屬于基礎題。2.設復數(shù)滿足,則的虛部為(）A. B.0 C. D。1【答案】C【解析】【分析】利用已知求出復數(shù),可得的虛部．【詳解】則的虛部為故選：C【點睛】本題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的定義，屬于基礎題．3。在等差數(shù)列中,,其前n項和為，若，則(）A.-4040 B.—2020 C。2020 D。4040【答案】C【解析】【分析】根據等差數(shù)列的前項和公式，可得為等差數(shù)列，由已知求出其公差，進而得到通項公式，即可得出結論?！驹斀狻吭诘炔顢?shù)列中，，其前n項和為，則是以為首項的等差數(shù)列，設其公差為，，.故選:C?！军c睛】本題考查等差數(shù)列前和基本量的運算，應用等差數(shù)列前項和的性質是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于中檔題。4.設M是所在平面上的一點，，D是的中點,,則實數(shù)t的值為(）A. B. C。2 D。1【答案】B【解析】【分析】由D是的中點,可得，由于，從而得,所以,可求得t的值.【詳解】解：因為D是的中點，所以，又因為，所以，所以，因為,所以,故選：B【點睛】此題考查了向量的平行四邊形法則、向量形式的中點坐標公式,考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.5。將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通,每個路口至少一人,其中一個路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A18種 B.24種 C.36種 D。72種【答案】A【解析】【分析】由于甲乙在同一路口執(zhí)勤且有一路口需3人,所以甲乙在三人組，第一步給甲乙組選一人,剩余兩人為兩組,第二步把三組人安排到3個路口即可.【詳解】5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人，其中一個路口3人，所以不同路口的執(zhí)勤人數(shù)為，又甲、乙在同一路口，先選一個人和甲乙組成一組有種選法，剩余兩人為兩組，然后安排到3個路口共有種不同的安排方法，故選：A【點睛】本題主要考查了分步乘法計數(shù)原理，排列組合的應用，分組問題,屬于中檔題.6.如圖，在棱長為1的正方體中，點P在正方體表面上移動，且滿足，則點和動點P的軌跡形成的圖形的周長是(）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】根據己知條件，判斷P點在與垂直的平面上，同時又在正方體表面，得出P點軌跡,然后求解軌跡長度.【詳解】因為動點P滿足，所以動點P的軌跡為過點與直線垂直的截面與正方體的交線，就是圖形中（除去點）,如圖，所以點和點的軌跡形成的圖形的周長即為的周長，因為正方體的棱長為1，所以的周長為，故選：A【點睛】本題主要考查直線與平面垂直的位置關系的應用，平面的基本性質，考查空間想象能力以及計算能力，屬于中檔題.7。下列命題中不正確命題的個數(shù)是（）①已知a，b是實數(shù),則“"是“”的充分而不必要條件;②,使；③若,則；④若角的終邊在第一象限，則的取值集合為.A。1個 B。2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】由,可判斷出①錯誤，由當時，可判斷出②錯誤，由可求出,可得到③正確，由可得,然后可判斷出④正確.【詳解】因為,所以“”是“”的必要不充分條件,故①錯誤因為當時，,即，不存在使，故②錯誤因為，所以，故③正確因為角的終邊在第一象限，即，所以當為奇數(shù)時,在第三象限，當偶數(shù)時，在第一象限,所以的取值集合為，故④正確綜上:不正確命題個數(shù)是2故選：B【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質，二項式定理，三角函數(shù)的概念及其在每個象限符號，屬于中檔題。8.《九章算術》有如下問題：“今有金棰，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤,問次一尺各重幾何？意思是：“現(xiàn)在有一根金棰，長五尺,在粗的一端截下一尺，重4斤；在細的一端截下一尺，重2斤,問各尺依次重多少？”假設金棰由粗到細各尺重量依次成等比數(shù)列，則從粗端開始的第三尺的重量是（）A.斤 B.斤 C。斤 D.3斤【答案】A【解析】【分析】此問題是一個等比數(shù)列，設首項為，則，求，根據等比數(shù)列的下標和性質計算可得．【詳解】解：依題意可得，此問題是一個等比數(shù)列，且首項為，則因為所以，解得或(舍去）故選：A【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9。甲、乙、丙三人中，一人是董事長,一人是總經理，一人是秘書，已知:丙的年齡比秘書的大,甲的年齡和總經理不同;總經理的年齡比乙小，根據以上情況，下列判斷正確的是（)A.甲是董事長,乙是秘書,丙是總經理 B。甲是秘書，乙是總經理，丙是董事長C.甲是秘書，乙是董事長,丙是總經理 D.甲是總經理，乙是秘書,丙是董事長【答案】C【解析】【分析】由“甲的年齡和總經理不同”和“總經理的年齡比乙小”可以推得丙是總經理，所以丙的年齡比乙小，再由“丙的年齡比秘書的大”,可知乙不是秘書，即可得出結論?！驹斀狻扛鶕}意，甲和乙都不是總經理,所以丙是總經理，因為丙的年齡比秘書的大，且比乙的年齡小,所以乙不是秘書，乙是董事長,所以甲是秘書.故選:C.【點睛】本題考查推理和證明，從矛盾中逐漸找到結論是解答此類問題的常用方法，屬于基礎題。10。已知函數(shù),若且，則函數(shù)取得最大值時x的可能值為（)A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】由得直線是函數(shù)的對稱軸，可得，，對分奇偶討論可知，根據余弦函數(shù)的最值可得結果?！驹斀狻恳驗?，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，，所以，，當為奇數(shù)時，，此時,,不滿足,當為偶數(shù)時，,此時，,滿足，故，當，即,時，取得最大值1,當時，。故選：B?！军c睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸、最值，考查了分類討論思想,屬于基礎題.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，是右支上的一點,與軸交于點，的內切圓在邊上的切點為，若，則的離心率是()A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義和內切圓的切線性質，圓外一點向圓引切線，則切線長相等，結合離心率公式即可得到所求的值【詳解】設的內切圓在邊上的切點為，在上的切點為則，由雙曲線的對稱性可得：由雙曲線的定義可得解得又，即有則離心率故選【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，結合了三角形內切球，由切線長定理和雙曲線定義求出的值是本題的關鍵，綜合性較強12。已知函數(shù),，函數(shù)，若對于任意，總存在，使得成立，則a的值為()A?！? B.1 C.—2 D.2【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)研究的單調性,即可求出的值域，再根據二次函數(shù)的性質可得的值域，最后根據兩集合的包含關系得到不等式組，解得即可;【詳解】解：因為，，所以，可得時，即在區(qū)間上單調遞減；時，即在區(qū)間上單調遞增；又，，，故因為，所以在上單調遞減；,所以又因為對于任意，總存在，使得成立,所以所以解得所以故選:D【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，存在性問題的解法,屬于中檔題.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.隨機變量，且,____________.【答案】0。2【解析】【分析】先求出，再根據得解?！驹斀狻坑深}得，所以.故答案為：0.2【點睛】本題主要考查正態(tài)曲線的性質及其應用,意在考查學生對該知識的理解掌握水平.14。在中，,，D為邊上的點，且，，則________。【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出cosB，可得sinB,在△ABC中利用正弦定理可得AC．【詳解】如圖，∵，，，在△ABD中，余弦定理，∵∴．由正弦定理：,可得：，故答案為:．【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，解題時要注意合理選擇正余弦定理，屬于中檔題．15。已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，,則三棱錐的外接球的球心到平面的距離是_______________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕}中給出的條件可判斷出點S在底面中的射影為三角形的外心，即邊AB的中點．然后再結合所給三棱錐的特點得到球心在棱錐的高上，然后即可建立方程求出,然后可得球心到平面的距離?！驹斀狻俊呷忮F中,∴頂點在底面上的射影為的外心，又是以為斜邊的等腰直角三角形,∴點為的中點．∴平面．如上圖，設點O為三棱錐外接球的球心,則的長即為外接球的球心到平面的距離．設球半徑為，則．由題意得，，在中，有,即，解得，∴，即三棱錐的外接球的球心到平面的距離為．故答案為：【點睛】本題考查的是幾何體外接球的問題，解答本題的關鍵時是確定三棱錐外接球的球心的位置，屬于基礎題。16。已知橢圓的一條弦為,點P的坐標為,且，則弦的中點到直線的距離為_________________?！敬鸢浮?【解析】【分析】設坐標，根據在橢圓上以及條件解出縱坐標,再根據中點坐標公式得弦的中點縱坐標,最后根據點到直線距離公式得結果?！驹斀狻吭O,因為，所以因為在橢圓上，所以所以，相減得因此弦的中點縱坐標為，其到直線的距離為故答案為：1【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系以及中點坐標公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題。三、解答題：解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。17。設的內角所對的邊長分別為且，。（Ⅰ）求和邊長a；（Ⅱ）當取最小值時，求的面積?！敬鸢浮?Ⅰ），。（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根據條件利用正弦定理化邊為角得，再根據平方關系解得，,回代條件得邊長a，根據誘導公式得；（Ⅱ)根據余弦定理化簡為一元二次函數(shù)，再根據二次函數(shù)性質求最小值，并確定等號取法，最后根據三角形面積公式得結果?！驹斀狻?Ⅰ)由正弦定理及與得：,（R是的外接圓半徑）兩式相除,得，設,∵B是的內角，∴∵，∴∴，,將代入,得，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知∴當且僅當時，取得最小值?！唷嘧钚r的面積為【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及二次函數(shù)性質，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.18。如圖，在四棱錐中,底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，，，,．（1）求證：平面PCA⊥平面PCD；（2)設E為側棱PC上的一點，若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ)。【解析】【分析】(Ⅰ）推導出CD⊥AC,PA⊥CD，從而CD⊥平面PCA，由此能證明平面PCA⊥平面PCD．（Ⅱ)以A為坐標原點，AB,AC，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．【詳解】解：(Ⅰ)在平行四邊形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得,∴,∴∠ACD=90°，即CD⊥AC,又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又，∴CD⊥平面PCA。又CD平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.（Ⅱ)如圖，以A為坐標原點,AB，AC，AP所在直線分別為x軸,y軸，z軸,建立空間直角坐標系。則,，,,.設，，則∴x=0,，,即點E的坐標為∴又平面ABCD的一個法向量為∴sin45°解得∴點E的坐標為，∴,，設平面EAB的法向量為由得令z=1，得平面EAB的一個法向量為∴.又二面角E-AB-D的平面角為銳角,所以，二面角E-AB-D的余弦值為【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想，是中檔題．19。目前，我國老年人口比例不斷上升，造成日趨嚴峻的人口老齡化問題。2019年10月12日，北京市老齡辦、市老齡協(xié)會聯(lián)合北京師范大學中國公益研究院發(fā)布《北京市老齡事業(yè)發(fā)展報告（2018)》，相關數(shù)據有如下圖表.規(guī)定年齡在15歲至59歲為“勞動年齡"，具備勞動力，60歲及以上年齡為“老年人”，據統(tǒng)計，2018年底北京市每2.4名勞動力撫養(yǎng)1名老年人。（Ⅰ）請根據上述圖表計算北京市2018年戶籍總人口數(shù)和北京市2018年的勞動力數(shù)；（保留兩位小數(shù)）(Ⅱ）從2014年起，北京市老齡人口與年份呈線性關系，比照2018年戶籍老年人人口年齡構成，預計到2020年年底,北京市90以上老人達到多少人？（精確到1人）（附：對于一組數(shù)據其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，。，）【答案】（Ⅰ)1374。41萬人837。84萬人(Ⅱ)59878人?！窘馕觥俊痉治觥浚á?由圖表數(shù)據及題意計算可得；（Ⅱ)設2014年是第1年，第x年老年人口為y萬人，可得如下表格;依題意設，根據所給數(shù)據求出，,求出、,即可得得到回歸直線方程，再將代入計算可得；【詳解】解：(Ⅰ）2018年北京市老年人349。1萬人，占戶籍總人口的25。4％，所以北京市2018年戶籍總人口萬人;2018年北京市“老年人"有349.1萬人，每2。4名勞動力撫養(yǎng)1名老年人,故北京市2018年的勞動力數(shù)為萬（Ⅱ）設2014年是第1年，第x年老年人口為y萬人，則12345296。7313。3329。2333。3349。1由于從2014年起，北京市老齡人口與年份呈線性關系，設則，.得∴當時，∴北京市2020年年底老年人人數(shù)約為374.24萬人，90以上老人占1.6%,萬人≈59878人答：預計到2020年年底，北京市90以上老人約為59878人?！军c睛】本題考查統(tǒng)計圖表的應用，最小二乘法求回歸直線方程以及利用回歸方程預測數(shù)據，考查計算能力,屬于基礎題.20.在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于M，拋物線C的焦點為F，且。（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設點Q是拋物線C上的動點，點D，E在y軸上,圓內切于三角形，求三角形的面積的最小值?！敬鸢浮浚á瘢á颍?【解析】【分析】（Ⅰ）根據拋物線定義得到點的坐標，將其代入拋物線方程即可得到結果；（Ⅱ）設,，且，利用直線與圓相切可得，同理可得,所以，是方程的兩根.利用根與系數(shù)的關系求出,再根據三角形面積公式與基本不等式可得答案?！驹斀狻浚á瘢┮驗橹本€與拋物線交于M，且。根據拋物線的定義可知,,所以,所以，所以，因為，所以解得，∴拋物線方程為。(Ⅱ）設，，且，∴直線的方程為，即,由直線與圓相切，得,注意到,化簡得,同理得所以,是方程的兩根，所以,，所以，∴（當且僅當時等號成立）因此三角形的面積的最小值為8.【點睛】本題考查了拋物線的定義、直線與圓相切的位置關系、根與系數(shù)關系、三角形的面積公式、基本不等式、運算求解能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù),，。（Ⅰ）求函數(shù)的導函數(shù)的零點個數(shù)；（Ⅱ)若時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）零點的個數(shù)是0。（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出，令,得，設，轉化為求的零點個數(shù)，通過求導求出單調區(qū)間,極值最值即可得出結論;(Ⅱ）時,,等價轉化為恒成立，設，等價于，利用二次求導得出在上遞增,所以只需求出，即可求出的取值范圍?！驹斀狻浚á?∵∴，其定義域為令，得，即設,則，∴在上，在上∴在單調遞減，在單調遞增，∴，∴函數(shù)沒有零點,∴的導函數(shù)零點的個數(shù)是0。(Ⅱ)，令，則，令,，，所以在上遞減，在上遞增，∴∴在上遞增?！叩葍r于,即，∴。設，，則，得，在時遞增，在時遞減∴，∴∴實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)綜合應用，涉及到函數(shù)的單調性、極值最值、零點、不等式恒成立等基礎知識，構造函數(shù)多次求導是解題的關鍵，考查直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學計算能力，屬于較難題。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程選講]22.平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（s為參數(shù))，以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為,,直線與曲線C交于A，B兩點。（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(Ⅱ）已知點P的極坐標為，求的值.【答案】（Ⅰ)的普通方程為：;曲線C的直角坐標