兩角和與差的正弦余弦正切公式教學(xué)設(shè)計

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式教學(xué)設(shè)計課程名稱兩角和與差的正弦、余弦、正切公式課時2課時學(xué)段學(xué)科高中數(shù)學(xué)教材版本人教課標(biāo)A版作者王曉冬學(xué)校哈11中一、教學(xué)目標(biāo)1.在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力.2.通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學(xué)生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力.3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).二、教學(xué)重難點教學(xué)重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).教學(xué)難點：靈活運用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡、證明.三、學(xué)情分析1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即α+β=α-(-β)的關(guān)系，從而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義.3.本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶.本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對問題時，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等.另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的.四、教學(xué)方法1.本節(jié)是典型的習(xí)題課，目的就是加深鞏固兩角和與差公式的應(yīng)用，深刻理解公式的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會綜合利用公式解題的方法和技巧.因此,本節(jié)課安排的四個例子都是圍繞這個目標(biāo)設(shè)計的，它們的解題方法也充分體現(xiàn)了公式的靈活運用.另外，通過補充的例題，教給學(xué)生正用、逆用、變形用公式的方法，培養(yǎng)了他們的逆向思維和靈活運用公式的能力.特別是給出了形如“asinx+bcosx=sin(x+φ)”公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，對于三角函數(shù)的研究，給我們提供了一種重要的方法.2.對于習(xí)題課來說，我們應(yīng)該本著以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則，讓學(xué)生先認(rèn)真審題、獨立思考、板演解法，然后教師再進(jìn)行點評，理清思路，糾正錯誤，指導(dǎo)解法，爭取一題多解，拓展思路,通過變式訓(xùn)練再進(jìn)行方法鞏固.五、教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的六個公式，并回憶公式的來龍去脈，然后讓一個學(xué)生把公式默寫在黑板上或打出幻燈.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧比較各公式的結(jié)構(gòu)特征，說出它們的區(qū)別和聯(lián)系，以及公式的正用、逆用及變形用，以利于對公式的深刻理解.這節(jié)課我們將進(jìn)一步探究兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活應(yīng)用.推進(jìn)新課新知探究提出問題①請同學(xué)們回憶這一段時間我們一起所學(xué)的和、差角公式.②請同學(xué)們回顧兩角和與差公式的區(qū)別與聯(lián)系，可從推導(dǎo)體系中思考.活動：待學(xué)生稍做回顧后，教師打出幻燈，出示和與差角公式，讓學(xué)生進(jìn)一步在直觀上發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的區(qū)別與聯(lián)系，理解公式的推導(dǎo)充分發(fā)揮了向量的工具作用，更要體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，當(dāng)α、β中有一個角為90°時，公式就變成誘導(dǎo)公式，所以前面所學(xué)的誘導(dǎo)公式其實是兩角和與差公式的特例.在應(yīng)用公式時，還要注意角的相對性，如α=(α+β)-β,等.讓學(xué)生在整個的數(shù)學(xué)體系中學(xué)會數(shù)學(xué)知識，學(xué)會數(shù)學(xué)方法，更重要的是學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題的方法，以及善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的良好習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕;tan（α±β）＝〔T（α±β）〕.討論結(jié)果：略.應(yīng)用示例例1利用和差角公式計算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）活動：本例實際上是公式的逆用，主要用來熟悉公式，可由學(xué)生自己完成.對部分學(xué)生，教師點撥學(xué)生細(xì)心觀察題中式子的形式有何特點，再對比公式右邊，馬上發(fā)現(xiàn)（1）同公式S(α-β)的右邊，（2）同公式C(α+β)右邊形式一致，學(xué)生自然想到公式的逆用，從而化成特殊角的三角函數(shù)，并求得結(jié)果.再看（3）式與T(α+β)右邊形式相近，但需要進(jìn)行一定的變形.又因為tan45°=1，原式化為，再逆用公式T(α+β)即可解得.解：（1）由公式S(α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=.（2）由公式C(α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.（3）由公式T(α+β)得原式==tan(45°+15°)=tan60°=.點評：本例體現(xiàn)了對公式的全面理解，要求學(xué)生能夠從正、反兩個角度使用公式.與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識，對思維的靈活性要求也高，而且對公式要有更全面深刻的理解.變式訓(xùn)練1.化簡求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.（3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.計算解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.例2已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定義域為R,設(shè)θ∈［0,2π］,若f(x)為偶函數(shù),求θ的值.活動:本例是一道各地常用的、基礎(chǔ)性較強的綜合性統(tǒng)考題,其難度較小,只需利用偶函數(shù)的定義,加上本節(jié)學(xué)到的兩角和與差的三角公式展開即可,但不容易得到滿分.教師可先讓學(xué)生自己探究,獨立完成,然后教師進(jìn)行點評.解:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0對任意x都成立.∴sin(θ+)=0,即sin(θ+)=0.∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k∈Z).又θ∈［0,2π),∴θ=或θ=.點評:本例學(xué)生可能會根據(jù)偶函數(shù)的定義利用特殊值來求解.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意,如果將本例變?yōu)檫x擇或填空,可利用特殊值快速解題,作為解答題利用特殊值是不嚴(yán)密的,以此訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力.變式訓(xùn)練已知：<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2β的值.解：∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<.又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=.∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+()×=.例3求證：cosα+sinα=2sin(+α).活動：本題雖小但其意義很大,從形式上就可看出來,左邊是兩個函數(shù),而右邊是一個函數(shù),教師引導(dǎo)學(xué)生給予足夠的重視.對于此題的證明，學(xué)生首先想到的證法就是把等式右邊利用公式S(α+β)展開，化簡整理即可得到左邊此為證法，這是很自然的，教師要給予鼓勵.同時教師可以有目的的引導(dǎo)學(xué)生把等式左邊轉(zhuǎn)化為公式S(α+β)的右邊的形式，然后逆用公式化簡即可求得等式右邊的式子，這種證明方法不僅僅是方法的變化，更重要的是把兩個三角函數(shù)化為一個三角函數(shù).證明：方法一：右邊=2(sincosα+cossinα)=2(cosα+sinα)=cosα+sinα=左邊.方法二：左邊=2(cosα+sinα)=2(sincosα+cossinα)=2sin(+α)=右邊.點評：本題給出了兩種證法，方法一是正用公式的典例，而方法二則是逆用公式證明的，此法也給了我們一種重要的轉(zhuǎn)化方法，要求學(xué)生熟練掌握其精神實質(zhì).本例的方法二將左邊的系數(shù)1與分別變?yōu)榱伺c，即輔助角的正、余弦.關(guān)于形如asinx+bcosx（a，b不同時為零）的式子,引入輔助角變形為Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“從右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情況下，如果a=osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin2φ+cos2φ=1,可得A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,sinφ=,從而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin(x+φ)，通過引入輔助角φ，可以將asinx+bcosx這種形式的三角函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù)的形式.化為這種形式可解決asinx+bcosx的許多問題，比如值域、最值、周期、單調(diào)區(qū)間等.教師應(yīng)提醒學(xué)生注意，這種引入輔助角的變換思想很重要，即把兩個三角函數(shù)化為一個三角函數(shù)，實質(zhì)上是消元思想，這樣就可以根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究它的性質(zhì).因此在歷年高考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，是三角部分中高考的熱點,再結(jié)合續(xù)內(nèi)容的倍角公式,在解答高考物理試題時也常常被使用，應(yīng)讓學(xué)生領(lǐng)悟其實質(zhì)并熟練的掌握它.變式訓(xùn)練化簡下列各式：（1）sinx+cosx;（2）cosx-6sinx.解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)=2sin(x+).（2）原式=2(cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)=2sin(-x).例4（1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;（2）已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求活動：對于（1）,教師可與學(xué)生一起觀察條件，分析題意可知，α+β是特殊角，可以利用兩角和的正切公式得tanα,tanβ的關(guān)系式，從而發(fā)現(xiàn)所求式子的解題思路.在（2）中，我們欲求若利用已知條件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困難，但細(xì)心觀察公式S(α+β)、S(α-β)發(fā)現(xiàn)，它們都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而化切為弦正是，由此找到解題思路.教學(xué)中盡可能的讓學(xué)生自己探究解決，教師不要及早地給以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.（2）∵sin(α+β)=,sin(α-β)=,∴sinαcosβ+cosαsinβ=,①sinαcosβ-cosαcosβ=.②①+②得sinαcosβ=,①-②得cosαsinβ=,∴點評：本題都是公式的變形應(yīng)用，像(1)中當(dāng)出現(xiàn)α+β為特殊角時，就可以逆用兩角和的正切公式變形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),對于我們解題很有用處，而(2)中化切為弦的求法更是巧妙，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握其解法.變式訓(xùn)練1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.計算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)5—7.解答：5.解:（1）原式=sin90°=1.（2）原式=cos60°=.（3）原式=tan45°=1.（4）原式=-sin60°=.（5）原式=-cos60°=.（6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70°=-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90°=-1.6.（1）