矩陣的秩線性方程組可解的判別法

§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法

上節(jié)介紹了用消元法解線性方程組:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,(1)....................................

am1x1+am2x2+...+amnxn=bm,此法在實(shí)際解方程組時(shí)是比較方便的,下面再解決幾個(gè)問題:整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法(甲)上節(jié)利用初等變換把⑴的系數(shù)矩陣:整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法

可看到:矩陣⑶中出現(xiàn)的整數(shù)r有極重要的地位.問題是:r與系數(shù)矩陣⑵有何關(guān)系?有⑵唯一確定還是要依賴初等變換呢?

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但是,易見:用不同的初等變換,可將⑵形如⑶但不同的矩陣.(乙)方程組⑴何時(shí)有解,何時(shí)無解?原因不清.(丙)用方程組系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)來表示解的公式還沒有,而解的公式在理論上有重要意義.下面討論上述幾個(gè)問題,行列式理論與“矩陣與秩”的概念將起基本作用.先討論

一個(gè)矩陣的元素構(gòu)成的一系列行列式.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法

定義1在一個(gè)s行t列矩陣中任取k行k列(ks,kt).位于這些行列交點(diǎn)處的元素構(gòu)成的k階行列式稱為該矩陣的一個(gè)k階子式.考察:矩陣⑶中出現(xiàn)的整數(shù)r與⑶的子式之間有何關(guān)系?先假定r>0,則⑶含有一個(gè)r階子式:

但它不含階數(shù)高于r的非零子式.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法∵在r=m或r=n時(shí),⑶不含階數(shù)高于r的子式;在r<m,r<n時(shí),⑶的任一階數(shù)高于r的子式至少含有一行元素全為零,則該子式必為零.∴⑶中非零子式的最大階數(shù)=r.

定義2一個(gè)矩陣A的非零子式的最大階數(shù)稱為該矩陣的秩,并記作:秩A(Rank

A).若一個(gè)矩陣沒有非零子式,則其秩為零(顯然是元素全為零時(shí)).由定義,一個(gè)矩陣的秩該矩陣的行(列)數(shù).由此可知:矩陣⑶中的r矩陣⑶的秩.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法(下面證明)矩陣⑶中的r也是⑴的系數(shù)矩陣⑵的秩,即r有系數(shù)矩陣唯一確定.(即證)定理4.2.1初等變換不改變矩陣的秩.證:首先有一事實(shí):若對一矩陣A施行某種行或列初等變換得到矩陣B,則對B施行同一種初等變換又可得到A.①交換A的第i,j行得到B,再交換B的第i,j行當(dāng)然得到A.②

A的第i行乘以a0得到B,則將B的第i行乘以1/a也得到A.③

A的第j行乘以k加到第i行得到B,則將B的第j行乘以k加到第i行又得到A.類似有列的情形.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法

(分三種行初等變換來證明定理)⒈矩陣A的第j行乘以數(shù)k加到第i行得到矩陣B:且

RankA=r.證明RankB=r.先證:RankBr.

整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法若矩陣B沒有階數(shù)大于r的子式,當(dāng)然沒有階數(shù)大于r的非零子式,所以RankBr.設(shè)矩陣B有s階子式,且s>r,分3種情形:(i)D不含第i行的元素,則D也是A的一個(gè)s階子式,而s>RankA,∴D=0.(ii)D含第i行的元素,也含第j行的元素,由命題3.3.10得:整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法后一個(gè)行列式是矩陣A的一個(gè)s階子式.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法

(iii)D含第i行的元素,但不含第j行的元素,則:其中,D1是A的一個(gè)s階子式,D2與A的一個(gè)s階子式最多差一符號,所以D1=D2=0,從而,D=0.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法∴在矩陣B有階數(shù)大于r的子式時(shí),B的任何此類子式均為零,而RankBr,即任何情形都有:

RankB

RankA.因?yàn)橐部蓪仃嘊施行第3種行初等變換而得到A,所以也有:RankA

RankB.從而有:RankB=RankA.即:第3種行初等變換不改變矩陣的秩.對其他初等變換,類似可證.這已解決問題(甲),實(shí)際上,Th4.2.1告訴我們:只需利用初等變換化A為§4.1⑸型矩陣后,數(shù)數(shù)含有非零元素的行有幾個(gè)便能求得A的秩,并不需要算其子式.(再考慮(乙))整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法

定理4.2.2(線性方程組可解的判別法)線性方程組⑴有解(充分必要條件)它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等.證:以表示⑴的增廣矩陣,即:前n列所作矩陣即⑴的系數(shù)矩陣A.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法用初等變換化為:若以B表示的前n列所作矩陣,由定理4.2.1,有:⑷RankA=RankB=r,Rank=Rank.整理ppt§4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法再設(shè)線性方程組⑴有解,則或r=m或r<m,且dr+1=...=dm=0,∴這兩種情形都有:Rank=r.由⑷可得:RankA=Rank.反之,設(shè)RankA=Rank,則由⑷得:Rank=r.∴r=m或r<m且dr+1=...=dm=0,從而方程組⑴有解.綜上所述,定理得證.整理ppt返回第四章目錄

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