高中物理競(jìng)賽萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)

高中物理競(jìng)賽萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二兩體問題

僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的孤立系統(tǒng)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2的矢徑為.對(duì)m2，由牛頓第二定律有將（1）代入（2）：則有

（3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參照系中m2的運(yùn)動(dòng)完全相同于質(zhì)量為μ的質(zhì)點(diǎn)在中心力的作用下按牛頓第二定律所形成的運(yùn)動(dòng)，而無須考慮慣性力的作用.取二者的質(zhì)心C為參照系（慣性系）.設(shè)C到m1的矢徑為.有第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二“衛(wèi)星怪象”問題

衛(wèi)星（質(zhì)量為m）與地球（質(zhì)量為M）系統(tǒng)的總能量為即于是可知對(duì)兩端的變化量有即第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，故可將天體處理為質(zhì)點(diǎn).（2）很多時(shí)候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個(gè)是主要的：a、可將該兩天體作為二體問題處理.b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對(duì)很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動(dòng)，這時(shí)問題很簡(jiǎn)單（我們通常討論的就是這種情況）.二、引力問題的基本動(dòng)力學(xué)方程如圖，行星m在太陽M的有心引力作用下運(yùn)動(dòng).行星的橫向加速度等于零.有徑向動(dòng)力學(xué)方程解題知識(shí)與方法研究在太陽慣性參照系中，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和引力定律第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二此式變化后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律是角動(dòng)量守恒定律的特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不僅適用于行星的橢圓運(yùn)動(dòng)也將適用于有心引力作用下的任何行星軌道運(yùn)動(dòng).

又因萬有引力為保守力，故“太陽+行星”系統(tǒng)的機(jī)械能守恒當(dāng)然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)！

因?yàn)橐橛行牧?，故行星?duì)太陽參考軸角動(dòng)量守恒第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量

根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下的繞日運(yùn)動(dòng)的天體的軌道方程：軌道方程為一圓錐曲線方程：（1）

（即開普勒第一定律）；總能量為：（2）總能量為：第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二（3）總能量為：第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例1（天體軌道的判定）如圖，太陽系中星體A做半徑為R1的圓運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線運(yùn)動(dòng).B在近日點(diǎn)處與太陽的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向也相同.設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽連線上.A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體.其間的質(zhì)量損失可忽略.試證明新星體繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓.解計(jì)算新星體C的機(jī)械能.在徑向：可認(rèn)為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動(dòng).所以C到太陽的距離為在切向：A、B合并過程中動(dòng)量也守恒，②則有研究②式中的vA、vB：因A作圓運(yùn)動(dòng)，例題解答①第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二所以利用①③，C星體的機(jī)械能為因此，新星體C的軌道為橢圓.EA<0，EB=0，EA+EB=？EC與(EA+EB)誰大誰??？C的軌道是什么？

將vA、vB代入②得③B作拋物線運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為零.因而有①思考

本題能不能直接判斷？第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例2（利用引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）行星繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長軸為A，半短軸為B，太陽質(zhì)量記為MS.試用物理方法求橢圓各定點(diǎn)處的曲率半徑.解行星運(yùn)動(dòng)情況如圖.由頂點(diǎn)1、2、3處的機(jī)械能守恒和面積速度相等可得由圖可知代入②式得③由①③解得據(jù)①②第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

求頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ1：將前面得到的v1代入，

求頂點(diǎn)3處的曲率半徑ρ3：將前面得到的v3代入，

題后小結(jié)與思考橢圓上其他點(diǎn)曲率半徑能不能用此方法得到？求拋物線任意點(diǎn)的曲率半徑、正弦曲線頂點(diǎn)的曲率半徑.即得即得第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例3（衛(wèi)星怪象問題）

質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）的飛行過程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能嚴(yán)格按圓周軌道運(yùn)動(dòng)，而是緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球.因f很小，軌道半徑變化十分緩慢，每一周均可近似處理為半徑為r的圓周軌道，但r將逐周縮短.試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量及衛(wèi)星動(dòng)能EK的改變量.解衛(wèi)星的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能為在運(yùn)行中萬有引力作為向心力將此代入EK、E的表達(dá)式，可得到衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為動(dòng)能的改變量為

由功能關(guān)系，當(dāng)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，有即第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例4（星體運(yùn)動(dòng)的阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的星球以速度V通過質(zhì)量密度為的非常稀薄的氣體,由于它的引力場(chǎng)，此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?，并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子.設(shè)相對(duì)于速度V，分子的熱運(yùn)動(dòng)速度可忽略.分子間的相互作用不計(jì).求作用在星體上的阻力.解為方便研究問題取星球?yàn)閰⒄障?氣體分子的運(yùn)動(dòng)及與星球的碰撞如圖所示.

在橫截面為的圓柱體內(nèi)的分子才能與星球相碰.

研究圓截面邊緣上的一個(gè)分子：設(shè)被俘獲前的瞬間（A點(diǎn)處）的速度為v.由角動(dòng)量守恒得由機(jī)械能守恒得第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所受阻力），使氣體的動(dòng)量改變?yōu)橛蓜?dòng)量定理知星球在Δt時(shí)間內(nèi)得到第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，其高度h=100km.為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在圖中P點(diǎn)作一短時(shí)間發(fā)動(dòng).從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面的落體加速度g=1.7m/s2.飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖所示）：

（1）向前噴射氣流，使飛船到達(dá)月球背面的A點(diǎn)（與P點(diǎn)相對(duì)），并相切.

（2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心的動(dòng)量，飛船軌道與月球表面B點(diǎn)相切.

試計(jì)算上述兩種情況下所需要的燃料量.解噴氣后，飛船軌道由圓變成了的橢圓的一部分（如圖）.

設(shè)飛船噴氣前的速度v0，月球質(zhì)量為M，月球表面的重力加速度為代入上式，便得（1）（2）則有求出噴氣前、后飛船的速度問題即可解決！第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二（1）設(shè)飛船在P點(diǎn)向前方噴氣后速度減為v1.到達(dá)A處速度為vA.聯(lián)立此兩式消去vA解得

對(duì)噴氣前后的短暫過程，由動(dòng)量守恒有解得（2）因沿圓半徑向外噴氣使飛船在向心方向獲的速度vr，從而飛船的速度變?yōu)橥瑯佑薪莿?dòng)量和能量守恒方程（1）（2）則由角動(dòng)量守恒和能量守恒得

設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm1,第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二聯(lián)立此兩式消去vB解得

對(duì)噴氣前后的短暫過程，在沿原半徑方向上由動(dòng)量守恒有解得顯然，所以選擇第一種方式登月較省燃料.

題后思考仔細(xì)研究如何計(jì)算噴出的氣體相對(duì)月球的速度！（1）（2）設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm2,第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例6

質(zhì)量為M的宇航站和已對(duì)接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)著，其軌道半徑是地球半徑的n=1.25倍.某瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心的距離為8nR.問飛船與宇航站的質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇.解發(fā)射前后飛船、宇航站的運(yùn)動(dòng)情況如圖.記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.由得記分離后的瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.由動(dòng)量守恒有所求的比值為①進(jìn)一步研究分離后飛船和宇航站的運(yùn)動(dòng)，求v、V：第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二研究分離后的飛船：

由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出②研究分離后的宇航站：

由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出③設(shè)遠(yuǎn)地心點(diǎn)的速度為v′，設(shè)近地心點(diǎn)的速度為V′，距地心r.第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二研究分離后的相遇以求得r：

設(shè)飛船的周期為t，宇航站的周期為T.由開普勒第三定律有即確定t/T：因飛船運(yùn)行一周恰好與宇航站相遇，所以代入上式，得④故應(yīng)宇航站不能與地球相碰（只要近地點(diǎn)不碰，其它點(diǎn)便不會(huì)相碰）.將④代入，得第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個(gè)值：k=10，11.相應(yīng)有

題后思考最后結(jié)果為何與u無關(guān)？若分離后v、V反向，結(jié)果又如何？④③②①第22頁，共23頁，2023年，2月20日，星期二

例7

一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），距離為d，在引力作用下繞不動(dòng)的質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點(diǎn).在超新星爆炸中，