外接球內切球問題標準答案

#/8錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=。3,側棱PA與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐外接球的體積為（）A.兀B.:C.4兀D.號3 3解：如圖7所示，過尸點作底面3C的垂線，垂足為0,設H為外接球的球心，連接達五川?因ZPAO=60a,PA=^3,故A0=^-3P0=-,又AAHO為直角三角形2 2 圖？AH=PH=rrAH=PH=rr:.AH2=A02-^0H\2.4球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐,可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.如圖&三棱錐S—2.4球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐,可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.如圖&三棱錐S—川RC,滿足&4_1_面工EC.AB±BC^SC的中點為O,由直角三角形的性質可得：OA=OS=OB=CV,所以U點為三棱錐S-WBC的外SC接球的球心則R=--例7矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B—AC—D則四面體ABCD的外接球的體積是\o"CurrentDocument"125 125 125 125兀 兀 ,兀 兀\o"CurrentDocument"12 9 6 3解：由題意分析可知，四面體超的外接球的球心落在工C的中點，此時滿足a4=0Z）=0B=0C,球與球對個多個小球結合在一起,組合成復雜的幾何體問題,要求有豐富的空間想象能力,解決本類問題需掌握恰當的處理手段,如準確確定各個小球的球心的位置關系,或者巧借截面圖等方法,將空間問題轉化平面問題求解.

例7在半徑為R的球內放入大小相等的4個小球，則小球半徑『的最大值為( )A.{/一1)五 3,iVd-2)2?C.^-R D,白解：要使得小球的半徑最大，需使得4個小球的球心為一個正四面體的四個頂點，如圖g所示，此時正四面體■工-BCD的外接球的球心為0,即為半徑為R的球的球心，則力。二尺-I又因。為的四分點，故<q=(五—冷搭在RtMB01中，=2匕=■|招匕「.=(2『尸_(|也1):，r=(^-2')R.球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一解：如圖11所示，由題意球心在AP上，球心為0,過。作EP的垂線0N垂足為N,ON=R,OM=R,因為各個棱都為20,所以M=10,BP=20,BM=10,皿=100,設/員曰4二值，在班ABPM中，Bp=BM2+PM2s所以FM=1*.在用AFAM中，PM2=AM2+工尸,所以H4=1WL在此Aabf中，S1口值=里=叫2=立,在五MOW中，Rn比=竺=三，所以BP20 2 OPOP萬—二X-,所以。尸二6衣.在正出0股中，OM2=AO2+AM2於=（1琢-每r+100,L一jL解得，尺=10或3。（舍），所以，立二10白叫故選民綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內接問題．解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數形結合進行轉化，問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結論直接求解,此時結論的記憶必須準確一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（）3A 3333—答案122,直三棱柱ABC—ABC的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,ZBAC=120。，則此球的111表面積等于。解:在AABC中AB=AC=2,ZBAC=120。，可得BC=2、；3,由正弦定理,可得AABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為O'，球心為O，在RTAOBO'中，易得球半徑R=拜,故此球的表為4兀R2=20兀.3.正三棱柱ABC-Aibici內接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為兀，則正三棱柱的體積.答案表面積為273的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為1—兀3兀答案A一J3a2【解析】此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8x4=2<3知，a=1,則此球的直徑為v’‘2，故選。 32 ”5.已知正方體外接球的體積是y兀，那么正方體的棱長等于(A.2<22<3B.3A.2<22<3B.34a/203D.433答案D.正方體的內切球與其外接球的體積之比為( )1：<31：<31：3D.1：9答案C.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱9的體積為G，底面周長為3,則這個球的體積為.8.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為.積為.答案14n.(一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm,那么該棱柱的表面積為—cm2.答案2+4n10.如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐P-ABCDEF，則此正六棱錐的側面積是答案6V7.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個10.如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐P-ABCDEF，則此正六棱錐的側面積是答案6V7.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形正四面體的截面的面積是12.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為3兀16兀CT2兀D.以上都不對售3,則它的外接球的表面積為( )