二次函數(shù)的應(yīng)用-2023一模期末考試匯編

專題9二次函數(shù)的應(yīng)用

【知識(shí)精講】

求解二次函數(shù)應(yīng)用，主要是根據(jù)題意列出相關(guān)的二次函數(shù)解析式，再通過配方的方式求解最大值.

這是一種實(shí)際應(yīng)用的題型，需根據(jù)自變量的實(shí)際意義確定函數(shù)的定義域，在求解最大值時(shí)，也需注意自變量

的取值范圍.

【歷年真題】

1.（2021秋?虹口區(qū)期末）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，拱橋的最高

點(diǎn)。到水面AB的距離為4米.如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位CQ,那么CD寬為（）

A.米B.10米C.4幾米D.12米

2.（2021秋?松江區(qū)期末）一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度為y（米）

I25

關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為曠=-五1+§犬+§,那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)

離地面的距離為米.

3.據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為y萬噸，

如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x（x>0）,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式

為

4.（2021秋?浦東新區(qū)期末）在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形中挖去一個(gè)小正方形，使小正方

形四周剩下部分的寬度均為x,若剩下陰影部分的面積為y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析

式是—.

5.（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）拋物線y=-f+fer+c經(jīng)過點(diǎn)A（0,3）,B（-1,0）.

（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo).

（2）填空：如果將該拋物線平移，使它的頂點(diǎn)移到點(diǎn)4的位置，那么其平移的過程是—，平移后的拋

物線表達(dá)式是—.

6.（2021秋?松江區(qū)期末）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（1,0）,與y軸的交點(diǎn)為（0,1）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象.

y

X

7.(2021秋?楊浦區(qū)期末)已知二次函數(shù)^=*4(:+5.

(1)用配方法把二次函數(shù)y=2f4r+5化為產(chǎn)a(x+加？+%的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)

稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如果將該函數(shù)圖象沿y軸向下平移5個(gè)單位，所得新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)B,

頂點(diǎn)為C,求的面積.

8.(2021秋?徐匯區(qū)期末)二次函數(shù)/to=a?+bx+c的自變量x的取值與函數(shù)y的值列表如下:

X-2-10234

y=f(x)…-503???30-5

(1)根據(jù)表中的信息求二次函數(shù)的解析式，并用配方法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)你寫出兩種平移的方法，使平移后二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在直線尸上，并寫出平移后二次函數(shù)的

解析式.

9.(2021秋?寶山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A(-1,2),且經(jīng)過8

(-3,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖

象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

10.(2021秋?黃浦區(qū)期末)已知二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象經(jīng)過A(2,-3)、8(5,0)

兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)將該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+〃?)2+%的形式，并寫出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)

和對(duì)稱軸.

11.(2021秋?閔行區(qū)期末)如圖，已知在RtZ^ABC中，/AC8=90°,tan/CA8=2,點(diǎn)

A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)8在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上.

(1)求經(jīng)過8、C兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；

(2)求圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.

12.(2021秋?嘉定區(qū)期末)己知二次函數(shù)y=a?+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)用配方法求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【考點(diǎn)2］二次函數(shù)的定義新運(yùn)算

1.(2021秋?靜安區(qū)期末)我們將平面直角坐標(biāo)系xQy中的圖形。和點(diǎn)P給出如下定

義：如果將圖形。繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形O,那么圖形。稱為圖形。關(guān)

于點(diǎn)P的“垂直圖形已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,I),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),△

關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形”記為△400,點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A，、B',

(1)請(qǐng)寫出：點(diǎn)4的坐標(biāo)為；點(diǎn)方的坐標(biāo)為；

(2)請(qǐng)求出經(jīng)過點(diǎn)A、B、B的二次函數(shù)解析式；

(3)請(qǐng)直接寫出經(jīng)過點(diǎn)A、B、的拋物線的表達(dá)式為

2.(2021秋?浦東新區(qū)期末)定義：直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，

線段長(zhǎng)就是拋物線關(guān)于直線的“害I］距”.已知直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)B恰

好是拋物線y=-(x-〃?)2+〃的頂點(diǎn)，則此時(shí)拋物線關(guān)于直線y的割距是.

專題9二次函數(shù)的應(yīng)用

【歷年真題】

【考點(diǎn)1］二次函數(shù)的應(yīng)用

1.（2021秋?虹口區(qū)期末）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，拱橋的最高

點(diǎn)O到水面AB的距離為4米.如果此時(shí)水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD,那么CD寬為（B）

A.4君米B.10米C.4m米D.12米

【分析】以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線為y軸，過。點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)

拋物線的解析式為y=ox2,由此可得A（-10,-4）,B（10,-4）,即可求函數(shù)解析式為y=-

裝x2,再將y=-l代入解析式，求出C、。點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求CD的長(zhǎng).

【詳解】解：以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的垂直平分線為y軸，過。點(diǎn)作y軸的垂線，建立直角坐標(biāo)

系，

設(shè)拋物線的解析式為y=/,

?.?。點(diǎn)到水面AB的距離為4米，；.A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4,

?水面AB寬為20米，...A（-10,-4）,B（10,-4）,

將A代入y—ux^,-4=100iz>a--,?*.y—-,

?.?水位上升3米就達(dá)到警戒水位CD,

???C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1,

A-1=--X2,：.x=+5,：.CD=IO,

25

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，找對(duì)位置建立坐標(biāo)系再求解二次函數(shù)是關(guān)鍵.

2.（2021秋?松江區(qū)期末）一位運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度為y（米）

關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=-」~/+士》+士，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)

1233

離地面的距離為3米.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最值即可.

【解答】解：由題意可得:

1251/2C、51八2c

y=----x2+—x+—=----(x-8x)+—=z(x-4)+3,

■123312312

故鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為：3m.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確利用配方法求出最值是解題關(guān)鍵.

3.據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為y萬噸，

如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x(x>0),那么)，關(guān)于x的函數(shù)解析式

為V=(1+X)2.

【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)

【分析】2019到2021是兩年時(shí)間，2019年蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，所以y=100(1+x)2.

【解答】解：y=100(1+x)2.

故答案為：y=100(1+x)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握求平均變化率的方法.

4.(2021秋?浦東新區(qū)期末)在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形中挖去一個(gè)小正方形，使小正方

形四周剩下部分的寬度均為x,若剩下陰影部分的面積為y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析

式是y=-4f+8x.

【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)

【分析】先表示出小正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)剩下陰影部分部分的面積=大正方形的面積-小正方形的

面積得出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可.

【解答】解：.??在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形中挖去一個(gè)小正方形，使小正方形四周剩下部分的寬度均為

X,...小正方形的邊長(zhǎng)為2-2x,

根據(jù)題意得：y=22-(2-2x)2,

整理得：y=-4/+8x.故答案為：y=-4?+8x.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，利用剩下部分的面積=大正方形的面積-

小正方形的面積列式是解題關(guān)鍵.

5.(2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末)拋物線y=-f+bx+c經(jīng)過點(diǎn)4(0,3),B(-1,0).

(1)求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)填空：如果將該拋物線平移，使它的頂點(diǎn)移到點(diǎn)A的位置，那么其平移的過程是—，平移后的拋

物線表達(dá)式是

【詳解】解：(1)把A(0,3),B(-1,0)代入y=-f+bx+c得，

fc=3[h=2

…八，解得于

[-l-Z>+c=0[c=3

所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-f+2x+3；

將y=-f+2x+3化成頂點(diǎn)式為y=-(x-l)2+2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)；

(2)由于y=-/+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),將該拋物線平移，使它的頂點(diǎn)移到點(diǎn)4(0,3)的位

置，那么其平移的過程是向左平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；

所以新拋物線的解析式為y=-(x-0)2+3即y=-f+3,

故答案為：向左平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；)，=4+3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平

移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系

數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

6.(2021秋?松江區(qū)期末)已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(1,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,1).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系xOj中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象.

Ox

【分析】(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(rlE將(0,1)代入解析式求解;

(2)根據(jù)二次函數(shù)解析式作圖即可.

(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)2,

將(0,1)代入y=a(x-l)2得：a=1,.,.y—(x-1)2；

(2)二次函數(shù)圖像如下圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像以及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，掌握頂點(diǎn)式的形式是解題的關(guān)鍵.

7.(2021秋?楊浦區(qū)期末)已知二次函數(shù)y=2^-4x+5.

(1)用配方法把二次函數(shù)y=2f4x+5化為y=a(x+m)2+左的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)

稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如果將該函數(shù)圖象沿y軸向下平移5個(gè)單位，所得新拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)4,與y軸交于點(diǎn)8,

頂點(diǎn)為C,求△ABC的面積.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律“上加下減”求得新拋物線的解析式，求出A、B、C坐標(biāo)即可求解.

(1)解：(1)(x-1)?+3,

.?.該二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=2(x-1)2+3,圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線41,頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,

3)；

(2)解：平移后的新拋物線的解析式為y=2(x-1)2+3-5=2(x-1)2-2,：.C(1,~2),

當(dāng)y=0時(shí)，由2(x-1)2-2=0得：xi=0,X2=2,

AA(2,0),B(0,0),即AB=2,

...△ABC的面積為，2x2=2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的

交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

8.(2021秋?徐匯區(qū)期末)二次函數(shù)/WnaF+bx+c的自變量元的取值與函數(shù)y的值列表如下:

X-2-10234

y=fM…-50330-5

(1)根據(jù)表中的信息求二次函數(shù)的解析式，并用配方法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)你寫出兩種平移的方法，使平移后二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在直線產(chǎn)x上，并寫出平移后二次函數(shù)的

解析式.

【分析】(1)由二次函數(shù)/㈤na^+bx+c過(-1,0),(3,0)設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為#x)=a(x+1)

(x-D再把(0,3)代入拋物線的解析式求解a的值，再配方，求解頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)平移后二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)落在直線尸上，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，由頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(1-4)再分兩種情況討論：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)時(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,4)時(shí)，再寫出平

移方式即可.

(1)

解：#x)=ax2+bx+c過(-1,0),(3,0)

設(shè)_/W=a(x+1)(x-1)把(0,3)代入拋物線的解析式可得：-3a=3

解得：a=-l

所以拋物線為：f(x)=-(x+1)(x-1)=-3+2x+3

而/x)=-(x-1)2+4

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,4)

(2)解：：平移后二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)落在直線y=x上，

,頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，

而頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,4)

當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋?1,1)時(shí)，

把拋物線力幻=-(x-l)2+4向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度即可；

此時(shí)拋物線為：加)=-01)2+1

當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋?4,4)時(shí)，

把拋物線力㈤:(x-1)2+4向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度即可.

此時(shí)拋物線為:f(x)=-(x-1)2+4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，利用配方法求解拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋

物線的平移，正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練的掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

9.(2021秋?寶山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為4(-1,2),且經(jīng)過8

(-3,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖

象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與X軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性

質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)

【分析】(1)有頂點(diǎn)就用頂點(diǎn)式來求二次函數(shù)的解析式；

(2)由于是向右平移，可讓二次函數(shù)的y的值為0,得到相應(yīng)的兩個(gè)x值，算出負(fù)值相對(duì)于原點(diǎn)的距離，

而后讓較大的值也加上距離即可.

【解答】解：(I)二?二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A(-1,2),

二設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)2+2,

把點(diǎn)B(-3,0)代入二次函數(shù)解析式，得：

0—a(-3+1)2+2,解得:a——,

2

11Q

22

二次函數(shù)解析式為(x+1)+2,BPy=-lx-x+|;

(2)令y=0,得/+2x-3=0,

解方程得：x\=-3,X2=i,

...二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-3,0)和(1,0),

...二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)(-3,0)向右平移3個(gè)單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

故平移后所得圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上

加下減“利用頂點(diǎn)的變化確定圖形的變化是解題的關(guān)鍵.

10.(2021秋?黃浦區(qū)期末)已知二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象經(jīng)過4(2,-3)、8(5,0)

兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)將該二次函數(shù)的解析式化為y=a(x+m)2+/的形式，并寫出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)

和對(duì)稱軸.

【分析】(1)將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，解得久c的值，表達(dá)二次函數(shù)的解析式；

(2)將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方寫成頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一機(jī)次)，對(duì)稱軸為直線X=-膽.

(1)

解：將4(2,—3),8(5,0)代入丫=/+法+。

?\-3=22+2b+c

有V

0=52+5Z>+C

[b=-6

解得<

[c=5

二次函數(shù)的解析式為y=Y-6x+5.

（2）

解：y=x2-6x+5=（x-3）--4

y=（x-3）2-4

.?.a=l>0,二次函數(shù)圖像開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,Y）；對(duì)稱軸為直線x=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的不同表達(dá)方式與函數(shù)圖像.解題的關(guān)鍵在于正確表示解析式的形式.

11.（2021秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知在RtA4BC中，NACB=90。，tan/CAB=2,點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（-1,0），點(diǎn)8在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上.

（1）求經(jīng)過8、C兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式；

（2）求圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；解直角三角形；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】（1）通過tan/C4B=2,NAC8=90?？傻肅O=2A。，BO=2CO,然后通過待定系數(shù)法求函數(shù)解

析式.

（2）通過待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

OC

【解答】解：（1）在RSAOC中，VtanZCAB=—=2,

OA

...OC=2Q4=2,.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,2）,

VZACB=90°,AZACO+ZBCO=90°,

,：ZACO+ZBAC=90°,：.ZBCO^ZBAC,

BO

：.tanZBCO=——=2,：.OB=2CO=4,

CO

點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,0）,

設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b,

2=h

將(0,2),(4,0)代入y=fcv+b得

0=4k+b'

k=__i

解得21:.y=--x+2.

b=22

(2)設(shè)拋物線解析式為y=/+bx+c,

1

a=——

0=a-b+c2

將(-1,0),(0,2),(4,0)代入丫=/+云+。得得■2=c，解得,=士

2

0=16a+4/?+c

c=2

r.v=-x2H—x+2.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握解直角三角

形的方法.

12.(2021秋?嘉定區(qū)期末)己知二次函數(shù)yua^+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)用配方法求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力

【分析】(1)把A(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1)代入二次函數(shù)關(guān)系式，列出三元一次方程

組進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用配方法進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)把A(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1)代入)=蘇+灰+。中

9a+3匕+c=-2,a=1

得：＜4〃+2b+c=—3,解得：,。-4,

c=1|c=1

所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=W-4x+l；

(2)-4x+l=f-4x+4-4+1=(x-2)2-3,

所以，這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性

質(zhì)，二次函數(shù)的配方法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2］二次函數(shù)的定義新運(yùn)算

1.（2021秋?靜安區(qū)期末）我們將平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形。和點(diǎn)尸給出如下定

義：如果將圖形D繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形D',那么圖形沙稱為圖形D關(guān)

于點(diǎn)尸的“垂直圖形已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,1）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,1）,△

A8O關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形”記為△AB。，點(diǎn)A、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A，、B',

（1）請(qǐng)寫出：點(diǎn)?的坐標(biāo)為（1,2）；點(diǎn)用的坐標(biāo)為（1,0）；

（2）請(qǐng)求出經(jīng)過點(diǎn)4、B、方的二次函數(shù)解析式；

（3）請(qǐng)直接寫出經(jīng)過點(diǎn)A、B、的拋物線的表達(dá)式為互3/±|?任1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得A9=M=2,OB'=OB=\,進(jìn)而求解.

（2）通過待定系數(shù)法求解.

（3）通過待定系數(shù)法求解.

【解答】解：（1）如圖，

由旋轉(zhuǎn)可得Ab=A6=2,OB'=OB=1,

.??點(diǎn)A'坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)￡坐標(biāo)為（1,0）.

故答案為：（1,2）,（1,0）.

（2）設(shè)拋物線解析式為y=o？-6x+c,

1

a=—

1=428+c3

?

將(-2,1),(0,1),(1,0)代入>=依2+及+。得[]=c解得b

3

0=。+〃+c

c=l

121

..y=—x2—x+1.

33

(3)設(shè)拋物線解析式為y=o？-&v+c,

1=4。一22+c

將(-2,1),(0,1),(1,2)代入y=ax?+fev+c得<1=c

2=a+h+c

1

a=—

3

解得人=；2，

3

c=1

故答案為：y=-x2+—x+1.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式.

2.（2021秋?浦東新區(qū)期末）定義：直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，

線段MN長(zhǎng)就是拋物線關(guān)于直線的“割距”.已知直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)以點(diǎn)8恰

好是拋物線y=-（x-〃2）2+”的頂點(diǎn)，則此時(shí)拋物線關(guān)于直線y的割距是_夜_

【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)

【分析】根據(jù)直線y=-x+3,可以求出該直線與y軸的交點(diǎn)，從而可以得到點(diǎn)5的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)8

恰好是拋物線y=-（x-利）2+〃的頂點(diǎn)，即可得到四、"的值，然后將拋物線與直線建立平面直角坐

標(biāo)系，求出它們的交點(diǎn)，即可求得拋物線關(guān)于直線y的割距.

【解答】解：（1）???y=-x+3,.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

.??點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,3）,

?點(diǎn)B恰好是拋物線y=-（x-加）2+”的頂點(diǎn)，二加=0,〃=3,

拋物線y=-f+3,[>=二+3,

[y=_廠+3

==

AT,/日fx0[x1

解得《或《，

l>=3[y=2

拋物線與直線y的交點(diǎn)為（0,3）,（1,2）,

此時(shí)拋物線關(guān)于直線y的割距是：7（1-?）2+（3-2）2=夜，

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題

的關(guān)鍵是求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

專題8二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【知識(shí)精講】

1、二次函數(shù)

一般地，解析式形如丫=〃2+公+，（其中“、氏c?是常數(shù)，且的函數(shù)叫做二次函數(shù).

二次函數(shù)'=〃?+法+c的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù).而在具體問題中，函數(shù)的定義域根據(jù)實(shí)際意義來確

定.

2、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

3、二次開口方頂點(diǎn)坐對(duì)稱函數(shù)：

”的符號(hào)1?生質(zhì)

二次函向標(biāo)軸數(shù)y=

ax2的平移

x>-m時(shí)，y隨x的增大而增大；x<

這兩(-m,直線次平

a>0向上-m時(shí)，y隨尤的增大而減??；x=-m

移可k)x=-m以

時(shí)，y有最小值k.

是：先向

x>-in時(shí)，y隨x的增大而減小；x<

左(機(jī)>0

(-m,直線

-m時(shí),y隨x的增大而增大；x=-m

時(shí)）6Z<0向下平移

k)x=-m

tn個(gè)時(shí)，y有最大值k.單

位，二次函數(shù)變?yōu)閥=a（x+m）2,向右（，??>0時(shí)）平移，"個(gè)單位二次函數(shù)變?yōu)閥=aCx-m'）2,向上

（Q0時(shí)）Z個(gè)單位二次函數(shù)變?yōu)檠?一+2或向下（QO時(shí)）平移上個(gè)單位，二次函數(shù)變?yōu)椋?。//

【歷年真題】

【考點(diǎn)1］二次函數(shù)的概念

1.（2021秋?虹口區(qū)期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

A.y=yjx2+xB.y=（x-l）2-x2C.y=5x2D.y=—

x

2.（2021秋?嘉定區(qū)期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

1°,

A.y=x-lB.y=—C.y=（x-2）2-D.y=x（x-1）

x

3.（2021秋?普陀區(qū)期末）已知函數(shù)/（%）=/一31+1,如果x=3,那么f（x）=.

4.（2021秋?寶山區(qū)期末）已知二次函數(shù)y=gY+x-i,當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)y的值是

5.（2021秋?奉賢區(qū)期末）函數(shù)y=上的定義域是

x+1

【考點(diǎn)2］二次函數(shù)的圖像

1.（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）拋物線（其中4>0、b<0,c>0）一定不經(jīng)過的象

限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2021秋?徐匯區(qū)期末）下列對(duì)二次函數(shù)y=-2（x+1）2+3的圖象的描述中，不正確的

是（）

A.拋物線開口向下B.拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1

C.拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,3）D.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,3）

3.（2021秋?普陀區(qū)期末）下列拋物線經(jīng)過原點(diǎn)的是（）

A.y=x2-2xB.y=Cx-2）2C.y=/+2D.y=（x+2）（x-1）

4.（2021秋?奉賢區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1,1）的是（）

1

A.y=x-1B.y=-x+1C.y=—D.y=jr9

x

5.（2021秋?嘉定區(qū)期末）已知拋物線y=（6z-1）/+2的頂點(diǎn)是此拋物線的最低點(diǎn)，

那么。的取值范圍是（）

A.WOB.存1C.a>1D.a<1

6.（2021秋?黃浦區(qū)期末）二次函數(shù)y=?x2+6x+c的圖象如圖所示，那么點(diǎn)尸（b,巴）在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.(2021秋?閔行區(qū)期末)下列二次函數(shù)與拋物線y=-?+2x-3的對(duì)稱軸相同的函數(shù)是

()

A.y=-J?+4X-3B.y=-2X2-3xC.y=3x1+6x-7D.y=^x2-x+5

8.(2021秋?閔行區(qū)期末)二次函數(shù)>=以2+法+。(aWO)的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論:

(1)b>0；(2)abc<Oi(3)a-b+c>0；(4)a+b+cX)；(5)廬-4ac>0,其中正確

的結(jié)論有()

9.(2021秋?崇明區(qū)期末)已知二次函數(shù)yucV+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，那么下列

結(jié)論中正確的是()

A.ac>0B.當(dāng)x>-l時(shí)，y>0C.b=2aD.9a+3h+c=0

10.(2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末)拋物線y=2?-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

11.（2021秋?黃浦區(qū)期末）如果拋物線y=-7+bx-1的對(duì)稱軸是y軸，那么頂點(diǎn)坐標(biāo)

為.

12.（2021秋?靜安區(qū)期末）如果拋物線y=/+，nx+4的頂點(diǎn)在x軸上，那么常數(shù)〃?的值是.

13.（2021秋?浦東新區(qū)期末）已知二次函數(shù)y=---2x+3-"為常數(shù)），若該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)公

共點(diǎn)，則”=.

14.（2021秋?寶山區(qū)期末）如果拋物線'=7+法+機(jī)-1的頂點(diǎn)在x軸上，那么根的值是.

15.（2021秋?楊浦區(qū)期末）拋物線y=7+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

16.（2021秋?青浦區(qū)期末）二次函數(shù)y=-7-x-1的圖象有最—點(diǎn).（填“高”或“低”）

17.（2021秋?楊浦區(qū)期末）二次函數(shù)y=7-4x圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

18.（2021秋?靜安區(qū)期末）如果某拋物線開口方向與拋物線y=的開口方向相同，那么該拋物線有最

點(diǎn).（填“高”或"低”）

19.（2021秋?金山區(qū)期末）拋物線y=/經(jīng)過點(diǎn)（1,-2）,那么這個(gè)拋物線的開口

向.

20.（2021秋?崇明區(qū)期末）如果拋物線y=（k-2）f的開口向上，那么k的取值范圍

是.

21.（2021秋?虹口區(qū)期末）如果拋物線y=（2-。）/+2開口向下，那么。的取值范圍是.

22.（2021秋?虹口區(qū)期末）二次函數(shù)丫=Cm-1）?+x+/n2-1的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則機(jī)的值

為.

23.（2021秋?閔行區(qū)期末）如果拋物線y=，+〃?+l的頂點(diǎn)是坐標(biāo)軸的原點(diǎn)，那么膽=.

24.（2021秋?崇明區(qū)期末）如果拋物線y=-7+3x-l+/n經(jīng)過原點(diǎn)，那么機(jī)=.

25.（2021秋?奉賢區(qū)期末）如果拋物線y=（x-2）?+火不經(jīng)過第三象限，那么%的值可以是.（只

需寫一個(gè)）

26.（2021秋?松江區(qū)期末）如果一個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,且沿著x軸正方

向看，圖象在對(duì)稱軸左側(cè)部分是上升的，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式.

27.（2021秋?嘉定區(qū)期末）拋物線），=（m+3）?+x-l在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么m的取值范圍

是.

28.（2021秋?金山區(qū)期末）拋物線y=3-7位于），軸左側(cè)的部分是的.（填“上

升”或“下降”）

29.（2021秋?青浦區(qū)期末）如果拋物線產(chǎn)0?+反+0（其中。、b、c是常數(shù)，且a*0）在對(duì)稱軸左側(cè)的部分

是下降的，那么"0.（填或“>"）

30.（2021秋?黃浦區(qū)期末）已知一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,且在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下

降的，該拋物線的表達(dá)式可以是（寫出一個(gè)即可）.

31.（2021秋?普陀區(qū)期末）已知拋物線的開口方向向下，對(duì)稱軸是直線x=0,那么這條拋物線的表達(dá)式可

以是—（只要寫出一個(gè)表達(dá)式）.

32.（2021秋?普陀區(qū)期末）己知二次函數(shù)y=a（x+1）2+c（a#0）的圖象上有兩點(diǎn)A（2,4）、B（m,4）,

那么m的值等于—.

33.（2021秋?虹口區(qū)期末）如果拋物線過點(diǎn)（-2,3）,且與），軸的交點(diǎn)是（0,3）,那么拋物線的對(duì)稱軸

是直線—.

34.（2021秋?嘉定區(qū)期末）拋物線y=-/-2x+l的對(duì)稱軸是.

35.（2021秋?金山區(qū)期末）拋物線y=/+2x的對(duì)稱軸是直線.

36.（2021秋?浦東新區(qū)期末）拋物線^=/+以+2的對(duì)稱軸是直線.

37.（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知拋物線丫=加+法-2（必＞0）與y軸交于點(diǎn)4,過點(diǎn)A作x軸的平行線交

拋物線于點(diǎn)8,若AB=2,則點(diǎn)8坐標(biāo)為.

38.（2021秋?奉賢區(qū)期末）用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象需要經(jīng)過列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟.以下是小明

畫二次函數(shù)y^a^+bx+c圖象時(shí)所列的表格：

X-4-3-202

y30-1315

根據(jù)表格可以知道該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

39.（2021秋?崇明區(qū)期末）已知二次函數(shù)y=/+%x+c（a#0）自變量x的值和它對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值y如表所示：

X???-10123???

y???0343m???

那么表中的值為.

40.（2021秋?徐匯區(qū)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=-l,根據(jù)圖中信息可求得該二次函

41.（2021秋?徐匯區(qū)期末）如果點(diǎn)A（2,yi）,B（5,”）在二次函數(shù)-2x+”圖象

上，那么yiV2（填＞、=或＜）.

42.（2021秋?閔行區(qū)期末）已知拋物線/G）=；/+加+'的圖象的對(duì)稱軸為直線*=4,

那么/（3）.（填“＞”或“〈”或“=”）

43.已知點(diǎn)A(xi，yi)、B(&，”)為函數(shù)y=-2(x-1)2+3的圖象上的兩點(diǎn)，若xi<

X2<0，則viVV2(填或"V")

【考點(diǎn)3］二次函數(shù)的平移

1.(2021秋?寶山區(qū)期末)把拋物線y=(x-1尹+3向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為()

A.y=(x-1)2+5B.y=(尤-1)2+1C.y=(x+I)2+3D.y=(x-3)2+3

2.(2021秋?楊浦區(qū)期末)將函數(shù)丫=0?+公+'Q#0)的圖象向下平移2個(gè)單位，下列

結(jié)論中，正確的是()

A.開口方向不變B.頂點(diǎn)不變C.與x軸的交點(diǎn)不變D.與y軸的交點(diǎn)不變

3.(2021秋?靜安區(qū)期末)將拋物線y=7-2x向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線的頂

點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(0,0)

4.(2021秋?浦東新區(qū)期末)將拋物線y=4向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后所得新拋物線的頂

點(diǎn)是()

A.(3,-2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(-3,2)

5.(2021秋?崇明區(qū)期末)將拋物線y=2?向上平移3個(gè)單位后所得拋物線的表達(dá)式是

()

A.^=2X2+3B.y=2(x+3)2C.y=2(x-3)2D.-3

6.(2021秋?寶山區(qū)期末)把拋物線y=(x-1)2+31向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式為

()

A.y=(x-1)2+5B.y=(x-1)2+1C.y=(x+1)2+3D.y=(x-3)2+3

7.(2021秋?奉賢區(qū)期末)從圖形運(yùn)動(dòng)的角度研究拋物線，有利于我們認(rèn)識(shí)新的拋物線的特征.如果將拋物

線y+2繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，那么關(guān)于旋轉(zhuǎn)后所得新拋物線與原拋物線之間的關(guān)系，卜,列說法正確的是

()

A.它們的開口方向相同B.它們的對(duì)稱軸相同

C.它們的變化情況相同D.它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同

8.(2021秋?松江區(qū)期末)把拋物線>=7+1向右平移1個(gè)單位，所得新拋物線的表達(dá)式

是.

9.(2021秋?徐匯區(qū)期末)將拋物線y=2?+3先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位

后，所得拋物線的表達(dá)式是.

10.(2021秋?青浦區(qū)期末)若將拋物線y=,向下平移2個(gè)單位，則所得拋物線的表達(dá)式

是.

11.（2021秋?嘉定區(qū)期末）將拋物線y=/-2x向左平移2個(gè)單位，得到一條新拋物線，這條新拋物線的表

達(dá)式是—.

12.（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)A是拋物線y=/圖象上一點(diǎn)，將點(diǎn)A向下

平移2個(gè)單位到點(diǎn)B,再把點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到點(diǎn)C,如果點(diǎn)C也在該拋

專題8二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【歷年真題】

【考點(diǎn)1］二次函數(shù)的概念

1.(2021秋?虹口區(qū)期末)下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是(C)

A.y=\lx2+xB.y—(x-1)2-x2C.y=5，D.y=—^

x

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義

【專題】符號(hào)意識(shí)；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A.函數(shù)ynjd+x不是整式,不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.函數(shù)y=(x-1)2-/化簡(jiǎn)后是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意;

C.函數(shù)y=5)是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.函數(shù)丫=烏不是整式，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

x

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的概念

2.(2021秋?嘉定區(qū)期末)下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是(D)

A.y—x-1B.y=\