2023西城高三一模數(shù)學(xué)(理科)

北京市西城區(qū)2023年高三一模試卷數(shù)學(xué)（理科）2023.4第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）2．復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.在極坐標(biāo)系中，曲線是（）（A）過(guò)極點(diǎn)的直線（B）半徑為2的圓（C）關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的圖形（D）關(guān)于極軸對(duì)稱的圖形4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為3，則輸出的n的值為（）（A）（B）（C）（D）xx=3x開始n=n+1輸出n結(jié)束否是輸入x5．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則“，”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的是（）側(cè)(左)視圖側(cè)(左)視圖正(主)視圖俯視圖2111221111（A）（B）（C）（D）7.已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價(jià)格之和大于24元，而4枝玫瑰與4枝康乃馨的價(jià)格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的價(jià)格的比較結(jié)果是（）（A）2枝玫瑰的價(jià)格高（B）3枝康乃馨的價(jià)格高（C）價(jià)格相同（D）不確定Oxy5A8.已知拋物線Oxy5A曲線如圖所示，給定點(diǎn)，若在此封閉曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)，滿足每一對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．9.已知平面向量滿足，，那么____.10．已知雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且雙曲線C的離心率為，那么雙曲線C的方程為____.11．在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，，則____.12．若數(shù)列滿足，且對(duì)于任意的，都有，則___；數(shù)列前10項(xiàng)的和____．13.某種產(chǎn)品的加工需要A，B，C，D，E五道工藝，其中A必須在D的前面完成（不一定相鄰），其它工藝的順序可以改變，但不能同時(shí)進(jìn)行，為了節(jié)省加工時(shí)間，B與C必須相鄰，那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有____種.（用數(shù)字作答）14.如圖，四面體的一條棱長(zhǎng)為，其余棱長(zhǎng)均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.BBADC三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，求相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離.16．（本小題滿分13分）2014年12月28乘公共電汽車方案10公里（含）內(nèi)2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地鐵方案（不含機(jī)場(chǎng)線）6公里（含）內(nèi)3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.已知在北京地鐵四號(hào)線上，任意一站到陶然亭站的票價(jià)不超過(guò)5元，現(xiàn)從那些只乘坐四號(hào)線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選出120人，他們乘坐地鐵的票價(jià)統(tǒng)計(jì)如圖所示．O票價(jià)(元)345104050O票價(jià)(元)345104050人數(shù)302060（Ⅱ）從那些只乘坐四號(hào)線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選2人，記X為這2人乘坐地鐵的票價(jià)和，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，并以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）小李乘坐地鐵從A地到陶然亭的票價(jià)是5元，返程時(shí)，小李乘坐某路公共電汽車所花交通費(fèi)也是5元，假設(shè)小李往返過(guò)程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為s公里，試寫出s的取值范圍．(只需寫出結(jié)論)17．（本小題滿分14分）如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，平面平面，且,，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若直線BF與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)；（Ⅲ）判斷線段上是否存在一點(diǎn)，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．FFCADBGE18．（本小題滿分13分）設(shè)，函數(shù)，函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若曲線與曲線分別位于直線的兩側(cè)，求的所有可能取值.19．（本小題滿分14分）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由.20．（本小題滿分13分）已知點(diǎn)列(，)滿足，且與()中有且僅有一個(gè)成立．（Ⅰ）寫出滿足且的所有點(diǎn)列；（Ⅱ）證明：對(duì)于任意給定的（，），不存在點(diǎn)列，使得；（Ⅲ）當(dāng)且（）時(shí)，求的最大值．北京市西城區(qū)2023年高三一模試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)高三數(shù)學(xué)（理科）2023.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．B2．C3．D4．B5．B6．A7．A8．D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．；10．；11．；12．，；13．；14．(或?qū)懗?，；三、解答題：本大題共6小題，共80分.其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：因?yàn)椤?分………………3分=，………………5分因?yàn)?，所以，…………?分所以，即，其中當(dāng)時(shí)，取到最大值2；當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)?………………9分（Ⅱ）依題意，得，，………………10分所以或，……………12分所以或，所以函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的最短距離為.……13分16．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：記事件A為“此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元”，………………1分由統(tǒng)計(jì)圖可知，得120人中票價(jià)為3元、4元、5元的人數(shù)分別為，，（人）.所以票價(jià)小于5元的有（人）．………………2分故120人中票價(jià)小于5元的頻率是．所以估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元的概率．………4分（Ⅱ）解：X的所有可能取值為6，7，8，9，10.…………5分根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，可知120人中地鐵票價(jià)為3元、4元、5元的頻率分別為，，，即，，，………………6分以頻率作為概率，知乘客地鐵票價(jià)為3元、4元、5元的概率分別為，，．所以，，，，，…………8分所以隨機(jī)變量的分布列為：X678910P………………9分所以.………………10分（Ⅲ）解：． ………………13分17．（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：因?yàn)?，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以.……………1分又因?yàn)?，所?……………2分因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?……………4分（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫?，，所以兩兩垂?以A為原點(diǎn)，以，，分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，……5分FCADBFCADBGEzxy設(shè)，則，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，，得令,得.……………7分因?yàn)锽F與平面所成角的正弦值為，所以，……………8分即，解得或.所以或.…………9分（Ⅲ）解：假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得//平面，設(shè)，則，由，得，………10分設(shè)，則，所以.…………11分設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，由，，得?得，……………12分因?yàn)?/平面，所以，即，解得.所以，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，//平面.……………14分18.（本小題滿分13分）（Ⅰ）證明：結(jié)論：函數(shù)不存在零點(diǎn).……………1分當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，……………2分令，解得.……………3分當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：0↗↘所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值.……………4分所以函數(shù)的最大值為， 所以函數(shù)不存在零點(diǎn).……………5分（Ⅱ）解：由函數(shù)求導(dǎo)，得，令，解得.當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：0↗↘…………7分所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；……………8分由函數(shù)，求導(dǎo)，得，……………9分令，解得.當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：0↘↗所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.……………11分因?yàn)?，函?shù)有最大值，所以曲線在直線的下方，而曲線在直線的上方，所以，……………12分解得.所以的取值集合為.……………13分19．（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：由點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，………………1分所以橢圓E的焦點(diǎn)為，，………………2分由橢圓定義，得.所以，.………………4分故橢圓E的方程為.………………5分（II）解：結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分.………………6分理由如下：由題可知直線，直線PQ的斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線PQ的方程為.…………7分由消去，得，………………8分由題意，可知，設(shè)，，則，，……………9分由消去,得，由，可知，設(shè)，又，則，.………………10分若四邊形的對(duì)角線互相平分，則與的中點(diǎn)重合，所以，即，…………11分故.…………12分所以.解得.所以直線為時(shí)，四邊形的對(duì)角線互相平分.……14分（注：利用四邊形為平行四邊形，則有，也可解決問(wèn)題）20．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：符合條件的點(diǎn)列為；或；或．………3分（Ⅱ）證明：由已知，得，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．由，得（）．………………3分故．………………5分若存在點(diǎn)列，使得，則，即．因?yàn)檎麛?shù)和總是一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)，且，而整數(shù)中不含有大于1的奇因子，所以對(duì)于任意