卡爾曼濾波增益綜述報(bào)告

姓名:周峰學(xué)號(hào)1411082695摘要：KalmanFilter是一個(gè)高效的遞歸濾波器，它可以實(shí)現(xiàn)從一系列的噪聲測(cè)量中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。廣泛應(yīng)用于包含Radar、計(jì)算機(jī)視覺(jué)在內(nèi)的等工程應(yīng)用領(lǐng)域，在控制理論和控制系統(tǒng)工程中也是一個(gè)非常重要的課題。本文介紹了卡爾曼濾波增益的由來(lái)，以及它在卡爾曼濾波理論中的作用，著重介紹了卡爾曼濾波增益的理論意義和它的物理意義。由卡爾曼濾波增益可以更深入的理解卡爾曼濾波，把它更好地應(yīng)用于實(shí)際中。Abstract：KalmanFilterisanefficientrecursivefilterjtcanachievethetaskthatestimatesthedynamicstateofthesystemfromaseriesofnoisemeasurements.ItwidelybeusedinRadar,computervision,includeotherengineeringapplications,isalsoaveryimportantissueincontroltheoryandcontrolsystemsengineering.ThispaperintroducestheoriginoftheKalmanfiltergain,anditplaystheimportantroleintheKalmanfiltertheory,especiallyfocusesonitsthetheoreticalmeaningandphysicalmeaningaboutKalmanfiltergain.WewillgetadeeperunderstandingoftheKalmanfilter,betterappliedinpracticebylearningoftheKalmanfiltergain.關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波增益誤差、卡爾曼濾波器簡(jiǎn)介1.1卡爾曼濾波的由來(lái)I960年卡爾曼發(fā)表了用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問(wèn)題的論文-《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》(線性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法)，在這篇文章里一種克服了維納濾波缺點(diǎn)的新方法被提出來(lái)，這就是我們今天稱(chēng)之為卡爾曼濾波的方法?？柭鼮V波應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大，它可以估計(jì)信號(hào)的過(guò)去和當(dāng)前狀態(tài)甚至能估計(jì)將來(lái)的狀態(tài)即使并不知道模型的確切性質(zhì)。其基本思想是以最小均方誤差為最佳估計(jì)準(zhǔn)則，采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值。算法根據(jù)建立的系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿足最小均方誤差的估計(jì)。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，它是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。它的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等等。1.2卡爾曼濾波原理卡爾曼濾波器用于估計(jì)離散時(shí)間過(guò)程的狀態(tài)變量xeRn。這個(gè)離散時(shí)間過(guò)程由以下離散隨機(jī)差分方程描述：公式1?1X=Ax+Bu+W公式1?1k k-1 k-1 k-1定義觀測(cè)變量zeRm，的量測(cè)方程：公式1.2z=Hx+v公式1.2k kk隨機(jī)信號(hào)wk和vk分別表示過(guò)程激勵(lì)噪聲和觀測(cè)噪聲。假設(shè)它們?yōu)橄嗷オ?dú)立,正態(tài)分布的白色噪聲：p(w)~N(0,Q), 公式1.3p(v)~N(0,R)? 公式1?4實(shí)際系統(tǒng)中，過(guò)程激勵(lì)噪聲協(xié)方差矩陣Q和觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣R可能會(huì)隨每次迭代計(jì)算而變化。但在這兒我們假設(shè)它們是常數(shù)。當(dāng)控制函數(shù)uk-i或過(guò)程激勵(lì)噪聲wk-i為零時(shí)，差分方程1?1中的nxn階增益矩陣A將上一時(shí)刻k1的狀態(tài)線性映射到當(dāng)前時(shí)刻k的狀態(tài)。實(shí)際中A可能隨時(shí)間變化，但在這兒假設(shè)為常數(shù)。nxl階矩陣B代表可選的控制輸入ueRl的增益。量測(cè)方程1.2中的mxn階矩陣H表示狀態(tài)變量Xk對(duì)測(cè)量變量zk的增益。實(shí)際中H可能隨時(shí)間變化，但在這兒假設(shè)為常數(shù)。

定義xkeRn(-代表先驗(yàn)，"代表估計(jì))為在已知第k步以前狀態(tài)情況k下第k步的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)。定義xkeRn為已知測(cè)量變量Zk時(shí)第k步的后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)。由此定義先驗(yàn)估計(jì)誤差和后驗(yàn)估計(jì)誤差：Ae=x—xkkk先驗(yàn)估計(jì)誤差的協(xié)方差為：公式1.5公式1?6P-=E[e-公式1.5公式1?6后驗(yàn)估計(jì)的協(xié)方差：P=E[eeT]

k kk式1.7構(gòu)造了卡爾曼濾波器的表達(dá)式：先驗(yàn)估計(jì)x"和加權(quán)的測(cè)量變量kZk及其預(yù)測(cè)Hx之差的線性組合構(gòu)成了后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)=x=x+K(z-Hx)k k k公式1.7式1.7中測(cè)量變量及其預(yù)測(cè)之差zk-Hxk被稱(chēng)為測(cè)量過(guò)程的革新或殘余。殘余反映了預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的不一致程度。殘余為零表明二者完全吻合。式1.7中nxm階矩陣K叫做殘余的增益或混合因數(shù)，作用是使1?6式中的后驗(yàn)估計(jì)誤差協(xié)方差最小?？梢酝ㄟ^(guò)以下步驟計(jì)算K:首先將1.7式代入e的定k義式，再將e代入1.6式中，求得期望后，將1?6式中的P對(duì)K求導(dǎo)。并使一k k階導(dǎo)數(shù)為零從而解得K值。K的一種表示形式為：K=P-Ht(HP-Ht+R)-ikk k_ P-Ht-HP-Ht+R 公式1.8k二、卡爾曼濾波增益

2.1推導(dǎo)后驗(yàn)協(xié)方差矩陣PkP按照定義，我們從誤差協(xié)方差k開(kāi)始推導(dǎo)如下：P=cov(x-x)k kk代入 xk=Xk+Kk(z-Hxk)Pk=cov(Xk-(Xk+K(Zk-Hx-)))

再帶入zk=Hxk+vkPk=cov((I-KkH)(%-X)-KkVk)整理測(cè)量誤差向量，得：Pk=cov((I-KH)(%k-XL)-KkVk)因?yàn)樵肼曧?xiàng)與其他項(xiàng)不相關(guān)，協(xié)方差=0,所以有：Pk=cov((I-KkH)(Xk-X))-cov(Kkvk)利用協(xié)方差矩陣性質(zhì)，提出常數(shù)矩陣，得：Pk=(I-KH)cov(xk-X-)(I-KH)t-Kkcov(vk)Kt如果記cov(Xk-x-)=p-，則有：Pk=(I-KH)P-(I-KH)T-K-RK-t2.12.2推導(dǎo)最優(yōu)卡爾曼增益KkX P最優(yōu)化K使后驗(yàn)估計(jì)k的協(xié)方差k達(dá)到最小。(換一個(gè)概念)也是使八 八x,I2}=trP,k k記：S=Hp刃+R向量Xx,I2}=trP,k k記：S=Hp刃+RP{lx,-Xk/X /X2.1可以寫(xiě)成/X /X2.2P,二P廠-KHP-—P-HtKt+KSKt2.2k k kk k k kkk把tr(Pk)對(duì)Kk求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)=0,則可以得到tr(Pk)取最小值時(shí)的最優(yōu)化Kk的值。八d^=-(HPk)t-PH+(SkKkT)T+(KkSk)=-2PH+2KkSk=0k解得：-1TOC\o"1-5"\h\zK=P-HtS-1=P-Ht(HPHt+R)

k k k k、k /-1化簡(jiǎn)后驗(yàn)誤差協(xié)方差公式。在卡爾曼增益等于上面導(dǎo)出的最優(yōu)值時(shí)，計(jì)算后驗(yàn)協(xié)方差的公式可以進(jìn)行簡(jiǎn)化。對(duì)于卡爾曼增益公式Kk=PkHTSk-ik k k在卡爾曼增益公式兩側(cè)同時(shí)右乘SkKkT得:KSKt=P-HtKT

kkk k k把上式帶入2.2式，可以消去后面的兩項(xiàng)，得:八 八 八pk=pk-KkHPk整理，得:Pk=(1-KkH)Pk這個(gè)公式的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，所以實(shí)際中總是使用這個(gè)公式，但是需注意這公式僅在使用最優(yōu)卡爾曼增益的時(shí)候它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導(dǎo)致數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問(wèn)題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個(gè)簡(jiǎn)化；必須使用2.2式表示的后驗(yàn)誤差協(xié)方差公式。2.3卡爾曼增益的物理意義P-Ht公式2.3K=k公式2.3kHPHt+Rk八其中：H矩陣為常量；Pk與過(guò)程激勵(lì)噪聲的協(xié)方差矩陣Q有關(guān)；R為測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣。Kk取值范圍：Kk&[0,H-1]。當(dāng)R趨向于零時(shí)，有：limK=H-ikRTO當(dāng)Pk趨向于零時(shí)，有:limK=0_kPkTO意義：決定了最優(yōu)估計(jì)組成比例的“調(diào)節(jié)器”。當(dāng)R趨向于零時(shí)，有：limK=H-ikRTO此時(shí)1.7式改為xk=x+H-1(z-HXk)=H-1z系統(tǒng)表現(xiàn)為完全取測(cè)量值作為狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)值，而系統(tǒng)的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)完全被拋棄。反之當(dāng)Pk趨向于零時(shí)，可知Q=0。易知，此時(shí)系統(tǒng)完全拋棄測(cè)量值，取先驗(yàn)估計(jì)值。2.4卡爾曼增益的理論意義被估計(jì)值系統(tǒng)的第K+1時(shí)刻的狀態(tài)值X(K+1)的卡爾曼濾波值X(K+1/K+1)，就是X(K+1)的無(wú)偏的最小方差估計(jì)。而且，濾波誤差方差陣P(K+1)是基于測(cè)量＜Zi，Z2，Z3等等的X(K+1)的所有線性估計(jì)中最小的均方誤差陣。對(duì)于一維的情況，測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣增大時(shí)，增益矩陣K變小。這就表明，如果測(cè)量噪聲越大，該增益取的越小，以減弱測(cè)量噪聲對(duì)估計(jì)值的影響，而使預(yù)測(cè)值所占最后的結(jié)果比重加大。從卡爾曼濾波5個(gè)公式的推導(dǎo)可以看出，