2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點專題4數(shù)列求和

專題6.4 數(shù)列求和【考情分析】1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式;2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法?！局攸c知識梳理】知識點一求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項和公式n(a、+a) ,n(n—1)Sn= 2 =〃%+ 2d②等比數(shù)列的前n項和公式(i)當(dāng)q=1時，Sn=na1；(五)當(dāng)q(五)當(dāng)q旦時，S=冬干電n 1一qa「ag

lq(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn=1002—992+982—972+...+22—12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.知識點二常見的裂項公式(1)(1)n(n+1)1 1—nn+1.(2)(2)1(1(2n—1)(2n+1) 2k2n—12n+1)'⑶Q?肅=\"+1-赤?【典型題分析】高頻考點一分組轉(zhuǎn)化求和【例1】（2020?天津卷）已知高頻考點一分組轉(zhuǎn)化求和【例1】（2020?天津卷）已知｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)列,na=b=1,a=5(a-a),b=4(b-b).(I)(II)5 4 3 5 4 3求｛a｝和｛b｝的通項公式；nn記｛a｝的前n項和為S，求證：SS,<S2(ngN*)；（ni）對任意的正整數(shù)n（ni）對任意的正整數(shù)n，設(shè)。=n曳二生,n為奇數(shù)，aa …一，｛i,,、，一一nn+2 求數(shù)列｛c1的前2n項和.an=, n為偶數(shù).bn+1【答案】(I)an=n,bn=【答案】(I)an=n,bn=2n-1；（Ii）證明見解析；（ni）【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,等比數(shù)列｛b｝的公比為q?n由q=1,a5=5(a4-a3)，可得d=1.從而｛aj的通項公式為a”=n.由b=1,b=4(b-b),又在0，可得q2-4q+4=0,解得q=2從而｛b｝的通項公式為b=2n-1c n（n+1）（I）證明：由（I河得Sn二二1故SS=-n(n+1)(n+2)(n+3)nn+2 4S2n+11=1(n+1)(n+2)241從而SSn+2-S；+1=-2(n+1)(n+2)<0,所以snsn+2<S'、/ … _(3an-2)bn_(3n_2)2n-1_2n+1 2n-1，naa n(n+2)n+2nan—1當(dāng)n為偶數(shù)時，c二六二丁nb 2nn+1對任意的正整數(shù)n，有k=12kk=1 k=11 3=—+—4425+—+432kk=1 k=11 3=—+—4425+—+432n-3+ +4n-11n1 3 5由①得XC= +7+ +4 2k42 43 44k=12n-3 2n-1+--^ + 4n 4n+13nn 1 2由①②得￡c= +——+4 2k 4 42k=12( 1、-1—-?-2 2n-1 41 4n)1 2n-1+—— = - 4n 4n+1 1 4 4n+1——4(1——、 …,丁41 4n )1 2n-1 2 2 11 2n-1 1 5 6n+5由于--——----- =-——x-—- X—=- 1 1 4 4n+1 3 3 4n4 4n 4 12 3x4n+11——4n從而得：￡k=1_5因此，￡c=￡kk=1k=1C2k-1+￡。2kk=1所以，數(shù)列"｝的前2n項和為【方法技巧】分組法求和的常見類型(1)若an=bn士的，且｛bn｝,｛cn｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組法求｛an｝的前n項和.，n為奇數(shù)，(2)通項公式為a”=｛n*/申物 的數(shù)列，其中數(shù)列｛b〃｝,｛c”｝是等比或等差數(shù)列，可采用分組法求n[cn,n為偶數(shù) nn和.【變式探究】(2019.天津高考)設(shè)'n｝是等差數(shù)列，'n｝是等比數(shù)列。已知a=4,b=6，b=2a-2,b=2a+41 1 2 2 3 3.

1,2k<n<2k+1,b,n—1,2k<n<2k+1,b,n—2k,k其中kgN*.c1c—1,c=<

tc1 1n(I)設(shè)數(shù)列n滿足、-1刀的通項公式;藝ac (ngN*)(ii)求i=1 ''【答案】(I)a=3【答案】(I)a=3n+1 b='3x2n(II)ac(i) 2" 2"-1)=9x4n—1(ii)藝ac(ngN*藝ac(ngN*)-27x22n-1+5x2n-1-n-12(ngN*)iii=1【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛“n1的公差為d，等比數(shù)列｛bn1的公比為q.]6q—2(4+d)-2—6+2dI6q2—2(4+2d)+4—12+4d依題意得〔a—4+(n—1)x3=3n+1 b=■6x2n-i=3x2n所以，'n1的通項公式為an―3n+1,｛”的通項公式為L"2"(c-1)=a(b-1)=(3x2n+1)(3x2n-1)=9x4n-1所以，數(shù)列2n所以，數(shù)列2n2n-1 a的通項公式為2n■-1)=9x4n-12n光ac工ra+光ac工ra+a(c-1)]-￡a+￡a(c-1)ii iii i 2i2i(ii)i=1 i—1 i―1 i—1x22n-1+5x2n-1)+9x4-4'-n1-4―27x22n-1+5x2n-1-n-12(ngN*)高頻考點二錯位相減求和【例2】(2020?新課標口)設(shè)｛an｝是公比不為1的等比數(shù)列，&為a2,a3的等差中項.(1)求｛Q｝的公比;n(1)求｛Q｝的公比;n(2)若a=1,求數(shù)列｝的前幾項和.1 n【答案】(1)-2；(2)S=J(1+3〃)(-2)”n9【解析】(1)設(shè)｛〃｝的公比為夕，。為的等差中項,n 1 2 3\o"CurrentDocument"2a-a+a.aw0,「./+q—2=0,1 2 3 1.?qW1?q——2..(2)設(shè)｝的前〃項和為S,a =(—2)〃-1,? n W1 nS—1x1+2x(—2)+3x(—2)2++一2)〃-1,(T)n—2S—lx(—2)+2x(-2)2+3x(-2)3+ —1)(—2)?-i+n(—2)?,②n???①一②得，3s=1+(-2)+(-2)2++(-2)?-i-n(-2)?n1—(—2)〃1一(—2)1—(1+3幾)(—2)〃_1_(1+32(—2)，TOC\o"1-5"\h\zn 9【舉一反三】(2020?新課標ni)設(shè)數(shù)列｛叫滿足%=3,an+i=3an~4n.(1)計算％,%，猜想｛為｝的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列｛2〃%｝的前為項和S〃.\o"CurrentDocument"【答案】(1)a=5,〃=7,a=2n+l,證明見解析；(2)S=(2〃—l)2+i+2.2 5 n n【解析】\o"CurrentDocument"(1)由題意可得〃=3〃一4=9-4=5,a=3a-8=15-8=7,2 1 3 2由數(shù)列｛〃｝的前三項可猜想數(shù)列｛〃｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即。=2n+l

n n n證明如下：當(dāng)〃時，4=3成立;

假設(shè)n=k時，ak=2k+1成立.那么n—k+1時，ak]=3aJ4k=3(2k+1)—4k—2k+3=2(k+1)+1也成立.則對任意的neN*，都有%=2n+1成立;(2)由(1)可知，a-2n=(2n+1>2nS=3x2+5x22+7x23+ +(2n-1>2n-1+(2n+1>2n，①2S=3x22+5x23+7x24++(2n-1>2n+(2n+1>2n+1，②由①—②得：一S—6+2xQ2+23++2n)—(2n+1>2n+1n22x(1—2n-1) 「-、--—6+2x —(2n+])?2n+1=(1—2n)?2n+1—21—2即S=(2n—1)?2n+1+2.【舉一反三】(2019?高考天津卷)設(shè)｛aj是等差數(shù)列，｛%｝是等比數(shù)列，公比大于0.已知4=b1=3,b2=a3，b3=4a2+3.(1)求｛a/和］b〃｝的通項公式；In為奇數(shù)，⑵設(shè)數(shù)列｛c〃｝滿足C=1b,n為偶數(shù).求a1c1+a2c2+…+a?f2n(nGN*)?n[3q[3q=3+2d,13q2=15+4d,解得【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，等比數(shù)列｛bn｝的公比為q.依題意，得d=3,<故a=3+3(n—1)=3n,b=3義3n-1=3n.q=3, n n所以｛an｝的通項公式為an=3n,｛bn｝的通項公式為bn=3n.(2)a1c1+a2c2+…+a2<c2n=(a1+a3+%+.?.+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nb),n(n—1) ],“_, . . , 、=nx3+ x6+(6*31+12義32+18*33+…+6n*3n)=3n2+6(1*31+2*32+…+n*3n).記T=1義31+2*32+…+nx3n，①n則3Tn=1x32+2x33+...+n義3n+1,②(2n—1(2n—1)3n+1+32所以由C1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6T=3n2+3義(2n—1)3n+1+32(2n—1)3n+2+6n2+9

2(nGN*).3(1—3n)②一①得，2Tn=—3—32—33—…—3n+n*3—— — +n*3…【方法技巧】(1)如果數(shù)列｛與｝是等差數(shù)列，｛幺｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛an.幺｝的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)歹U｛bn｝的公比，然后作差求解.(2)在寫出“SJ與“公丁的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn—qSn”的表達式.(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.同時要注意等比數(shù)列的項數(shù)是多少.【變式探究】(2020?河南省鄭州市模擬)已知數(shù)列｛an｝中，4=1,an>0,前n項和為Sn,若an=\瓦+--.國二(nGN*,且n>2).(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；(2)記cn=an-2an，求數(shù)歹ij｛cn｝的前n項和Tn.【解析】(1)在數(shù)列｛an｝中，an=Sn—Sn―1(n>2)①，因為an=廄+--JS匚②，且an>0，所以①+②得-廄一\S3=1(n>2),所以數(shù)列｛?成｝是以=3=1為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以、；S=1+(n—1)x1=n，所以Sn=n2.當(dāng)n>2時，a=S—S==n2—(n—1)2=2n—1，nn n—1 、 /當(dāng)n=1時，%=1，也滿足上式，所以數(shù)列｛an｝的通項公式為an=2n—1.(2)由(1)知，an=2n—1，所以cn=(2n—1)x22n-1，則7；=1*2+3*23+5義25+...+(2n—1)x22n-1，4Tn=1x23+3x25+5x27+...+(2n—3)x22n-1+(2n—1)x22n+1，兩式相減得，一3Tn=2+2(23+25+...+22n-1)—(2n—1)22n+1，8(1—22n—2)=2+2x14 —(2n—1)22n+110,<5J=—3十乜一2nJ22n+1，crtsI (6n—5)22n+1+10所以Tn= 9 .高頻考點三 裂項相消求和

, r b【例3(2020?浙江卷)已知數(shù)列｛an｝,｛bn｝,｛cn｝中，4=b1=c1=L;=a+1-an，cn討二1,c,neN*).n+2(I)若數(shù)列U｛bn｝為等比數(shù)列，且公比q>°，且b1+b2=6b3,求q與an的通項公式；(II)若數(shù)列｛勿｝為等差數(shù)列，且公差d>0，證明：c+c++c<1+-.n 1 2 nd1 4n-1+2【答案】(I)q=,a=---.；(II)證明見解析.2n3【解析】(I)依題意b=1,b=q,b=q2,而b+b=6b,即1+q=6q2,由于q>0,所以解得q=11 2 3 1 2 3 2所以b=-1.n2n-1所以b=—，故c=斗L.c=4?c，所以數(shù)列｛c｝是首項為1,公比為4的等比數(shù)列，所n+22n+1 n+1 1nn nn+1以c=4n-1.所以a-a=c=4n-1(n>2,neN*).n+1 nn,， ， 4n-1+2TOC\o"1-5"\h\z所以a=a+1+4+—+4n-2= .n1 3(II)依題意設(shè)bn=1+(n-1)d=dn+1-d，由于%二b~n n+2所以￡-=Tn=1(n>2,neN*)cn-1 b+1_c c-故c_c c-故c=n—,-n-F?

nc cn-1 n-2bb一?f?cbb14 3,—3,-2?c=-n-1,-n-2,-n-3?cc1bbb2 1 n+1 n n-1bb 1+d(bb 1+d(1二12二 -bb1dIbbn+1t1+11(>A)

nn+1所以c1+所以c1+c2+(1、

1+-bn+1由于d>01=1,由于d>01=1,所以z?1 n+1(IV所以1+二1-

ld)\1bn+l1+7【舉一反三】【2019?浙江卷】設(shè)等差數(shù)列｛"J的前幾項和為S〃，“3=4,"4=83,數(shù)列出」?jié)M足:a一人〃eN*,S+b,S+b,S+b4斤a「生自對每個 nnn+ln〃+2 〃成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列'J'｛"J的通項公式;+c<eN*.nC=+c<eN*.n(ID記”證明：Cl+C2+a=2(zi-l)b=n\n+l)【答案】(I)〃 ，n ；(II)【答案】(I)【解析】(D設(shè)數(shù)列｛"J的公差為d,由題意得a+2d=4,Q-\-3d=3a+3d解得0,"=2從而，=2n-2,neN*從而，=2n-2,neN*=幾2一小所以〃由SJ"jS用+%,S.+2+bn成等比數(shù)列得(s+8?=(s+8)(s+b)n+ln nnn+2n.b=-(S2-SS)解得八dn+ln"+2b所以b所以=n2+n,neN*(II)我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.2n-22〃(〃+l)(II)我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.2n-22〃(〃+l)n-1 7 eN*n(n+l)(i)當(dāng)兒二1時，Cp0<2,不等式成立；n=kQgN*) c+c++c<(ii)假設(shè) 時不等式成立，即12k那么，當(dāng)〃二女+1時，

24k+2\k+24k+2\k+<2\；k+-^=2=2、k+2(\；m—、工)=2x171kk+1+v'k即當(dāng)n=k+1時不等式也成立.根據(jù)⑴和(ii),不等式ci+c2