小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)若干問(wèn)題的思考與實(shí)踐（上）

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)若干問(wèn)題的思考與實(shí)踐（上）

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，計(jì)算教學(xué)本是一個(gè)內(nèi)容及其結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定的領(lǐng)域，幾十年來(lái)，基本上一直是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算.計(jì)算教學(xué)內(nèi)容的改革趨勢(shì)也比較明顯，容易形成共識(shí)，主要是適當(dāng)?shù)刂鸩骄?jiǎn).從降低繁雜的整數(shù)、小數(shù)四則運(yùn)算要求，到控制分?jǐn)?shù)的分母、分子的取值范圍，以及降低分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的要求.與20世紀(jì)80年代相比，已經(jīng)精簡(jiǎn)了不少.盡管如此，仍然還有繼續(xù)精簡(jiǎn)的空間.因?yàn)樯鐣?huì)在不斷發(fā)展，對(duì)計(jì)算技能的需求也在逐漸變化.目前的初中生平時(shí)大多用計(jì)算器完成作業(yè)中的計(jì)算，這一變化態(tài)勢(shì)，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的口算、估算教學(xué)影響不大，但筆算教學(xué)如何順應(yīng)發(fā)展，卻是我們無(wú)法回避，必須回應(yīng)的.這些“教什么”、“為什么教”的問(wèn)題，需要專題研討僅從“怎么教與學(xué)”的視角，探討幾個(gè)問(wèn)題.一、算法多樣化的多義性算法通常是指可以解決一類問(wèn)題的完整步驟和計(jì)算序列，即在有限步驟內(nèi)求解某一類問(wèn)題的一系列清晰指令或者操作規(guī)則的集合.在本文中，算法只是作為整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計(jì)算方法的簡(jiǎn)稱.1.算法推導(dǎo)的多樣性早在上世紀(jì)80年代，筆者撰寫的《計(jì)算教學(xué)》一書中，就有大段闡述.以分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則為例，“顛倒相乘”的導(dǎo)出，有著各具特點(diǎn)、利弊的多種途徑，可供教師選擇.推導(dǎo)一情境引入：小明騎自行車小時(shí)行8千米，1小時(shí)行多少千米？根據(jù)路程、時(shí)間與速度之間的關(guān)系，列出算式8÷.著重啟發(fā)學(xué)生搞清“小時(shí)行8千米”的含義，是把1小時(shí)行的路程平均分成3份，其中2份是8千米.可以畫線段圖表示：學(xué)生容易想到，先求2份中的1份是多少，再求3份是多少，即8÷2×3.推導(dǎo)過(guò)程是：由此發(fā)現(xiàn)除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù).這是當(dāng)年教材采用的推導(dǎo)方法，主要優(yōu)點(diǎn)：一是借助情境，比較直觀，易于理解；二是便于算法、算理與應(yīng)用結(jié)合.第一點(diǎn)是顯然的；第二點(diǎn)的理由是，成人解決上述問(wèn)題大多心算8÷2×3，這也正是顛倒相乘后的約分過(guò)程：所以，推導(dǎo)過(guò)程與筆算過(guò)程及實(shí)際應(yīng)用的心算一致.如此推導(dǎo)的思路類似傳統(tǒng)的“歸一問(wèn)題”的解題思路，所以教師們常稱之為“歸一法”.它的不足在于：推導(dǎo)過(guò)程的理解依賴于傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)除法的意義“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”，與教材給出的分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法統(tǒng)一的意義“已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算”聯(lián)系不夠緊密.那么，能否由除法統(tǒng)一的意義“乘法的逆運(yùn)算”導(dǎo)出呢？推導(dǎo)二從中發(fā)現(xiàn)：如果分母相同，也能分子相除、分母相除.這種推導(dǎo)方法具有明顯的優(yōu)點(diǎn)：依據(jù)運(yùn)算定義，順理成章（常有學(xué)生稱它為“還原法”）.不足也同樣明顯：較為抽象，較為復(fù)雜，且推導(dǎo)與應(yīng)用脫節(jié).那么，有沒有比較簡(jiǎn)捷的推導(dǎo)方式呢？推導(dǎo)三先口算，其中有幾題“積是1”、“除數(shù)是1”的乘、除法題目.小結(jié)：倒數(shù)概念，除數(shù)是1的除法特性.這種推導(dǎo)方法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單明了，趣味性強(qiáng)（學(xué)生常常將它命名為“轉(zhuǎn)化法”）.它的缺點(diǎn)在于推導(dǎo)與應(yīng)用缺乏聯(lián)系，并且理論上有一定的缺陷.因?yàn)樵谒阈g(shù)理論中，通常將分?jǐn)?shù)除法的算法作為它的定義，有了定義才能將除法的基本性質(zhì)由整數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在定義由性質(zhì)導(dǎo)出，邏輯上存在“循環(huán)”.很自然產(chǎn)生追問(wèn)：有沒有基于逆運(yùn)算，又無(wú)明顯理論缺陷的推導(dǎo)方式呢？推導(dǎo)四這樣推導(dǎo)的優(yōu)勢(shì)很多：列式基于“逆運(yùn)算”；推導(dǎo)比較簡(jiǎn)明；推導(dǎo)的依據(jù)“等式基本性質(zhì)”可以視為公理，避免了數(shù)系擴(kuò)充問(wèn)題；便于統(tǒng)一解決某些實(shí)際問(wèn)題的思路.問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)教師一時(shí)不太習(xí)慣.有必要指出，本文重提推導(dǎo)方法的種種變式，并非提倡“算法推導(dǎo)多樣化”，而是肯定其背后的核心教學(xué)思想：遵循啟發(fā)式教學(xué)原則，酌情適應(yīng)兒童的想法，因勢(shì)利導(dǎo).2.計(jì)算方式的多樣性人民教育出版社于1994年翻譯出版的《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》一書的作者認(rèn)為：“當(dāng)某人為了求得一個(gè)問(wèn)題的答案而需要進(jìn)行計(jì)算時(shí)，他應(yīng)該意識(shí)到選擇方法.”（見下圖）不難看出，崇尚實(shí)用主義的美國(guó)人看重的是從實(shí)際需要出發(fā)，選用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方式.他們強(qiáng)調(diào)的是計(jì)算方式的多樣化，與我國(guó)目前流行的計(jì)算方法多樣化具有實(shí)質(zhì)性的差異.如果將這一計(jì)算方式選擇圖套用于我國(guó)現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，那么應(yīng)該再加幾個(gè)“箭頭”（見下頁(yè)圖）.這是因?yàn)椋何覀兪窃谡莆栈究谒愕幕A(chǔ)上學(xué)習(xí)筆算的，因此所謂筆算，實(shí)際上是口算（心算）筆記；非常重視對(duì)某些筆算實(shí)施簡(jiǎn)便運(yùn)算；迄今計(jì)算器主要用來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果正確與否.3.計(jì)算方法的多樣性這是當(dāng)下比較主流的觀點(diǎn)，其落腳點(diǎn)是“讓學(xué)生自己選擇”，“喜歡哪種算法就用哪種算法”.實(shí)際效果往往并不都能如愿.以20以內(nèi)退位減法為例.算法一：“想加算減”15-7=？想：7+（）=15上世紀(jì)七八十年代的小學(xué)數(shù)學(xué)教材曾主導(dǎo)這一算法.有學(xué)者批評(píng)它是數(shù)學(xué)家才能想到的方法.教師們通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生知道方法，但想不出7加幾是15，所以知道方法也沒用.顯見，“想加算減”方法的掌握取決于20以內(nèi)進(jìn)位加法的熟練程度.針對(duì)這一弱點(diǎn)，上世紀(jì)九十年代的教材鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)擺弄小棒，探尋其他算法，主要有以下兩種.算法二：“破十法”即15-7=15-5-2只要給學(xué)生1捆5根小棒，讓他們從中拿走7根，學(xué)生自發(fā)想到的操作方法基本上可歸結(jié)為這兩種算法.也就是說(shuō)，它們是學(xué)生通過(guò)操作能夠自己得出的計(jì)算方法.然而，無(wú)論是“破十”還是“連減”，都要三步（先拆數(shù)，再兩步口算）才能完成，學(xué)困生難以內(nèi)化，一時(shí)難以真正掌握.有教師經(jīng)過(guò)多次實(shí)踐、比較，發(fā)現(xiàn)還是“想加算減”更適合這部分學(xué)生.相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策是，適當(dāng)延長(zhǎng)20以內(nèi)進(jìn)位加法的練習(xí)時(shí)間，待學(xué)生看到7+（）=15，能很快作出正確反應(yīng)后，再來(lái)學(xué)習(xí)20以內(nèi)退位減法.問(wèn)題迎刃而解了.15-7的其他算法，例如，從15倒數(shù)7次；由17-7=10，推出15-7=8；把減數(shù)看成10進(jìn)行轉(zhuǎn)化，15-7=18-10（自發(fā)地運(yùn)用了“被減數(shù)、減數(shù)增加相同的數(shù)，差不變”的規(guī)律），等等.實(shí)際上是個(gè)別早已會(huì)算的學(xué)生，在教師“還有什么方法”的一再追問(wèn)下，挖空心思想出的“怪招”，以迎合教師的需要，博得教師的表?yè)P(yáng).事實(shí)上，他們自己也不會(huì)采用.進(jìn)一步研究表明，“喜歡哪種算法就用哪種算法”之所以常常流于形式，得不到落實(shí)，原因主要有兩個(gè)：其一，并不是所有學(xué)生都希望擁有自我選擇權(quán)，部分學(xué)生不知道哪種算法適合自己；其二，選擇不同算法需要跟進(jìn)不同的輔助練習(xí).例如，“破十”的輔助練習(xí)：目前的教材，很少有這樣的配套練習(xí)，如果教師不加補(bǔ)充，學(xué)生自己選擇算法自然難以有效落實(shí).4.算法表征的多樣性已有地方性教材在這方面做了一些探索.以一位數(shù)與兩位數(shù)相乘為例.顯然，以上種種都只是同一種算法的不同表現(xiàn)形式.嚴(yán)格地說(shuō)，算法推導(dǎo)多樣性、算法表征多樣性、計(jì)算方式多樣性，與算法多樣化都是不同的概念.這些有關(guān)計(jì)算教學(xué)多樣性的不同側(cè)重點(diǎn)，在某種意義上也可以看作“算法多樣化”在不