統(tǒng)計學(xué)概率及概率分布

統(tǒng)計學(xué)概率及概率分布第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4概率與概率分布掌握隨機變量及其概率分布的含義，為推斷統(tǒng)計的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六學(xué)習(xí)目標(biāo)在概率部分，復(fù)習(xí)樣本空間與事件的概念、事件的概率及計算在概率分布部分，復(fù)習(xí)隨機變量的定義、離散型和連續(xù)型隨機變量的概率分布、概率分布的數(shù)量特征，幾種典型的概率分布如0-1分布、二項分布、正態(tài)分布等，以及典型概率分布的應(yīng)用第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4.1概率基礎(chǔ)知識

隨機事件隨機事件的概率第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六隨機事件的幾個基本概念第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六事件的概念事件：隨機試驗的每一個可能結(jié)果例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3(任何樣本點集合)隨機事件：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)必然事件：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7不可能事件：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于6第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六事件與樣本空間基本事件一個不可能再分的隨機事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)樣本空間一個試驗中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，{正面，反面}第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六事件的概率事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計定義和主觀概率定義第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率的古典定義如果某一隨機試驗的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果在每次試驗中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n的比值，記為第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率的古典定義--實例

【例4.1】某鋼鐵公司所屬三個工廠的職工人數(shù)如下表。從該公司中隨機抽取1人，問：（1）該職工為男性的概率（2）該職工為煉鋼廠職工的概率表4-1某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計煉鐵廠煉鋼廠軋鋼廠4400320090018001600600620048001500合計8500400012500第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率的統(tǒng)計定義在相同條件下進行n次隨機試驗，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，趨向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗的次數(shù)正面/試驗次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率的統(tǒng)計定義--實例【例4.2】某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過規(guī)定指標(biāo)，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，試問該廠第一天用電量超過指標(biāo)的概率。解：上個月30天的記錄可以看作是重復(fù)進行了30次試驗，試驗A表示用電超過指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計定義有第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六（三）概率的公理化定義及性質(zhì)

在隨機試驗樣本空間Ω上對每個時間A都有對應(yīng)的實數(shù)P（A），如果這樣的P（A）滿足：1、對于任何事件A，有0≤P（A）≤1；（P(A)≥0）2、必然事件的概率為1，即P（Ω）=1；3、不可能事件的概率為0，即P（ф）=0。（-）4、A1，A2，……Ai為互斥事件，則P（A1+A2+……+Ai）=P（A1）+P（A2）+……+P（Ai）則稱P（A）為事件A的概率第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六全概率公式和貝葉斯公式第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4.2隨機變量及其概率分布

隨機變量的概念隨機變量的概率分布第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4.2.1隨機變量的概念一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X、Y、Z來表示例如：投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六離散型隨機變量隨機變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1，X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六連續(xù)型隨機變量隨機變量X取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4.2.2隨機變量的概率分布

隨機變量可能的取值范圍和取這些值相應(yīng)的概率稱為隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六離散型隨機變量的概率分布列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)pi0第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率密度函數(shù)設(shè)X為一連續(xù)型隨機變量，x為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù)x1<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1到x2的面積f(x)xab概率是曲線下的面積第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4.2.3隨機變量分布的數(shù)字特征在實際問題中概率分布較難確定，而反映隨機變量某些方面特征的數(shù)值，即隨機變量的數(shù)字特征相對較容易估算出來，并且許多問題的解決往往只需知道某些數(shù)字特征在這些數(shù)字特征中，最重要的是期望和方差第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望描述離散型隨機變量取值的集中程度計算公式為第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六離散型隨機變量的方差描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六離散型隨機變量的方差--實例【例4.4】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是個離散型隨機變量，概率分布為如下。計算數(shù)學(xué)期望和方差。X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六連續(xù)型隨機變量的期望和方差連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為方差為第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六4.2.4幾種重要的隨機變量概率分布離散型0-1分布超幾何分布二項分布泊松分布連續(xù)型正態(tài)分布t分布F分布χ2(卡方)分布第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六0-1分布一個離散型隨機變量X只取兩個可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示列出隨機變量取這兩個值的概率第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六超幾何分布設(shè)一批同類產(chǎn)品共N個，其中M個次品，現(xiàn)從中任取n個，則這n個產(chǎn)品中所含次品數(shù)X是一個離散型隨機變量第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二項試驗--貝努利試驗二項分布與貝努利試驗有關(guān)貝努利試驗具有如下屬性每次試驗只有兩個可能的結(jié)果，即成功和失敗重復(fù)n次第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二項分布設(shè)X為n次重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X取x的概率為第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六二項分布--實例例：從一批零件中隨機抽取5件進行檢驗，每次取一件且檢驗后放回。假設(shè)在零件的加工過程中，出現(xiàn)次品的概率為0.05，求5件零件中恰好有x件次品的概率（x=0，1，2，3，4，5）。解可以把抽取5個零件看成是5次獨立試驗。設(shè)抽到次品數(shù)為X，則X服從參數(shù)n=5、p=0.05的二項分布。其概率分布為第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六泊松分布用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一個城市在一個月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)消費者協(xié)會一個星期內(nèi)收到的消費者投訴次數(shù)人壽保險公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六泊松概率分布函數(shù)—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六正態(tài)分布的重要性描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布可用于近似離散型隨機變量的分布例如：二項分布經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)xf(x)第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六概率密度函數(shù)f(x)=隨機變量X的頻數(shù)=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機變量的取值(-<x<)

=總體均值第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六

和對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差計算概率時，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xms一般正態(tài)分布=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用對于一般正態(tài)分布，即X~N(,)，有第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(5X6.2)

x=5=10一般正態(tài)分布6.2=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布00.12.0478第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六t.第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六售機票的學(xué)問資料泛美航空公司新開設(shè)了一條每日往返于芝加哥和愛達荷州首府博伊西之間的航線。在最初的20個航班中，每個航班的75個座位都被全部預(yù)訂出去了。在飛機起飛之前，每個航班都發(fā)現(xiàn)有個別乘客沒來乘機。顯然，坐不滿的飛機會給航空公司帶來經(jīng)濟損失。經(jīng)過對最初20個航班資料的整理，得到如下空座位的頻數(shù)分布：第48頁，共52頁，2023年，2月20日，星期六售機票