以一道三棱柱幾何題為例談?wù)n堂的深度教學(xué) 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選以一道三棱柱幾何題為例談?wù)n堂的深度教學(xué)摘要：以一道三棱柱幾何題為例，讓學(xué)生發(fā)散思維，通過不同的解法，充分體會(huì)向量法與綜合幾何法的共性與差異，從而感悟向量是研究幾何問題的有效工具。關(guān)鍵詞：三垂線定理，向量，空間想象力，深度教學(xué)一、問題的提出通過立體幾何的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，利用類比的數(shù)學(xué)思想方法理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量之間的共性和差異；運(yùn)用向量方法深度研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法之間的共性和差異；運(yùn)用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。二、教學(xué)探究過程（一）研讀課程標(biāo)準(zhǔn) 直觀想象主要表現(xiàn)為:建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物。水平素養(yǎng)直觀想象水平二 能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形；能夠借助圖形提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，能夠借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題。 能夠通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)幾何直觀的作用和意義。在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數(shù)學(xué)問題。水平三能夠在綜合的情境中，借助圖形，通過直觀想象提出數(shù)學(xué)問題。能夠綜合利用圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，理解數(shù)學(xué)各分支之間的聯(lián)系；能夠借助直觀想象建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，并形成理論體系的直觀模型。 能夠通過想象對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀表達(dá)，反映數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，形成解決問題的思路。在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討問題的本質(zhì)及其與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選（二)教材分析本節(jié)課是習(xí)題課，主要解決的是北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《空間向量與立體幾何》第四節(jié)“用向量討論垂直與平行”課后習(xí)題。本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)如何用空間向量解決立體幾何的理論知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)向量方法在立體幾何中的具體作用，并能熟練使用向量。本節(jié)意在培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力和分析觀察問題的能力，把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐中去，為以后的學(xué)習(xí)、研究提供思路與方法。（三）學(xué)情分析高二（3）班是我校的實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生學(xué)習(xí)氣氛濃厚，興趣較高，但在學(xué)習(xí)立體幾何所具備的語言表達(dá)及空間感與空間想象能力相對(duì)不足，部分學(xué)生缺乏系統(tǒng)性的理論分析，在學(xué)習(xí)方面有一定疑惑。（四）設(shè)計(jì)思想本節(jié)課是讓學(xué)生鞏固用向量解決空間幾何中的垂直與平行的知識(shí)，結(jié)合具體事例感知傳統(tǒng)法與幾何法在解決立體幾何問題的優(yōu)缺點(diǎn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，養(yǎng)成積極主動(dòng)、勇于探索、自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和空間想象力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。（五）具體教學(xué)過程 1.復(fù)習(xí)鞏固

上一節(jié)課我們探究學(xué)習(xí)了如何用向量來證明垂直與平行的四個(gè)判定定理和四個(gè)性質(zhì)定理，并引出一個(gè)在解決立體幾何問題中常用的一個(gè)定理——三垂線定理。請(qǐng)同學(xué)們用三種語言來寫出這個(gè)定理，并找兩位同學(xué)在黑板上板演。 三垂線定理：若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的投影，則這兩條直線垂直（如圖1所示）。bacc是b在平面上的投影ca圖1 [設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)，讓學(xué)生鞏固上節(jié)課的理論知識(shí)，為本節(jié)課的練習(xí)做好準(zhǔn)備。]22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 2.動(dòng)手實(shí)踐

[課本P42習(xí)題2—4第3題]如圖2，在空間直角坐標(biāo)系中，有直三棱柱ABCA'B'C'，ACB90，BAC30，BC1，AA' 6，M是棱CC'的中點(diǎn)。證明：AB'A'M。 分析：題目已經(jīng)建好坐標(biāo)系，根據(jù)我們上節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以直接用向量法來證明垂直關(guān)系，也就是說，只要證明AB'M0即可。讓全體同學(xué)在自己的作業(yè)本上書寫具體的圖2證明過程，愿意到黑板上板演的同學(xué)可以自愿來寫。 [學(xué)情預(yù)設(shè)：本題條件清晰明了，屬于簡單題，只要思路清晰，大部分學(xué)生都可以自行解決，做完以后同組之間相互檢查。]

證明：（坐標(biāo)法）M在直三棱柱ABCA'B'C'中，ACB90，BAC30，BC1，AA'6，是棱CC'的中點(diǎn).62

可得AC3，則A0,0,3，'A,0,36，B',1,06，M

,0,0AB'',1,36，A'M

,0,36

2AB''M3310663302AB''A'MAB''A'M證畢.大約七八分鐘，黑板板演的學(xué)生已經(jīng)證明完畢，下面的學(xué)生卻有些按捺不住，通過我下去觀察，他們有的人采用了不同的方法進(jìn)行證明。學(xué)生七嘴八舌地說著“不用建系也能證明”，“用剛學(xué)的三垂線定理就能證”，“老師，我用向量法，但是我可以不求坐標(biāo)”，等等。我心理有些樂開花，一題多解，思維敏捷的學(xué)生能想到不同的證明方法，提供思路給那32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選些領(lǐng)悟較慢的學(xué)生。于是，我讓學(xué)生自己先在作業(yè)本上整理好思路，再到黑板上板演。3.發(fā)散思維

(1）王同學(xué)用向量法證明如下：AA在直三棱柱ABCA'B'C'中，ACB90，BAC30，BC1，'6，M是棱CC'的中點(diǎn).AC3即AA'6,C'B'CB1,C'M1AA'6,A'C'' AC322又AB'AA'A'C'C'B'，A'MA'C'C'MA'C'C'M,A'C'AA',A'C'C'B',C'M'C'B'A'C'M0,A'C'AA'0,A'C'B'0,C'M'B'0AB'A'MAA'A'C'C'B'A'C'C/M

AA'A'C'AA'C'MA'C'A'C'A'C'C'MC'B'A;C'C'B'C'M066COS1800002330AB'A'MAB'A'M證畢.[點(diǎn)撥]巧妙運(yùn)用直三棱柱ABCA'B'C'中的直角關(guān)系，以及RtA'B'C'中的直角關(guān)系，理清思路，準(zhǔn)確無誤地寫出證明過程。

(2）劉同學(xué)用三垂線定理證明如下：連接AC'（如圖3所示），設(shè)AC'A'MN，BAC30，BC1，AA'6，在直三棱柱ABCA'B'C'中，ACB9042022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選M是棱CC'的中點(diǎn).A'C'B'90，即A'C'B''C'又CC' ‘平面AB'C'，則CCB'C'CC'A'C'C’‘

BC’平面ACC'A'AC'為AB'在平面ACC'A'上的投影在長方形ACC'A'中，AA'//C'M圖3AA'N∽C'MNMAA'A'NAN2C'MMNC'NC'2322又AC'AC2CC2'3,A'MA'C2'C'N1,A'N2AC'在A'NC'中，A'N2C'N2A'C2'A'NC'90，即A'NNC'，亦即A'M又AC'為AB'在平面ACC'A''上的投影由三垂線定理知，AB'A'M證畢. [點(diǎn)撥]巧用平面幾何中，相似三角形中對(duì)應(yīng)邊的相似比，確定垂直關(guān)系，將平面幾何與立體幾何結(jié)合來解決問題，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解決問題。[課堂實(shí)況]兩位學(xué)生（班里的數(shù)學(xué)尖子生）約用時(shí)十分鐘證明結(jié)束，并依次稍作講解。其余學(xué)生邊聽講解，邊觀看黑板，體會(huì)這兩種證明思路與方法。我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生懊惱之前學(xué)過的知識(shí)不能靈活運(yùn)用，看了別人的思路自己才豁然開朗，還有的學(xué)生不服氣地說證明過程太繁瑣，還不如第一種向量坐標(biāo)法簡單，等等。不同的學(xué)生反應(yīng)不同，我最后點(diǎn)評(píng)：首先表揚(yáng)這兩位學(xué)生敢于嘗試“一題多解”，并能深度挖掘題目的已知條件，充分利用題目的已知條件。其次聲明，并非過程簡潔的解法就是好的解法，就是我們做52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選題需采納的解法，而真正在考試中，能快速想到并寫出來，而且能得滿分的解法才是最好的解法。最后，鼓勵(lì)全體學(xué)生發(fā)散思維，敢于嘗試，多想多練。學(xué)生的積極性由此調(diào)動(dòng)起來，紛紛思考著是否還有其他解法。4.思考探究

（1）探究一：化三維為二維

在必修2《解析幾何初步》“兩直線的位置關(guān)系”這一節(jié)中，有一結(jié)論：一般地，設(shè)直線l1:yk1xb1，直線l2:yk2xb2，1,k2都存在.若l1 l2，則k1k21；反之，若k1k21，則l1 l2.[啟發(fā)引導(dǎo)]在劉同學(xué)利用三垂線定理的證明過程中，要證A'MAC'，可以采用解析幾何中證明兩直線垂直，只需證明這兩條直線的斜率乘積為-1即可。將直三棱柱ABCA'B'C'中平面ACC'A'放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖4所示：圖4則A，'A,06，C'',36，M,36

2kA'M662，kAC' 622323kA'MAC' 2212A'MAC'（其余證明過程與劉同學(xué)用三垂線定理的證明過程相同）

[設(shè)計(jì)意圖]在學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的同時(shí)，不要忘記鞏固解析幾何的知識(shí)，溫故而知新，全面綜合的把握教材，為我所用。 （2）探究二：補(bǔ)形法

通過平移和解三角形來完成，平移的目的是將角放在一個(gè)三角形中求解，像中位線法、平行四邊形法、補(bǔ)形法尤為常見。[啟發(fā)引導(dǎo)]如圖5所示，通過補(bǔ)形，易證ED'//AB'，圖5DN'//AM'，將異面直線AB'與'AM放在同一個(gè)平面內(nèi)，在DEDN'中，三邊長度都能求62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選解，由此可得出結(jié)論AB'A'M。補(bǔ)形法，通常都必須添加輔助線，并且要經(jīng)過各種手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，它具有較大的靈活性，對(duì)于一些空間立體感不強(qiáng)的學(xué)生而言，會(huì)感到困惑，掌握起來比較困難，此方法是給有興趣深入研究的同學(xué)提供一種解題思路。三、教學(xué)反思 在本次教學(xué)中，對(duì)學(xué)生加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，敢于質(zhì)疑，善于思考，理解概念，把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，明晰算理，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。在高考的立體幾何試題中，其傳統(tǒng)解法做的輔助線多、技巧性強(qiáng)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而向量進(jìn)入高中教材后，為立體幾何增添了活力，將空間元素間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將過去的形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算，化繁難為簡易，化復(fù)雜為簡單，為學(xué)生處理某些立體幾何問題提供了新的視角。借助空間向量這一工具，可以降低思維難度，增加了可操作性，從而減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān)，是他們對(duì)立體幾何更容易產(chǎn)生興趣。向量是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容，是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的概念之一。向量是既有大小又有方向的量，既具有圖形的直觀性，又有代數(shù)推理的嚴(yán)密性，可以在數(shù)量與圖形之間靈活轉(zhuǎn)換，