第3講幾何概型

第3講 幾何概型[學生用書 P182]1．幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度 (面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的概率公式構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）P(A)＝判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×” )(1)在一個正方形區(qū)域內任取一點的概率是零． ( )幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形． ( )(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率． ( )(5)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關． ( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×(教材習題改編)如圖，轉盤的指針落在A區(qū)域的概率為()1B.1A.6911C.12D．18答案：C(教材習題改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是 ( )解析：選A.如題干選項中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為 P(A)3，P(B)＝2，P(C)＝2，P(D)＝1，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．8863(教材習題改編)一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，則某人到達路口時看見的是紅燈的概率是()1B.2A.5534C.5D．5解析：選B.P＝30＝2，故選B.30＋5＋405(教材習題改編)如圖，在一邊長為 2的正方形 ABCD內有一曲線 L圍成的不規(guī)則圖形．往正方形內隨機撒一把豆子(共m顆)．落在曲線L圍成的區(qū)域內的豆子有n顆(n<m)，則L圍成的區(qū)域面積(陰影部分)為()2n4nA.mB.mnnC.2mD．4m解析：選B.S陰影落在L圍成的區(qū)域的豆子數n正方形＝落在正方形中的豆子數m，S所以S陰影＝n×22＝4n.mm與長度、角度有關的幾何概型[學生用書 P182][典例引領](1)(2016高·考全國卷Ⅰ)某公司的班車在 7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在 7：至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()1B.1A.3223C.3D．4(2)在區(qū)間ππ上隨機取一個數x，則cosx的值介于0到1之間的概率為________．－，222(3)如圖所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，則BM<1的概率為________．【解析】 (1)由題意得圖：由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為1.2(2)當－ππ1ππππ≤x≤時，由0≤cosx≤，得－≤x≤－3或≤x≤，根據幾何概型概率公式222232得所求概率為1.3(3)因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝ 3，∠B＝60°，所以BD＝AD＝1，∠BAD＝30°.tan60°記事件N為“在∠BAC內作射線 AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得：30° 2P(N)＝75°＝5.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.在本例(2)中，若將“cosx的值介于0到1”改為“cosx的值介于0到3”，則概率22如何？π π解：當－ ≤x≤時，2由0≤cosx≤23，πππ得－≤x≤－或≤x≤，2 6 6 2根據幾何概型概率公式得所求概率為 23.2.在本例(3)中，若將“在∠ BAC內作射線AM交BC于點M”改為“在線段 BC上找一點M”，則BM<1的概率是多少？解：依題意知BC＝BD＋DC＝1＋3，P(BM<1)＝1＝3－1.1＋32與長度、角度有關的幾何概型的求法解答關于長度、角度的幾何概型問題，只要將所有基本事件及事件A包含的基本事件轉化為相應長度或角度，即可利用幾何概型的概率計算公式求解．要特別注意“長度型”與“角度型”的不同．解題的關鍵是構建事件的區(qū)域(長度或角度)．[通關練習]1．(2017高·考江蘇卷)記函數f(x)＝6＋x－x2的定義域為D.在區(qū)間[－4，5]上隨機取一個數x，則x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2，3]，則所求概率為3－（－2）＝5－（－4）5.95答案：92．如圖所示，在直角坐標系內，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內的概率為________．解析：如題圖，因為射線 OA在坐標系內是等可能分布的，則 OA落在∠yOT內的概率為60°＝1.360°6答案：16與面積有關的幾何概型 (高頻考點)[學生用書 P183]與面積有關的幾何概型是高考命題的熱點， 多以選擇題或填空題的形式呈現， 多為容易題或中檔題．主要命題角度有：(1)與平面圖形面積有關的幾何概型；(2)與線性規(guī)劃交匯命題的幾何概型．[典例引領]角度一 與平面圖形面積有關的幾何概型(1)(2017·考全國卷高Ⅰ)如圖，正方形 ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱． 在正方形內隨機取一點， 則此點取自黑色部分的概率是()1B.πA.481πC.2D．4(2)(2016高·考全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數x1，x2，，xn，y1，y2，，yn，構成n個數對(x1，y1)，(x2，y2)，，(xn，yn)，其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()4n2nA.mB.m4m2mC.nD．n(3)一只受傷的丹頂鶴在如圖所示(直角梯形)的草原上空飛過，其中AD＝2，DC＝2，BC＝1，它可能隨機落在草原上任何一處 (點)．若落在扇形沼澤區(qū)域 ADE以外丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是 ( )A.1－πB.1－π21510π3πC．1－6D．1－10【解析】(1)設正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形內切圓的面積為π，根據對稱性可知，黑色部分的面積是正方形內切圓的面積的一半，π所以黑色部分的面積為.2π根據幾何概型的概率公式，得所求概率2πP＝＝.故選B.480≤xn≤122構成的圖形的面積為S′，所以S′(2)設由構成的正方形的面積為S，xn＋yn＜1＝0≤yn≤1S1π＝m，所以π＝4m，故選C.1 n n(3)過點D作DF⊥AB于點F，在Rt△AFD中，易知AF＝1，∠A＝45°.梯形的面積S1151×(2ππP＝＝×(2＋2＋1)×1＝，扇形ADE的面積S2＝2)×＝，則丹頂鶴生還的概率222445πS1－S2＝2－4＝1－π，故選B.S15102【答案】(1)B(2)C(3)B角度二與線性規(guī)劃交匯命題的幾何概型(2018廣·州綜合測試)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}內隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足y≤2x的概率為()11A.4B.223C.3D．4S陰影1×1×1【解析】依題意作出圖象如圖，則P(y≤2x)＝221.S正方形＝2＝14【答案】 A與面積有關的幾何概型的求法求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結果構成的平面圖形，以便求解．[通關練習]π1．(2018石·家莊市教學質量檢測)如圖，圓C內切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形3AOB內隨機投擲600個點，則落入圓內的點的個數估計值為()A．100B.200C．400D．450解析：選C.如圖所示，作 CD⊥OA于點D，連接OC并延長交扇形于點 E，設扇形半徑為 R，圓Cπr2半徑為r，所以R＝r＋2r＝3r，所以落入圓內的點的個數估計值為 600· ＝400.1 6π（3r）2．在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x＋y≤1”的概率，p2為事件“xy≤1”22的概率，則()11A．p1<p2<2B.p2<2<p111C.2<p2<p1D．p1<2<p2解析：選D.如圖，滿足條件的x，y構成的點(x，y)在正方形OBCA內，其面積為1.事111×11111”件“x＋y≤”對應的圖形為陰影△ODE，其面積為×22＝，故p1＝<，事件“xy≤228822對應的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于1，故p2＞1，則p1<1<p2，故選D.222與體積有關的幾何概型[學生用書 P184][典例引領](1)在棱長為 2的正方體 ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________．(2)在體積為 V的三棱錐 S－ABC的棱AB上任取一點 P，則三棱錐 S－APC的體積大于V的概率是________．3【解析】 (1)正方體的體積為 2×2×2＝8，以O為球心，1為半徑且在正方體內部的2半球的體積為14πr31432π，則點P到點O的距離大于1的概率為1－3ππ2×＝×π×1＝＝1－.3233812(2)由題意可知VS－APC>1，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于VS－ABC3M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，VS－APCS△APCPM1，所以S－ABC＝△ABC＝BN>3VS又PM＝AP，所以AP>1，BNABAB3故所求的概率為23(即為長度之比)．【答案】(1)1－π(2)2123與體積有關的幾何概型求法的關鍵對于與體積有關的幾何概型問題， 關鍵是計算問題的總體積 (總空間)以及事件的體積 (事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求．[通關練習

]一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點

M是

AB的中點，一只蝴蝶在幾何體

ADF-BCE

內自由飛翔，則它飛入幾何體

F-AMCD

內的概率為

(

)3B.2A.4311C.3D．2解析：選D.由題圖可知11313VF-AMCD＝×SAMCD×DF＝a，VADF-BCE＝a，所以它飛入幾3421a34 1何體F-AMCD內的概率為 ＝.13 2判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當題干是雙重變量問題時，一般與面積有關系．當題干是單變量問題時，要看變量可以等可能到達的區(qū)域；若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域．解決幾何概型問題時 ，有兩點容易造成失分(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型；(2)利用幾何概型的概率公式時，忽視基本事件是否等可能．[學生用書 P331(單獨成冊)]11．在區(qū)間[0，2]上隨機地取出一個數 x，則事件“－ 1≤log1x＋2≤1”發(fā)生的概率為2()3B.2A.4311C.3D．4解析：選A.不等式－1≤log1x＋1≤1可化為log12≤log1x＋1≤log11，即1≤x＋1≤2，222222222解得0≤x≤3，故由幾何概型的概率公式得3－03.P＝2＝22－042．在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為()11A.6B.324C.3D．5解析：選C.設AC＝x(0<x<12)，則CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得0<x<4或8<x<12.4＋4 2所以P＝ ＝.12 33.在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為π，若3在圓內隨機取一點，則此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是()3363A．2－πB.4－πC.1－3D．232π3解析：選B.設圓的半徑為r，根據扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝241πr2－3r2＝4πr2－63r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的64概率為S＝4－6 3，故選B.S′ π4．已知平面區(qū)域 D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域 D內任取一點，則取到的點位于直線 y＝kx(k∈R)下方的概率為 ( )11A.2B.323C.3D．4解析：選A.由題設知，區(qū)域D是以原點為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖，所求概率為1.25.如圖所示，A是圓上一定點，在圓上其他位置任取一點 A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑的概率為 ( )A.1B.32211C.3D．4π解析：選C.當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝3，A′點在A點左右都可取得，2π故由幾何概型的概率計算公式得P＝3＝1，故選C.2π36.某人隨機地在如圖所示的正三角形及其外接圓區(qū)域內部投針(不包括三角形邊界及圓的外界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為________．解析：設正三角形的邊長為a，圓的半徑為R，則正三角形的面積為3a2.4由正弦定理得2R＝a，即R＝3sin60°3a，212所以圓的面積S＝πR＝3πa.32a4 3 3由幾何概型的概率計算公式得概率 P＝ ＝ .3 3答案：7.如圖所示，OA＝1，在以O為圓心，OA為半徑的半圓弧上隨機取一點B，則△AOB的面積小于1的概率為________．41111解析：因為OA＝1，若△AOB的面積小于4，則2×1×1×sin∠AOB<4，所以sin∠AOB<2，π5π1的概率為1.所以0<∠AOB<或π，所以△AOB66<∠AOB<的面積小于43答案：138．一只昆蟲在邊長分別為 5，12，13的三角形區(qū)域內隨機爬行，則其到三角形頂點的距離小于 2的概率為________．解析：如圖，△ABC為直角三角形，且BC＝5，AC＝12.圖中陰影部分是三個分別以A，B，C為圓心，2為半徑的扇形，所以12所以昆蟲到三角形頂點的距離小于2的概率PS陰＝π×2＝2π.2＝S陰＝2π＝π.S△ABC1×12×5152答案：15π9．已知正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為 1，在正方體內隨機取點 M.1(1)求四棱錐 M-ABCD的體積小于6的概率；(2)求M落在三棱柱 ABC-A1B1C1內的概率．解：(1)正方體ABCD-A1B1C1D1中，設M-ABCD的高為h，令1×S四邊形ABCD×h＝1.36因為S四邊形ABCD＝1，所以h＝1.2若體積小于1，61則h<，即點M在正方體的下半部分，1V正方體所以P＝2 ＝1.V正方體2(2)因為V三棱柱ABC-ABC＝1×12×1＝1，11122V三棱柱ABC-A1B1C11所以所求概率P1＝V正方體＝2.10．已知集合 A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，設M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內隨機取出一個元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標的點落在圓x2＋y2＝1內的概率；(2)求以(x，y)為坐標的點到直線x＋y＝0的距離不大于2的概率．2解：(1)集合M內的點形成的區(qū)域面積S＝8.因為x2＋y2＝1的面積S1＝π，S1 π故所求概率為 P1＝ ＝.S 8(2)由題意|x＋y|≤2，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，面積S2＝4，22S2 1故所求概率為 P2＝S＝2.1．已知P是△ABC所在平面內一點，→→→＝0，現將一粒黃豆隨機撒在△ABCPB＋PC＋2PA內，則黃豆落在△PBC內的概率是()11A.4B.312C.2D．3解析：選C.如圖所示，設點M是BC邊的中點，因為→→→PB＋PC＋2PA＝0，所以點P是中線AM的中點，所以黃豆落在△PBC內的概率P＝S△PBC＝1，故選C.S△ABC22．任取實數a、b∈[－1，1]，則a、b滿足|a－2b|≤2的概率為()A.1B.18437C.4D．8解析：選D.建立如圖所示的坐標系，因為 |a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，所以|a－2b|≤2的概率為S陰影＝7.正方形S83．在區(qū)間ππx，則sinx＋cosx∈[1，2]的概率是()－，上隨機取一個數6213A.2B.435C.8D．8ππ解析：選B.因為x∈－， ，6 2ππ3π所以x＋∈，，4124由sinx＋cosx＝2sinx＋π∈[1，2]，4得

2≤sinx＋π≤1，2 4π所以x∈0，2，π－03故要求的概率為ππ＝4.－2 64.我國古代數學家趙爽在 《周髀算經》一書中給出了勾股定理的絕妙證明． 如圖是趙爽的弦圖．弦圖是一個以勾股形 (即直角三角形 )之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成朱 (紅)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實＋黃實＝弦實＝弦2，化簡得：勾2＋股2＝弦2.設勾股形中勾股比為1∶3，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計)，則落在黃色圖形內的圖釘數大約為()A．866B.500C．300D．134解析：選D.設勾為a，則股為3a，所以弦為2a，小正方形的邊長為3a－a，所以題圖中大正方形的面積為2(224a，小正方形的面積為3－1)a，所以小正方形與大正方形的面（3－1）23(小正方形)內的圖釘數大約為3積比為4＝1－2，所以落在黃色圖形1－2×1000≈134.5．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為

0的小球

1個，標號為

1的小球

1個，標號為

2的小球

n個．若從袋子中隨機抽取

1個小球，取到標號為

2的小球的概率是12.(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取 2個小球，記第一次取出的小球標號為 a，第二次取出的小球標號為 b.①記“a＋b＝2”為事件A，求事件 A的概率；②在區(qū)間[0，2]內任取2個實數x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．n 1解：(1)依題意 ＝，得n＝2.(2)①記標號為 0的小球為 s，標號為 1的小球為 t，標號為 2的小球為 k，h，則取出 2個小球的可能情況有： (s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t