求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）類(lèi)型一：觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．類(lèi)型二：累加法：形如型的遞推數(shù)列(其中是關(guān)于的函數(shù))可構(gòu)造:將上述個(gè)式子兩邊分別相加,可得:(1)若是關(guān)于的一次函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;(2)若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;(3)若是關(guān)于的二次函數(shù),累加后可分組求和;(4)若是關(guān)于的分式函數(shù),累加后可裂項(xiàng)求和.類(lèi)型三:累乘法:形如型的遞推數(shù)列(其中是關(guān)于的函數(shù))可構(gòu)造:，將上述個(gè)式子兩邊分別相乘,可得:題型一：觀察法例1．大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（

）A．650B．1050C．2550D．5050例2．已知數(shù)列的前幾項(xiàng)為1，，，…，它的第項(xiàng)是（

）A．B．C．D．例3．已知無(wú)窮數(shù)列滿足，寫(xiě)出滿足條件的的一個(gè)通項(xiàng)公式：___________.（不能寫(xiě)成分段數(shù)列的形式）題型二：累加法例4．已知數(shù)列，若，，則（

）A．2500B．2501C．2502D．2503例5．已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為(

)A．B．C．D．例6．已知滿足，（是正整數(shù)），求．題型三：累乘法例7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類(lèi)推，可以得到高階等差數(shù)列．類(lèi)比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第項(xiàng)是（

）A．B．C．D．例8．（多選）已知數(shù)列滿足,,則（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列例9．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____，______．一、單選題1．?dāng)?shù)列，2，，8，…的第10項(xiàng)是（

）A．B．64C．40D．502．大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22B．24C．25D．263．4．已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為（

）A．，，B．，，C．，，D．，，5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為（

）A．196B．197C．198D．1996．已知數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．2B．C．6D．87．已知數(shù)列滿足=1，，且()，則數(shù)列{}的前18項(xiàng)和為（

）A．54B．3C．D．8．已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．nB．C．2nD．二、多選題9．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．B．C．D．10．下列選項(xiàng)中能滿足數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式的有（）A．B．C．D．11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，，以此類(lèi)推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（

）A．B．C．D．三、填空題12．在數(shù)列中，，，則數(shù)列______．13．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)__________.14．大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則第11項(xiàng)是___________四、解答題15．寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使其前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)3，5，9，17，33，…；(2)，，，，…；(3)5，55，555，5555，…；(4)，－1，，，，…；(5)0，，，，…．16．在數(shù)列中，，，．(1)證明為等比數(shù)列；(2)求.典例展示例1．解：由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.故，例2．例3．解：由猜想.例4．例5．解：因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，將個(gè)式子相加可得，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合題意，所以.例6．解：因?yàn)?，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，則將上述式子相加可得：，因?yàn)椋?，又符合上式，故?shù)列的通項(xiàng)公式.例7．解：記數(shù)列為，設(shè)，則，，，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，.例8．解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，，則當(dāng)時(shí)，，，……，，所有的式子相乘得，即，當(dāng)時(shí)也符合通項(xiàng)，故，數(shù)列為遞增數(shù)列，例9．解：因?yàn)?，且，所以，則當(dāng)時(shí)，．又當(dāng)時(shí)，符合上式，故．由①②得．令，③∴，④得∴．故，則，即．跟蹤檢測(cè)1．解：．2．解：設(shè)該數(shù)列為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以為偶數(shù)數(shù)；所以，3．4．解：因?yàn)?，所以，則當(dāng)，時(shí)，，將個(gè)式子相加可得，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以，，，5．解：設(shè)該數(shù)列為，則；由二階等差數(shù)列的定義可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即，所以將所有上式累加可得，所以；即該數(shù)列的第15項(xiàng)為.6．解：由數(shù)列滿足，可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，所以取最小值為6.7．解：由，則，即，顯然，滿足公式，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，8．解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因?yàn)?，所以，二、多選題9．解：由，可得：，，，，，則即，則，又時(shí)也成立，所以故選項(xiàng)B判斷正確；由，可知選項(xiàng)A判斷正確；令則2兩式相減得故選項(xiàng)D判斷正確；由，可得選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤.10．解：對(duì)A：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式；對(duì)B：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，或，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式；對(duì)C：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式；對(duì)D：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，符合數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項(xiàng)公式；11．解：根據(jù)題意可知從第二層起，某一層的球數(shù)比上一層的球數(shù)多的數(shù)量剛好是其層數(shù)，即，即，對(duì)A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，，，且，所以上述各式相加得，故；?jīng)檢驗(yàn)：滿足，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由選項(xiàng)C可知，則，故D正確.12．解：13．解：由題意可知，滿足，當(dāng)時(shí)，，，以上各式累加得，.，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，∴，則.∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為，∴.14．解：15．解：（4）數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，故通項(xiàng)公式必含有因式．第2項(xiàng)－1改寫(xiě)