數(shù)列求和講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

數(shù)列求和（1）一、分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．常見(jiàn)類型：二、錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．題型一：分組求和法類型一：例1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．4162 B．4157 C．2146 D．2142例2．例3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．類型二：例4．．例5．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.例6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型二：錯(cuò)位相減法例7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例8．已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例9．1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．352 B．401 C．625 D．9132．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)的和為，已知，，當(dāng)時(shí)，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和5．已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.(1)求；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足：.(1)設(shè)，證明是等比數(shù)列；(2)求.8．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．設(shè)數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，.(1)求、的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.11．記為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.12．已知數(shù)列滿足且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．典例參考答案：1．解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為：．2．解（1）證明：因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以是等比?shù)列，首項(xiàng)為，公比；（2）解：由（1）可知，，所以，所以.3．4．解：因?yàn)?，所以?．解：（1）由可知，則化簡(jiǎn)可得：，即，數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，，由可知，，又由為遞增的等比數(shù)列，且，即，解得，.（2）6．解：（1）∵，則有：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，則，兩式相減得，即；注意到，故，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；綜上所述：.7．解：（1），當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，相減得到，即，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.驗(yàn)證時(shí)也滿足，故.（2），，，，兩式相減：，整理得到：8．解：（1）因?yàn)?，所以，，．因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，解得，所以，，．又，是等差數(shù)列.因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）得，所以，①則，②①-②得，所以．9．解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得；所以是，的等比數(shù)列，故．（2）證明：因?yàn)?，所以①，②?-②得所以．因?yàn)?，所以．跟蹤練?xí)參考答案：1．解：令，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，所?由，得，所以，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以的前10項(xiàng)和為.故選：D.2解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有，所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和.故選：A3．4．（1）解：當(dāng)時(shí)，由可得，即，因?yàn)椋?，所以時(shí)也滿足，當(dāng)時(shí)，，所以，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以.（2）解：，對(duì)任意的，，所以，.5．解：（1）因?yàn)椋畹?，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知數(shù)列數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由得，所以，則，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，.6．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由題意，可知，解得：，.（2）由題設(shè)及（1）可知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故，7．解：1）因?yàn)?，，則，兩式相減得：，整理可得，即，于是，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）知，，又，則所以.8．解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，則，即，從而是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，且當(dāng)時(shí)，也滿足，所以故．（2）由（1）可得，則，故．9．解：（1）由，則，即，當(dāng)時(shí)，，得，則，故，因此是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以．（2）結(jié)合（1）可知，，則①，則②，①-②得，故．10．11．解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則①，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即②，因?yàn)?/p>