《簡單的線形規(guī)劃》

簡單的線形規(guī)劃課題：授課教師：季平授課時(shí)間：2004.6..第八章.平面解析幾何

8.19簡單的線形規(guī)劃知識目標(biāo)：

掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，能運(yùn)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實(shí)際問題。能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力和解決實(shí)際問題的能力。情感目標(biāo)：認(rèn)識目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)化問題求解過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本身的簡約美、價(jià)值美。.

我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，今天我們先來復(fù)習(xí)一下怎樣畫出它們表示的區(qū)域。問題：1.什么叫半平面、開半平面、閉半平面？2.二元一次不等式表示的區(qū)域作法、步驟。3.點(diǎn)到直線的距離公式？.答案：1.一條直線把坐標(biāo)平面分為兩部分，每個(gè)部分叫做開半平面，開半平面與這條直線的并集叫做閉半平面。2.步驟：①作出不等式對應(yīng)的直線L:ax+by+c=0。②用點(diǎn)(0,0)代入ax+by+c，判斷值大于還是小于0。③若大于0，則原點(diǎn)所在開半平面是不等式ax+by+c＞0表示的區(qū)域。若小于0，則原點(diǎn)所在開半平面是不等式ax+by+c＜0表示的區(qū)域。3.．

Ax0+by0+cd

=A2+B2

.步驟：1.先作出直線x+y－1=02.用（0，0）來判斷3.結(jié)論yxO11x+y－1=0用（0，0）點(diǎn)來判斷：代入x+y－1，值小于0練習(xí)1.畫出不等式x+y－1≥0表示的區(qū)域。.畫出不等式組3x+2y≤1200x+2y≤800表示的區(qū)域x≥0y≥0練習(xí)2.步驟：1.要一個(gè)不等式不等式作圖2.找出公共部分3.用陰影部分表示.800400400600L1:3x+2y-1200=0L2:x+2y-800=0不等式組所表示的區(qū)域就是圖中陰影所示。.例：某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都需要A、B兩種原料，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要A種原料3千克，B種原料1千克，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要A種原料2千克，B種原料2千克，現(xiàn)有A種原料1200千克，現(xiàn)有B種原料800千克。如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品的利潤是30元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品的利潤是40元，問甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少能使利潤的總額最大？最大利潤是多少？產(chǎn)品原料A數(shù)量（千克）原料B數(shù)量（千克）利潤（元）生產(chǎn)甲種產(chǎn)品一件

3130生產(chǎn)乙種產(chǎn)品一件

2240限額數(shù)量1200800分析：由題意可列表如下：設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品，生產(chǎn)y件乙種產(chǎn)品，則獲得利潤為：f=30x+40y（1）

其中滿足下列條件：3x+2y≤1200x+2y≤800x≥0，x為整數(shù)y≥0，y為整數(shù){.

問題轉(zhuǎn)化為在x、y滿足約束條件（2）下式子30x+40y的最大值。又可轉(zhuǎn)化為在不等式（2）表示的區(qū)域內(nèi)找一整數(shù)點(diǎn)使式子30x+40y取最大值。而不等式（2）表示的區(qū)域我們已經(jīng)在前面畫出來了，我們回到前面去解決這個(gè)問題。

800400400600L2:x+2y-800=0L1:3x+2y-1200=0OBAC.800400400600L2:x+2y-800=0L1:3x+2y-1200=0L0COBA令30x+40y=0，則此表示方程通過原點(diǎn)的一條直線，記為其L0。法向量（30，40）所指的開半平面使30x+40y≥0。讓我們考查在這個(gè)開半平面內(nèi)任意點(diǎn)（x，y）到L0的距離:顯然點(diǎn)到直線的距離越大式子30x+40y的值越大。于是問題就轉(zhuǎn)化為在不等式（2）表示的區(qū)域OABC內(nèi)找與直線L0距離最大的整數(shù)點(diǎn)。.800400400600L2:x+2y-800=0L1:3x+2y-1200=0COBAL0L我們沿向量（30，40）的方向平移直線L0，當(dāng)平移到如圖所示位置L時(shí)，陰影部分OABC內(nèi)的其它各點(diǎn)都在L的同一側(cè)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)使f=30x+40y最大,即利潤取得最大值！.那么怎樣求B點(diǎn)的坐標(biāo)呢？顯然點(diǎn)B是直線3x+2y=1200與x+2y=800的交點(diǎn)。解方程組3x+2y=1200得點(diǎn)B的坐

x+2y=800

標(biāo)為B（200，300），代入f得

fmax=30×200+40×300=18000

答：生產(chǎn)200件甲種產(chǎn)品，300件甲種產(chǎn)品的總額使利潤最大{.本例中，我們把f=30x+40y稱為目標(biāo)函數(shù)，而不等式組

3x+2y≤1200x+2y≤800x≥0，x為整數(shù)y≥0，y為整數(shù)

稱為目標(biāo)函數(shù)的約束條件或可行域。把上面的問題稱為目標(biāo)函數(shù)在約束條件或可行域中的最優(yōu)化問題！這類問題稱為線形規(guī)劃問題。{.課堂練習(xí)1：已知f=2x+y，且x、y滿足約束條件：y≤xx+y≤1求f的最大值。y≥－1{答案：如圖所示.L0：2x+y=0ABCxy=xoyx+y=1y=－1L當(dāng)（x，y）取直線y=－1與直線x+y=1的交點(diǎn)B時(shí)取最大值，交點(diǎn)坐標(biāo)為B（2，1）。fmax=2×2+（－1）=3.課堂練習(xí)2.P60頁練習(xí)3，僅列出表格、目標(biāo)函數(shù)及約束條件。答案：

產(chǎn)品A種礦石（噸）B種礦石（噸）煤（噸）利潤（元）生產(chǎn)甲產(chǎn)品一件1054600生產(chǎn)乙產(chǎn)品一件4491000數(shù)量限額300200360目標(biāo)函數(shù)f=600x+1000y10x+4y≤3005x+4y≤200約束條件4x+9y≤360x≥0，x為整數(shù)y≥0，y為整數(shù).小結(jié)：目標(biāo)函數(shù)在約束條件（可行域）下的最優(yōu)化問題，要掌握：1.幾個(gè)概念：目標(biāo)函數(shù)、約束條件、線性規(guī)劃。2.線性規(guī)劃問題的解法步驟：

（1）審題，設(shè)未知數(shù)；（2）列出目標(biāo)函數(shù)及約束