【課件】任意角的三角函數(shù)+教學(xué)設(shè)計(jì)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析三角函數(shù)是描述客觀(guān)世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)完“任意角和弧度制”后的第一節(jié)新授課,在角由“銳角”到“任意角”的推廣過(guò)程中，研究的視角由“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”，同時(shí)研究的平臺(tái)也由“平面圖形”過(guò)渡到“平面直角坐標(biāo)系”.借助平面直角坐標(biāo)系研究角，一方面引入象限角，使“角”的研究統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“轉(zhuǎn)動(dòng)的邊”的研究，另一方面也提供了用代數(shù)方法研究幾何的思路.角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0°~360°內(nèi)的角，再擴(kuò)充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴(kuò)充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來(lái)表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡(jiǎn)化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來(lái)了方便．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn)．無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．在建立任意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過(guò)程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類(lèi)比、運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法.二、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)1、理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷“單位圓法”定義三角函數(shù)的過(guò)程；2、會(huì)用定義求特殊角的三角函數(shù)值，會(huì)求已知終邊位置的角的三角函數(shù)值；3、會(huì)從函數(shù)三要素的角度認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、自變量（定義域）、函數(shù)值；4、體會(huì)定義三角函數(shù)過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、化歸等思想方法．為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo),確定本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)為:1、重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義；2、難點(diǎn):（1）先要在弧度制下（用單位圓的半徑度量角）實(shí)現(xiàn)角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)，再實(shí)現(xiàn)數(shù)到坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，不是直接的對(duì)應(yīng)，會(huì)造成理解困難；（2）銳角三角函數(shù)的“比值”過(guò)渡到坐標(biāo)表示的比值，需要從函數(shù)角度重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題；（3）求簡(jiǎn)到“單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)”，思想方法深刻，學(xué)生不易理解。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1、學(xué)生在理解用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是學(xué)生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習(xí)慣了直觀(guān)地用有關(guān)邊長(zhǎng)的比值來(lái)表示銳角三角函數(shù)．要克服這一困難，關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值與直角三角形有關(guān)邊長(zhǎng)的比值的聯(lián)系．2、學(xué)生在理解將終邊上任意一點(diǎn)取在終邊與單位圓的交點(diǎn)這一特殊位置上時(shí)，又可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會(huì)認(rèn)為這一特殊點(diǎn)不具有任意性．針對(duì)這一問(wèn)題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)，明白對(duì)于一個(gè)確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會(huì)隨終邊上所取點(diǎn)的位置的改變而改變．3、學(xué)生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時(shí)，還可能會(huì)出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問(wèn)題．要幫助學(xué)生克服這一困難，就要讓學(xué)生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問(wèn)題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒(méi)有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)，同時(shí)還能定義任意角的三角函數(shù)．四、教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過(guò)程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維．五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題師:同學(xué)們，我們知道函數(shù)是描述客觀(guān)世界變化現(xiàn)律的重要數(shù)學(xué)模型之一，如勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)可以用什么函數(shù)來(lái)描述?生:一次函數(shù).師:對(duì)!自由落體運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)呢?生:二次函數(shù)來(lái)描述.師:很好!同學(xué)們，在上學(xué)期我們又學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，它們分別是描述客觀(guān)世界中那些具有“指數(shù)爆炸”、“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.但是，我們也發(fā)現(xiàn)，大到宇宙天體的運(yùn)行，小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，客觀(guān)世界中還存在著大量循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象.比如:(展示幾組圖片及質(zhì)點(diǎn)繞圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà))其中圓周運(yùn)動(dòng)就是一種具有這種現(xiàn)象的重要運(yùn)動(dòng)，其特點(diǎn)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的變化規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢?2、構(gòu)建模型，析出函數(shù)師:看了剛才的動(dòng)畫(huà)演示，我們不難發(fā)現(xiàn)，研究圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵是把握點(diǎn)的位置變化，那么一個(gè)點(diǎn)的位置怎樣才能用數(shù)量進(jìn)行表示呢？生：可以把點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系中，利用點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)量表示。生：把點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系中后，還可以用角來(lái)表示。師：他們回答的真不錯(cuò)！為使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，又不失一般性，我們不妨取圓的半徑等于1，并以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為圓心，今后稱(chēng)這樣的圓為單位圓.那么所謂“尋找描述圓周運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型”，就是當(dāng)點(diǎn)繞單位圓的圓心作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何刻畫(huà)質(zhì)點(diǎn)的位置?（點(diǎn)擊圖1中的“運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P..，質(zhì)點(diǎn)在圓周上勻速旋轉(zhuǎn))師：為研究方便，我們可以把點(diǎn)看成是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，正如上兩位同學(xué)所說(shuō)，點(diǎn)有兩種表示：角與坐標(biāo).（如圖2，拖動(dòng)點(diǎn)，顯示角與坐標(biāo)）師：（拖動(dòng)圖2中的點(diǎn)）請(qǐng)大家注意觀(guān)察，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有哪些量也是變化的呢？它們之間有聯(lián)系嗎？生：點(diǎn)的坐標(biāo)和角都在變化并相互制約.師:能說(shuō)得具體些嗎?（在等待學(xué)生回答的過(guò)程中，繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)）生:每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)角.生:他的意思就是說(shuō)，給一個(gè)點(diǎn)，射線(xiàn)是角的終邊，那么就讓點(diǎn)與角對(duì)應(yīng).師:對(duì)，相當(dāng)準(zhǔn)確!請(qǐng)問(wèn)這種對(duì)應(yīng)是“一多對(duì)應(yīng)”還是“多一對(duì)應(yīng)”？也就是說(shuō)，當(dāng)點(diǎn)確定時(shí)，按照這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，角是唯一確定的呢？還是不確定的？生:不確定啊!，有無(wú)數(shù)個(gè)角都與之對(duì)應(yīng)，它們終邊相同.師:既然這種對(duì)應(yīng)方式無(wú)法確定角，它就不能成為我們需要的函數(shù)模型.怎么辦呢？生:反過(guò)來(lái)看看!師:說(shuō)來(lái)聽(tīng)聽(tīng).生:點(diǎn)由唯一確定!即給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊與它對(duì)應(yīng)，它與單位圓的交點(diǎn)也就隨之確定下來(lái)了.師:太棒了！換句話(huà)說(shuō)，就是對(duì)任意給定的一個(gè)角，單位圓周上就有唯一確定的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，即它們有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系(板書(shū)):射線(xiàn)(終邊)（在幾何畫(huà)板文件中，點(diǎn)擊運(yùn)動(dòng)對(duì)象(如圖3)，讓學(xué)生繼續(xù)觀(guān)察）師:通過(guò)我們大家的共同分析，對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù).作為一個(gè)角的弧度數(shù)，都有(板書(shū)):任意角唯一實(shí)數(shù);①任意角唯一實(shí)數(shù).②師:請(qǐng)大家想一想，它們是函數(shù)嗎？生:是!師:是幾個(gè)函數(shù)呢?生:應(yīng)該有兩個(gè)函數(shù)吧！師:哪位同學(xué)能詳細(xì)說(shuō)一說(shuō)？生:由前面學(xué)習(xí)知道，在弧度制下，任意角的集合是實(shí)數(shù)集，而單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)取值范圍分別是所以，對(duì)于中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，按照上述對(duì)應(yīng)關(guān)系①，都有中唯一一個(gè)數(shù)與它對(duì)應(yīng);同理，對(duì)于中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)，按照上述對(duì)應(yīng)關(guān)系②，都有中唯一一個(gè)數(shù)與它對(duì)應(yīng).由函數(shù)的定義知有兩個(gè)函數(shù).師:太漂亮了!你又幫我們重溫了函數(shù)的概念！3、生成概念，恰當(dāng)命名師:由于函數(shù)①，②刻畫(huà)了做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的變化規(guī)律，那么我們就可以考慮給這類(lèi)重要函數(shù)一個(gè)正式的名稱(chēng)和簡(jiǎn)單的記號(hào).請(qǐng)問(wèn)，給這兩個(gè)函數(shù)分別取什么名稱(chēng)合適呢?用怎樣的符號(hào)表示呢？同學(xué)們不妨相互討論一下.生:還叫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)吧！師:為什么呢?生:因?yàn)樵诔踔袑W(xué)習(xí)過(guò)“銳角三角函數(shù)”，其中就有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，它們也是與角有關(guān)的.所以，我想是否可以繼續(xù)沿用這兩個(gè)名字與表示符號(hào).師(鼓勵(lì)的語(yǔ)氣):好一個(gè)“繼續(xù)沿用”!你難道不想給我們大家一個(gè)“繼續(xù)沿用”的理由嗎?生:…師:請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)討論一下，我們是否可以采用這位同學(xué)的建議，其合理性是什么？生:我們小組認(rèn)為他的建議是合理的.當(dāng)角a是銳角時(shí)(如圖4)，按照初中“銳角三角函數(shù)”的定義有:,即對(duì)上面給出的函數(shù)①、②在自變量時(shí)恰好就是銳角三角函數(shù)，沒(méi)有什么矛盾，這樣叫挺好的.師:大家同意他們的見(jiàn)解嗎？生:同意.師:老師也同意你們的分析與建議.這樣繼續(xù)沿用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的名稱(chēng)與表示符號(hào)，即新、舊協(xié)調(diào)一致，又簡(jiǎn)單、實(shí)用，是個(gè)好主意.那么，就請(qǐng)同學(xué)們完整地給出任意角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義吧!生:設(shè)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么:叫做的余弦，記作;叫做的正弦，記作.它們分別稱(chēng)為的余弦函數(shù)與正弦函數(shù).師(順勢(shì)提出):根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義，大家能說(shuō)出它們的定義域和值域嗎？(給學(xué)生思考一會(huì)兒，利用圖2的課件，慢慢施動(dòng)點(diǎn))生:由上一節(jié)可知，在弧度制下，任意角的集合就是實(shí)數(shù)集.所以，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義域都;而單位圓上每一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍都是，所以它們的值域都是區(qū)間.師:非常好!但我們知道在銳角三角函數(shù)中，除了正弦、余弦，還有正切，你能類(lèi)比得出任意角的正切函數(shù)嗎？生:設(shè)任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么:叫做叫做的正切，記作師:好的，這些函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)它們?yōu)槿呛瘮?shù).師:你能談?wù)劤踔兴鶎W(xué)的銳角三角函數(shù)與現(xiàn)在的任意角的三角函數(shù)在定義和作用上有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？生：銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，而任意角的三角函數(shù)是用函數(shù)的概念來(lái)定義的.生：在運(yùn)算上銳角三角函數(shù)是借助于直角三角形來(lái)運(yùn)算的，而任意角的三角函數(shù)是借助于角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算的.生：在符號(hào)上銳角三角函數(shù)的值全為正，而任意角的三角函數(shù)值可為正為負(fù)，也可為零.師：讓我們回顧一下三角學(xué)的發(fā)展史：1450年以前,三角學(xué)主要是球面三角,后來(lái),由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角.三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)的標(biāo)志是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436)1476)于1464年出版,<<論各種三角形>>,后來(lái),哥白尼的學(xué)生雷提庫(kù)斯(G.J.Rhaeticus,1514)1576)將傳統(tǒng)的圓中的弧與弦的關(guān)系改進(jìn)為角的三角函數(shù)關(guān)系,法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Vieta,1540)1603)總結(jié)了前人的三角學(xué)研究成果,將解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起.總之,16世紀(jì),三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來(lái),成為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支.不過(guò),值得注意的是,這時(shí)所討論的三角函數(shù)僅限于銳角三角函數(shù),而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計(jì)算.17世紀(jì),數(shù)學(xué)從運(yùn)動(dòng)的研究中引出了一個(gè)基本概念.在那以后的二百年里,這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置,這就是函數(shù)的概念.任意角的三角函數(shù)的系統(tǒng)化是在18世紀(jì)的微積分研究中完成的.銳角三角函數(shù)是解三角形的工具;而任意角的三角函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù),是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的最有表現(xiàn)力的函數(shù).另外,從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看,銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系而發(fā)展起來(lái)的,任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的.師：為了“尋找描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型”，我們構(gòu)建起了兩個(gè)新的函數(shù):正弦函數(shù)與余弦函數(shù).它們(即)是質(zhì)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述.由于單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角每隔(即單位圓圓的周長(zhǎng))而重復(fù)出現(xiàn)所以，這兩個(gè)函數(shù)是研究客觀(guān)世界中那些具有循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”.4、變式練習(xí)，辨析概念例1求的正弦值和余弦值.師:求解此題的關(guān)鍵是什么?（學(xué)生先獨(dú)立思考、小組討論.之后由一名學(xué)生板演.）生:關(guān)鍵是根據(jù)定義求解.就是求出的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)如圖5.練習(xí)1填表:學(xué)生小組討論后匯報(bào)了正確答案.例2已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試求角的正弦值和余弦值.學(xué)生討論后得出:通過(guò)相似求出角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義得到角a的正弦和余弦值.變式:通過(guò)例2可知，只要知道角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出角的正弦值與余弦值.你能將這個(gè)問(wèn)題一般化嗎?請(qǐng)給出你的結(jié)論.5、反思凝練，感悟升華師:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲與體會(huì)呢？請(qǐng)同學(xué)們談一談好嗎？生:這節(jié)課我們又學(xué)習(xí)了兩個(gè)新的函數(shù):正弦函數(shù)與余弦函數(shù)