高中數(shù)學(xué)培優(yōu)班第十三講 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

zDBx111112222222空間向量的坐運(yùn)算zDBx111112222222【知識要】1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直1基底叫做單位正交基底，常用表示．2．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)O原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸x軸yz，它們都叫坐標(biāo)軸，則建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)O，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)軸．注：①笛卡爾系．②右手系3．空間向量的坐標(biāo)

O

A

Cy1

y則

①坐a．②向量的坐標(biāo)記法axyjzk③點(diǎn)的坐標(biāo)．兩的距離公：設(shè)點(diǎn)Pxx→Pxxyyzz．12212121

，4．向量的數(shù)量積①向ab夾角，記為：>，0②正射影．③數(shù)量積．

．a(chǎn)bab)為間兩個(gè)向ab數(shù)量積，又稱點(diǎn)乘積，內(nèi)積．性質(zhì)(a)b)（2abba（3b)cacb（4）ab．注abcac．5．向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，axx．111222（1abx1

x21

y21

z2

（2abx1

x21

y21

z2（3）axx,123

（4abxx12

yy12

zz12

6．空間向量平行和垂直的條件，設(shè)向axx111222a1（1ab0)aba2a3（2abab0xxy1212

b1b2b3zz12

0

xyz111xyz222

．【經(jīng)典例題例1已知ABCD為邊長等于1的方形，SA底面ABCD．設(shè)GABC的重心，E是→→SD上一點(diǎn)，且SE=3ED試用基底表示向GE求線段GE的長．SEAG

DB

FC例2已知空間向滿足a4,，試求a2b．→例3在正方體ABCD—ABCD，求：<AC11111

>．D

1

C

1A

1

B

1D

CAB例4已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)（1,－1,7－2,5－3,9ABC的各邊之長求的三個(gè)內(nèi)角的大小寫出的重心坐標(biāo)及外心坐標(biāo)．

→→→→→→→→→例5在如圖所示的正方體AC，已知E、F、G、H分別是CC、BC、CD和C中點(diǎn)．1111證明：AB⊥EH．1

xB

1

A

1

H·

C

1

D

1A

E

D

yz

B

(O)

F

C

G例6試問向是否共面？例7如圖所示，正方形ABCD與方形ABEF邊均為1且平面ABCD⊥面ABEF，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)BF上移動(dòng)，CMBNa0a2求MN的度a為何值時(shí)，MN的長最?。?/p>

CD

M

B

EN【經(jīng)典練習(xí)1．已知O、A、B、C是空間四點(diǎn)，有下列各命題：①若存在實(shí)，OCyOB，則O、A、B、C四點(diǎn)共面；OCxOAyOB

A

F

→→→aabbb→1→4．②若不存在實(shí)，使O、B、C四點(diǎn)不共面；③A構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則O、B、C四點(diǎn)共面；→→→aabbb→1→4．④構(gòu)成空間的一個(gè)基底O四點(diǎn)不共面中正確的

）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)2．下列結(jié)論中，不正確的是（）

D、4個(gè)A、兩個(gè)非零向b垂直的充要條件b1311

b22

b33

B、b．a(chǎn)ba131

22222223123C、兩個(gè)非零向b，則a13Dab0的充要條件a0b

23．已知空間三點(diǎn)x,yx,y，則112333

是AC三點(diǎn)共線的（）A、充分但不必要條件C、充要條件

B、必要但不充分條件D、既不充分也不必要條件4．模等2且方向與向同的向量為．5．已2,為段AB上一點(diǎn)，滿足6．是意的非零向量，且互不共線，則下列四個(gè)命題

，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．①abcca0③cac不c直；

②ab④3a2b3a2b9a

2其中是真命題的有（）A、①②B、②③C、③④D、②④7．如果向滿足260，那

．8．如果4,a2,b1，則a

．9．如果ab2,ab3

，a，則a

，b

．10．已知向ai3k與b4ijk則，．11．已2,c，則

．12．已b

b，ba2

a，b

．13．如圖所示，已知線AB⊥平面CDBC，DF平面，且DCF30→與A在的同側(cè)，若AB=BC=CD=2，的模．ADFBC

14．如圖，點(diǎn)是正ABC平面外的一點(diǎn)，若、F分別是、OC中點(diǎn)，→→試求與BF所成的角．OFA

CE

O′B15．如圖，ABOD與ODEF都是邊長為的正方形，BOOF，點(diǎn)P是AF中點(diǎn)．（1）求OP求異面直線與OP所成的角．zB

y

P

AF

E→16．如圖所示，在正方體BCD，求向量BC與11111

AC→

OD的夾角的大?。瓺1

xC

1A

1

B

1D

C17．如圖所示，已知空間四邊形的條邊和對角線長都等于1EAB、AD→→→→→的中點(diǎn)，計(jì)算（1EF（2BD（3DC．OE

FB

DC

→11→1118．如圖所示,已知平行六面體BCD，AB=4，AD=3