三角函數(shù)的發(fā)展史

三角函數(shù)的發(fā)史“三角學(xué)”trigonometrytrigonometrieTrigonometrie，都來自拉丁文trigonometria?，F(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見於希臘文。最先使用trigonometry這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯(BartholomeoPitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作<<三角學(xué):解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理>創(chuàng)造了這個(gè)新詞它是由τριγωυου(三角學(xué))及μετρειυ(測(cè)量)兩字構(gòu)成的原意為三角形的測(cè)量或者說解三角形古希臘文裏沒有這個(gè)字原因是當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒有形成一門獨(dú)立的科學(xué)而是依附於天文學(xué)因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實(shí)用基礎(chǔ)。早期的解三角形是因天文觀測(cè)的需要而引起的還在很早的時(shí)候由於墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移；后來，貿(mào)易的發(fā)展和求知的欲望，又推動(dòng)他們?nèi)ラL途旅行在當(dāng)時(shí)這種遷移和旅行是一種冒險(xiǎn)的行動(dòng)人們穿越無邊無際荒無人煙的草地和原始森林或者經(jīng)水路沿著海岸線作長途航行無論是那種方式，都首先要明確方向。那時(shí)，人們白天拿太陽作路標(biāo)，夜裏則以星星為指路燈太陽和星星給長期跋山涉水的商隊(duì)指出了正確的道路也給那些沿著遙遠(yuǎn)的異域海岸航行的人指出了正確方向。就這樣最初的以太陽和星星為目標(biāo)的天文觀測(cè)以及為這種觀測(cè)服務(wù)的原始的三角測(cè)量就應(yīng)運(yùn)而生了因此可以說三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的。三角學(xué)題的提出三角學(xué)理論的基礎(chǔ)是對(duì)三角形各元素之間相依關(guān)系的認(rèn)識(shí)一般認(rèn)為這一認(rèn)識(shí)最早是由希臘天文學(xué)家獲得的當(dāng)時(shí)希臘天文學(xué)家為了正確地測(cè)量天體的位置研究天體的運(yùn)行軌道力求把天文學(xué)發(fā)展成為一門以精確的觀測(cè)和正確的計(jì)算為基礎(chǔ)之具有定量分析的科學(xué)們給自己提出的第一個(gè)任務(wù)是解直角三角形因?yàn)檫M(jìn)行天文觀測(cè)時(shí)人與星球以及大地的位置關(guān)系通常是以直角三角形邊角之間的關(guān)系反映出來的在很早以前希臘天文學(xué)家從天文觀測(cè)的經(jīng)驗(yàn)中獲得了這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)球距地面的高度是可以通過人觀測(cè)星球時(shí)所采用的角度來反映的(如圖一)；角度(∠ABC)越大，星球距地面AC)就越高。然而，星球的

高度與人觀測(cè)的角度之間在數(shù)量上究竟怎麼樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學(xué)向數(shù)學(xué)提出的第一個(gè)課題—制造弦表所謂弦表就是在保持不變的情況下可以供查閱的表(如圖二)的長度與∠ABC的大小之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。獨(dú)立三學(xué)的產(chǎn)生雖然后期的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)開始對(duì)三角學(xué)進(jìn)行專門的整理和研究們的工作也可以算作是使三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來的表現(xiàn)但是嚴(yán)格地說他們并沒有創(chuàng)立起一門獨(dú)立的三角學(xué)正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立學(xué)科加以系統(tǒng)敘述的，是德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯。雷基奧蒙坦納斯是十五世紀(jì)最有聲望的德國數(shù)學(xué)家約翰

謬?yán)盏墓P名生於哥尼斯堡年輕時(shí)就積極從事歐洲文藝復(fù)興時(shí)期作品的收集和翻譯工作并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們?cè)谌欠矫娴墓ぷ鞅容^了解。1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發(fā)表了《論各種三角形》。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識(shí)系統(tǒng)地綜合了起來成了三角學(xué)在數(shù)學(xué)上的一個(gè)分支。現(xiàn)代三學(xué)的確認(rèn)直到十八世紀(jì)，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的這也可以說是三角學(xué)的古典面貌三角學(xué)的現(xiàn)代特徵是把三角量看作為函數(shù)看作為是一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發(fā)表著名的《無窮小分析引論》一書，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”具體地說任意一個(gè)角的三角函數(shù)都可以認(rèn)為是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為圓心以某定長為半徑作圓由角的一邊與圓周的交點(diǎn)向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP(即函數(shù)線相互之間所取的比值(如圖八)，sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝MP/OM等。若令半徑為單位長，那麼所有的六個(gè)三角函數(shù)又可大為簡(jiǎn)化。

尤拉的這個(gè)定義是極其科學(xué)的使三角學(xué)從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來使它有可能去反映運(yùn)動(dòng)和變化的過程從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特徵的分析性學(xué)科正如歐拉所說引進(jìn)三角函數(shù)以后原來意義下的正弦等三角量都可以脫離幾何圖形去進(jìn)行自由的運(yùn)算一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出這樣就使得從希帕克起許多數(shù)學(xué)家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)，而且大大地豐富了。嚴(yán)格地說，這時(shí)才是三角學(xué)的真正確立?！罢业挠蓙砉迨兰o(jì)到十二世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家對(duì)三角學(xué)作出了較大的貢獻(xiàn)。盡管當(dāng)時(shí)三角學(xué)仍然還是天文學(xué)的一個(gè)計(jì)算工具是一個(gè)附屬品但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由於印度數(shù)學(xué)家的努力而大大的豐富了。三角學(xué)中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進(jìn)的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對(duì)應(yīng)起來的度數(shù)學(xué)家不同把半弦AC)與全弦所對(duì)弧的一半(AD)相對(duì)應(yīng)AC與∠AOC對(duì)應(yīng)(如圖五)造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人稱連結(jié)弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”，是弓弦的意思；稱AB的一半(AC)為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個(gè)詞譯成阿拉伯文時(shí)被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是”dschaib”。十二世紀(jì)，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文，這個(gè)字被意譯成了”sinus”。三角學(xué)輸入我國，開始於明崇禎年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測(cè)》，作為歷書的一部份呈獻(xiàn)給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學(xué)。在《大測(cè)》中，首先將inus譯為”正半弦”，簡(jiǎn)稱”正弦”，這就成了正弦一詞的由來?！跋冶韱柺?/p>

根據(jù)現(xiàn)在的認(rèn)識(shí)，弦表的制作似應(yīng)該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之間的距離。然而，第一張弦表制作者希臘文學(xué)家希帕克(Hipparchus，約前180~前125)是這樣作，他采用的是在同一個(gè)固定的圓內(nèi)，去計(jì)算給定度數(shù)的圓AB所對(duì)應(yīng)的弦的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計(jì)算，而不是靠工具量出弦長來制表的，這正是他的卓越之處希帕克的原著早已失傳現(xiàn)在我們所知關(guān)於希帕克在三角學(xué)上的成就是從公元二世紀(jì)希臘著名天文學(xué)家托勒密的遺《天文集中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實(shí)上不少是他自己的創(chuàng)造。據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的進(jìn)位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份每一小份又等分為60份這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為”partesminutaeprimae”和”partesminutaesecundae”；后來，這兩個(gè)名字演變?yōu)椤眒inute”和”second”，成為現(xiàn)在角和時(shí)間的度量上”分”和”秒”這兩個(gè)單位得起源。建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計(jì)算一些特殊圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長比如60o弧(1/6圓周長)所對(duì)的弦長正好是內(nèi)接正六邊形的邊長它與半徑相等因此得出60o弧對(duì)應(yīng)的弦值是個(gè)半徑單位(半徑長的1/60為一個(gè)單位)用同樣的方法可以算出弧90o弧以及72o弧所對(duì)應(yīng)的弦值(如圖四)有了這些弧所對(duì)應(yīng)的弦值接著就利用現(xiàn)在所稱的”拖勒密定理”來推算兩條已知所對(duì)弦長的弧的”和”與”差”所對(duì)的弦長以及由一條弧所對(duì)的弦長來計(jì)算這條弧的一半所對(duì)的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。補(bǔ)充60制60進(jìn)制以度為單位,將圓周分成360等份,每一份所對(duì)的圓心角叫做1度,1度有60分,1分60秒。在時(shí)間上,1小時(shí)有分,1分60秒。這種進(jìn)制起源於巴比倫是1854年由欣克斯(EdwardHincks,1792-1866)研究泥板上的楔形文字所發(fā)現(xiàn)的,這些泥板是公元前2300-1600的遺物。EdwardHincks是愛爾蘭人,以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱於世。

巴比倫人為什麼用作為進(jìn)位的基數(shù)呢？這是很有趣的問題起后人的種種猜測(cè)。以下我就列舉幾個(gè)有趣的例子。(1)數(shù)學(xué)史家康托爾(MoritzBenediktCantor,1829-1920)認(rèn)為他們最初以360天為一年。將圓周分為360度,太陽就每天行一度。又圓內(nèi)恰好可以連續(xù)作6條等於半徑長的弦,每一條弦所對(duì)的長是度,基數(shù)60或者由此而來。但根據(jù)考證,巴比倫人很早就知道太陽年是日,太陰年(12個(gè)月)是或日,因此這種假說很難成立?？低袪柡髞硪卜艞壛诉@種說法。(2)60這個(gè)數(shù)字的選擇是因?yàn)樗窃S多簡(jiǎn)單數(shù)字……的倍數(shù),從而它的1/2,1/3,1/4,……都是整數(shù)用起來比較方便。這種想法早在希臘時(shí)代的賽翁就已指出,近年來又有勒夫勒等人提倡而有人認(rèn)為這是違反歷史事實(shí)的因?yàn)橛洈?shù)制度不可能由某些學(xué)者為了”科學(xué)目的”自由創(chuàng)造出,而是悠久歷史發(fā)展的結(jié)果。(3)克維奇(G.Kewitsch)在1904年提出,當(dāng)時(shí)兩河流域有兩個(gè)民族,1個(gè)用10進(jìn)制,一個(gè)用6進(jìn)制。兩種制度混合調(diào)和就形成進(jìn)制。10進(jìn)制是容易理解的,因?yàn)槿藗冇?0個(gè)指頭來計(jì)算,而6進(jìn)制是用一只手來計(jì)算5指頭表示1至5,握拳表示6,6以上,就要進(jìn)位了。其實(shí)有幾種意見認(rèn)為是和指算有關(guān)。用手指計(jì)算的確在某些地區(qū)和年代流行過,甚至在近代也是如此。像我國也有”掐指一算”的說法?？傊?對(duì)於基數(shù)的起源,至今還沒有一致公認(rèn)的看法。中國在殷商時(shí)代(公元前16-11世紀(jì)),就開始用干支紀(jì)日、紀(jì)年，從甲子,60一個(gè)循環(huán),周而復(fù)始,叫做六十花甲子。可以說和巴比倫異曲同工不過沒有發(fā)展為進(jìn)位值。希伯諸斯據(jù)說曾編著了第一個(gè)三角函數(shù)表，這個(gè)成就使他贏得了「三角學(xué)之父」的稱謂。三角函數(shù)系統(tǒng)化與規(guī)化雷基奧蒙坦納斯是十五世紀(jì)最有聲望的德國數(shù)學(xué)家約翰謬?yán)盏墓P名他生于哥尼斯堡年輕時(shí)就積極從事歐洲文藝復(fù)興時(shí)期作品的收集和翻譯工作并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家們?cè)谌欠矫娴墓ぷ鞅容^了

解。三角函數(shù)1464年他以雷基奧蒙坦納斯的名字發(fā)表《論各種三角形書中他把以往散