20192020學(xué)年四川省成都市高新區(qū)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含答案及解析)

2019-2020學(xué)年四川省成都市高新區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析只有一項(xiàng)是符合題目要求一、選擇題（每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)【分析】的.1.(5分)【分析】由余弦的2倍公式可得等式為進(jìn)而求出其值.cos-，【解答】解：cos2^--sin【解答】解：cos2^--sin2~^-=cos(2

6 6-A)6兀1

cos =--,3 2故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦的2倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.2.（5分）若xy，z為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）A.若%A.若%>y,B,若%>y,貝Usinx>sinyc.若％〈丁,則x2<.y2D.若三卷<0,則xc.若％〈丁,則x2<.y2D.若三卷<0,則x<yz【分析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解:對(duì)于選項(xiàng)A：%=1,y=0,故工沒(méi)意義，故錯(cuò)誤.y對(duì)于選項(xiàng)B-'TT _TTx=2n,y="-,所以￡in2兀二0<￡irr^-二L，故錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：x=-2,y=-1,則x2>y2,故錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)。:考<0,所以x<y，故正確.Z乙故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，賦值法，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．（5分）等比數(shù)歹也an｝中，若a3=4,則a2?a4=（ ）A．8BA．8B．16C．32D．64由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得。2?。4=5H2，由此能求出結(jié)果.--I【解答】解：???等比數(shù)列｛an｝中，a3=4,.*.?2*?4=叼2=42=16.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．TOC\o"1-5"\h\z（5分）已知sina=3cosa,那么tan2a的值為（ ）A.2 B.-2 C.— D.-~^~4 4【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式即可得出.【解答】解：?.,sina=3cosa,??tana=3.那么tan2a=3!」=7=一且l-tarin1- 4故選：D.考查了推理能力與計(jì)算能力，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（正視圖側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖Q俯視圖A.8 B.8C.8-2tt，一般需從俯視圖【分析】三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖構(gòu)建直觀圖，該幾何體為正方體內(nèi)挖去一個(gè)圓錐.，一般需從俯視圖【解答】解：由題意可知，該幾何體為正方體內(nèi)挖去一個(gè)圓錐，正方體的棱長(zhǎng)為2，圓錐的底面半徑為1，高為2，則正方體的體積為匕=23=8,圓錐的體積為嶺=1?冗?12?2=爸，則該幾何體的體積為V=8-爸，故選：A.【點(diǎn)評(píng)】三視圖中長(zhǎng)對(duì)正，高對(duì)齊，寬相等；由三視圖想象出直觀圖，一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間想象力，識(shí)圖能力及計(jì)算能力．6.（5分）在△A5C中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知」一=—^，則4cosCcosAABC是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可求得sin2A=sin2C,結(jié)合范圍24,2CG（0,2n）,可求2A=2。，或2A+2C=m解得A=C,或4+。=子即可得解.解：；-^二-^,可得acosA=ccosC,cosCcosA；.由正弦定理可得：sinAcosA=sinCcosC,可得：sin2A=sin2C,VA,CE（0,n）,可得：2A,2CE（0,2n）,A2A=2C,或2A+2C=n,???解得A=C,或4+。=.3,即^ABC是等腰或直角三角形.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）隨著“一帶一路”、長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶等發(fā)展戰(zhàn)略的實(shí)施,交通運(yùn)輸發(fā)展的外部環(huán)境和內(nèi)在要求面臨深層次的調(diào)整和變化．內(nèi)河水運(yùn)作為現(xiàn)代綜合交通運(yùn)輸體系的重要組成部分,迎來(lái)了新的歷史機(jī)遇．為做好航道升級(jí)的前期工作,成都市組織相關(guān)人員到府河現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行勘察.現(xiàn)要測(cè)量府河岸邊A,B兩地間的距離.如圖，在B的正東方向選取一點(diǎn)C,測(cè)得CB=2km,A位于C西北方向，A位于B北偏東15°,則A、B兩地間的距離為（ ）【解答】解：在△45。中，依題意知5=工工巨L,。=上二21212 4那么A=TT—B—C二七，由正弦定理得建二BC,sinCsinA又因?yàn)镃B=2km,故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了正弦定理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.（5分）已知m、n是兩條不同直線，a,0是兩個(gè)不同平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A.若m//a,m〃0，則a〃0B.m〃0,n〃0,mua,nua,貝Ua〃0C,若m/n,m華a,nua,則Um〃aD.m〃a,nua，則m/n【分析】對(duì)于A,a與0相交或平行；對(duì)于B,a與0相交或平行；對(duì)于C,由線面平行的判定定理得m〃a；對(duì)于D,m與n平行或異面.【解答】解：由m、n是兩條不同直線，a,0是兩個(gè)不同平面，知：對(duì)于A，若m/a,m〃0,則a與0相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m//0,n//0,mua,nua,則a與0相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若m/n,mUa,nua,則由線面平行的判定定理得m〃a,故C正確;

對(duì)于D，若m〃a,nua，則m與n平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.9.(5分)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式冊(cè)=9.(5分)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式冊(cè)=1

(2n-l)(2n+l)(nGN*),Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，滿足S〃*(nGN*),則n的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】首先把數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求和求出數(shù)列的和，解不等式可得所求最小值.11C2n-1)Qn+1)2'2rl2不等式可得所求最小值.11C2n-1)Qn+1)2'2rl2"十11,1【解答】解：數(shù)列｛知｝的通項(xiàng)公式知由于滿足S〃>3(nGN*),所以盧丁:>二，解得n>4,2n+l9所以n的最小值為5.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消法的求和,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.10.(5分)如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中ABCD是正方形，其余各面都是全等的等邊三角形，E、F、G、H分別為PA、PD、PC、PB的中點(diǎn).在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )①平面￡FG〃平面A5CD；②￡G=/BD；③直線PA〃平面BDG；④直線FH與直線PA的夾角為90°.

A．B．2A．B．2C．3D．4【分析】把幾何體的平面展開(kāi)圖還原得到正四棱錐P-ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是棱PA、PD、PC、PB的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)0,連結(jié)P0,利用面面平行的判定定理、三角形中位線定理、線面平行、線面垂直的判定定理能得到結(jié)果．【解答】解：把幾何體的平面展開(kāi)圖還原得到正四棱錐P-ABCD,點(diǎn)E、F、G、H分別是棱PA、PD、PC、PB的中點(diǎn)，連結(jié)AC、BD,交于點(diǎn)0,連結(jié)P0,對(duì)于A，：點(diǎn)E、F、G、H分別是棱PA、PD、PC、PB的中點(diǎn)，??EF〃AD,FG//DC,,?ADnDC=D,EFnFG=F,??.平面EFG〃平面ABCD，故①正確；對(duì)于②，?二￡是心中點(diǎn)，G是PC中點(diǎn)，.??￡G=Lc,「ABCD是正方形，.，.AC=BD,???￡G=f：BD,故②正確;對(duì)于③，：G是PC中點(diǎn)，0是AC中點(diǎn)，，PA/0G:0Gu平面BDG,：,PA〃平面BDG,故③正確;對(duì)于④，：PA=PC,0是AC中點(diǎn)，，P0±BD又AC±BD,P0nAC=0,P0,ACu平面PAC?，?BD，平面PAC,??PAu平面PAC,ABD.LPA,在^PBD中，F(xiàn),H分別為PD,PB的中點(diǎn)，???FH//BD,?.FH±PA..?.直線FH與直線PA的夾角為90°,故④正確.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查真假命題的判斷,考查面面平行的判定定理、三角形中位線定理、線面平行、線面垂直的判定定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題．M是線段AC（除端點(diǎn)外）上一動(dòng)點(diǎn)，則sin/11.（5分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，的取值范圍．【解答】解：因?yàn)槿切蜛D1C是等邊三角形，所以/口1板苫-，于是sin/AD1M+sin/D1MA=sinZAD1N+sin（^-。）=ginZ^AD1 m又.??/ADrME（0,子），因止匕,因止匕,3豈1口（/自口］七十］「）E3）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，和差公式與輔助角公式，三角函數(shù)值域的求法，考如圖，矩形ABCD（AD<AB如圖，矩形ABCD（AD<AB）的周長(zhǎng)為4,把4ABC沿AC向^ADC折疊后成12．（5分）設(shè)矩形的一條邊長(zhǎng)，由周長(zhǎng)可，再由基本關(guān)系式可得其面積的ZB'=ZD=90°,AD=BC=查學(xué)生的運(yùn)算能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．【分析】由題意可得△B'PC/△DPA可得S△APD=S△B'PC得相鄰的另一條邊長(zhǎng)，求出三角形APD的面積的表達(dá)式，最大值．【解答】解：由題意可得/DPA=ZB'PC（對(duì)頂角相等），B'C，所以△B'PC/△DPA，則PC=AP,S△APD=S△BPC,設(shè)AB=%，由題意可得BC=2-％，設(shè)PC=a，則DP=%-a,在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2,所以(2-%)2+(%-a)2=a2,解得：q=-上也里，所以DP=X-4=?匕2,所以^aADP=AD*DP=—(2-%)?(%-a)=12(2一%)P,xTj=(%+2)+3,

x.所以△）.所以△）PC的最大面積3-2■:可故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等及基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）TOC\o"1-5"\h\z13.（5分）已知sin0-cos0=—，貝ljsin20= .4 一【分析】將等式兩邊平方，整理可得結(jié)果．【解答】解：將sin9-cos。=」兩邊平方可得：sin20+cos20-2sin9cos9=1-sin29=X,4 16所以sin29=-^|,故答案為：-y|.【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)的正余弦的平方和及倍角的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題（5分）已知不等式ax2-bx+2<0的解集為{xIKx<2},則a+b=4.【分析】不等式ax2-bx+2<0的解集是{xIKx<2},故1,2是方程ax2-bx+2=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a,b，即可.【解答】解：由題意不等式ax2-bx+2<0的解集是{xI1<x<2},可知不等式是二次不等式,故1,2是方程ax2-bx+2=0的兩個(gè)根，?，?1+2=且，1X2=--a a??a=1,b=3.a+b=4.故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的解集得出不等式相應(yīng)方程的根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的值．注意總結(jié)方程，函數(shù)，不等式三者之間的聯(lián)系．(5分)如圖所示，體積為16的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上，且AA1=4,則球O的表面積的最小值為24n.【分析】設(shè)底面矩形的一條邊為％，由體積可得底邊的另一條邊長(zhǎng)(用％表示)，由長(zhǎng)方體的外接球的半徑與長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)的關(guān)系可得外接球的半徑R與l的關(guān)系，由均值不等式設(shè)可得R的最小值，進(jìn)而求出球的表面積的最小值.【解答】解：設(shè)BC=%，則由題意可得AB?x?AA1=16,而AA1=4,所以AB=—,x設(shè)球的半徑為R，則4R2=X2+(2)2+42=x2+-^-+16^2：/?紅+16=24,x/VW當(dāng)且僅當(dāng)X2=4時(shí)取等號(hào)，即1=4時(shí)取等號(hào)，X所以外接球的表面積s=4nR2=24n,故答案為：24n.【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體的外接球的半徑與長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)的關(guān)系,及均值不等式的應(yīng)用,和球的表面積公式,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.(5分)已知x=/■是函數(shù)f(x)=2sin(n1+9),(0<^<n)的一個(gè)零點(diǎn)，令an=f(D)+12n-51,(nGN*),Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，則S21=363.【分析】由區(qū)=^為f(%)=2sin(nx+1)的零點(diǎn)，求出么(L-aTT TTS十，f(必二2后》門(江工號(hào))二2c口S兀燈從而得至Uf(x)+f(1-x)=0,再求出an,C-j

利用分組求和計(jì)算數(shù)列｛an｝的前21項(xiàng)和.1 TT解：區(qū)號(hào)為/（%）=2sin（網(wǎng)+村 的零點(diǎn)，則的網(wǎng)個(gè)十機(jī)二皿片。，?「帕（?「帕（0,TT）,.,.產(chǎn),ftx)=2EirL(TTf(x)+f(1-x)=2cosnx+2cos(n-nx)=2cosnx-2cosnx=0,an=于(合)+12〃-5l=2cos^-+12n-51，$2]=〃]+七+***+〃217T 2兀 3JU 47T=2cos +3+2cos +l+2cos +1+2cos$2]=〃]+七+***+〃217T 2兀 3JU 47T=2cos +3+2cos +l+2cos +1+2cos +3+…21212121+2cos&E+35+2cos空駕372121=(2co?+2cos-")+(2cos?空+2cos-")+???+(2cos-"+2cos一些)212121212121+2cos-亞+43皿21=-2+4+361=363.故答案為：363.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，分組求和，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（10分）已知等比數(shù)列｛an｝中，公比q=3,a3是a2,a4-12的等差中項(xiàng).（I）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;（II）求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a3,進(jìn)一步求得a］，則數(shù)歹1」｛an｝的通項(xiàng)公式可求;（II）由（I）中求得的首項(xiàng)與公比，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可.【解答】解：（I）由公比q=3,a3是a2,a4-12的等差中項(xiàng)，1~2q(I)由(I)得，a1=1，q=3..IXCl-3n)3n-l-F3-一，.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題..(12分)已知關(guān)于％的函數(shù)f(x)=3x2-(m+3)x+m(mGR).(I)若關(guān)于x的方程f(x)-2x2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且根大于2,一根小于2,求m的取值范圍；(II)求關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集.【分析】(I)方程f(x)-2x2=0即x2-(m+3)x+m=0,令g(x)=x2-(m+3)x+m,由題意可得g(2)<0,求解關(guān)于m的不等式得答案；(II)分m=3,m<3和m>3三類求解一元二次不等式即可.【解答】解：(1)方程f(x)-2x2=0即x2-(m+3)x+m=0,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一根大于2,一根小于2,令g(x)=x2-(m+3)x+m,則g(2)=4-2(m+3)+m=-2-m<0,即m>-2.??.m的取值范圍為(-2,+8)；(II)由3x2-(m+3)x+m<0,得(x-1)(3x-m)<0.若m=3,不等式化為3(x-1)2<0,xG0；若相<3,則？<1,不等式/(%)<0的解集為(器1)；若機(jī)>3,則不等式/(%)<0的解集為(1,段).綜上，若m=3,不等式f(x)<0的解集為0；若加<3,不等式/(%)<0的解集為吟.1)；'―1若機(jī)>3,不等式/(%)<0的解集為(1,知.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查一元二次不等式的解法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題..(12分)如圖，棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別是正方形ABCD,AA1D1D的中心.(I)求證：直線EF〃平面AA1B1B；(I)求異面直線BC1與CF所成角的大小.【分析】(I)以A為原點(diǎn)，AB為％軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明直線EF〃平面AA1B1B.(II)求出兩=(0,4,4),而=(-4,-2,2)，利用向量法能求出異面直線BC1與CF所成角的大小.平面441當(dāng)5的法向量口=（0，1，0），E（2,2,0）,F（2,2,4），EF=（0，0，4），■■?.?nfEf=0，且EF仁平面AA1B1B，???直線EF〃平面AA1B1B.（II）B（4，0，0），C1（4，4，4），C（4，4，0），F(xiàn)（0，2，2），BC]=（0,4,4），CF=（-4，-2，2），設(shè)異面直線BC1與CF所成角為9，|記布|則COS0 ：--'~~7-=0，IB―|?|CF|

???異面直線所成成與CF所成角的大小為.曰-.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．(12分)已知函數(shù)/(%)=sin2a)%+2J&os2o)%- (3>0)的最小正周期為n.(I)求f(%)的最大值及此時(shí)％的值；若ae( 且/(-^-)=旦，求cosa的值.2 6 2 5【分析】(I)由余弦的2倍角公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(%)=2sin(23%號(hào))可得最小正周期，由題意可得3的值，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值及此時(shí)的％的值.TT Q TT(ID由(I)及橢圓可得可得sin(a+—)=巨，再由a的范圍求出cos(a+--)3 5 3金然后變換。=金然后變換。=(a+—)5 3/，由兩角差的余弦公式可得結(jié)果.(II)由(I)可得了=2sin(2?，(II)由(I)可得了=2sin(2?，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期T=n,3>0,,所以sin(a+-^)=/.【解答】解：(1)/(%)=sin2a)x+2V3cos2cox-V3=sin2a)x-H/3(l+cos2a)x)-/3=sin23%+V^jcos2co%=2sin(2a).x+-^-),--b^-)=2sin(aJ^-)=旦，23 3 5【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的變換及兩角和與差的三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，屬于中檔題.（12分）如圖，在平面四邊形A5C。中，NA5C=且L,AB±AD,AB=2貶.6（I）若AC=2.15,求BC的值；（II）若AD=2,設(shè)NBAC=8,求4ACD的面積的取值范圍.(II)ZABC=—6ACAB???△A5C(II)ZABC=—6ACAB???△A5C中，由正弦定理,得ginZABC-ginZACB，AB-sinZABC'sin/ACB【分析】（1）由已知利用余弦定理，可得BC2+6BC-40=0,解方程即可得到BC的值.73（ID由已知利用正弦定理，可得AC= 、 ，然后求出S人ACD，再結(jié)合9的sint--9）

6范圍，求出△ACD的面積的取值范圍.【解答】解：（I）,,,ZABC=^-,ABLAD,AB=2?46=2713，6???△ABC中