杭州學(xué)軍中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，，，則（）A． B．C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若，，滿足，，.則（）A． B． C． D．4．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)111名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

愛(ài)好

41

21

31

不愛(ài)好

21

21

51

總計(jì)

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”5．4名同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每名同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()A．4種 B．16種 C．64種 D．256種6．用數(shù)學(xué)歸納法證明（，）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A． B． C． D．7．已知隨機(jī)變量滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．8．函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．9．的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，設(shè)，則（）A． B． C． D．10．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，出場(chǎng)順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．11．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，（）A． B． C． D．12．雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為3，則它的虛軸長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，則______.14．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則_______.15．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中,，且，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè).16．已知復(fù)數(shù)z＝2＋6i，若復(fù)數(shù)mz＋m2(1＋i)為非零實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已經(jīng)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，，求的取值范圍.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，證明：.20．（12分）中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國(guó)家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對(duì)國(guó)防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來(lái)越廣泛.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2016年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到2118億元，較2015年約增長(zhǎng).下面是40個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬(wàn)元）的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于500萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)；（2）在上述抽取的40個(gè)城市中任取2個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過(guò)500萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知向量，設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（3）求在上的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

直接由微積分基本定理計(jì)算出可得．【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數(shù)的積分公式是解題關(guān)鍵．2、A【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，計(jì)算，再計(jì)算對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為：故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，，，，，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A5、B【解析】根據(jù)題意，每個(gè)同學(xué)可以在兩個(gè)課外活動(dòng)小組中任選1個(gè)，即有2種選法，則4名同學(xué)一共有種選法；故選B.6、B【解析】

直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫(xiě)出時(shí)左邊的表達(dá)式即可．【詳解】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明，時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證時(shí)是否成立，即不等式為：；故選：．【點(diǎn)睛】在數(shù)學(xué)歸納法中，第一步是論證時(shí)結(jié)論是否成立，此時(shí)一定要分析不等式左邊的項(xiàng)，不能多寫(xiě)也不能少寫(xiě)，否則會(huì)引起答案的錯(cuò)誤．7、B【解析】

利用期望與方差性質(zhì)求解即可．【詳解】；．故，．故選．【點(diǎn)睛】考查期望與方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．8、D【解析】,由于恒成立,所以當(dāng)時(shí),,則增區(qū)間為.,故選擇D.9、B【解析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項(xiàng)公式求出的值.【詳解】令，可得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，，設(shè)，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理求多項(xiàng)式的系數(shù)和，二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個(gè)元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列，利用排列組合的知識(shí)和分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時(shí)對(duì)兩名女歌手進(jìn)行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個(gè)元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列有種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用捆綁法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列數(shù)公式求解排列組合問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.11、B【解析】設(shè)，則，根據(jù)對(duì)稱性，，則，即，故故選：B．12、A【解析】

根據(jù)雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得虛軸長(zhǎng).【詳解】將點(diǎn)代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長(zhǎng)，故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過(guò)程中要注意：虛軸長(zhǎng)是而不是.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

求出向量的坐標(biāo)后，即可求出模.【詳解】解：由題意知，，則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量的模的求解.14、49【解析】

.15、【解析】

根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，從而可得；采用換元的方式可知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與和共有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題；通過(guò)確定和的范圍可確定大致圖象，從而通過(guò)與和的交點(diǎn)確定實(shí)根的個(gè)數(shù).【詳解】有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)不等正根即有兩個(gè)不等正根且，令，則方程的判別式方程有兩解，且，由得：，又且根據(jù)可得簡(jiǎn)圖如下：可知與有個(gè)交點(diǎn)，與有個(gè)交點(diǎn)方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為：個(gè)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查方程解的個(gè)數(shù)的求解問(wèn)題，解決此類問(wèn)題常用的方法是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線與平行于軸直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行求解；本題解題關(guān)鍵是能夠確定極值的大致取值范圍，從而確定函數(shù)的圖象.16、-6【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由虛部為0且實(shí)部不為0列式求解．【詳解】由題意，，解得．故答案為-6.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)①當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，無(wú)遞增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.(2).【解析】

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由于定義域是，可按和分類討論的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）由函數(shù)在處取極值得且可得的具體數(shù)值，而不等式可轉(zhuǎn)化為，這樣只要求得的最小值即可．詳解：（Ⅰ）在區(qū)間上，.①若，則，是區(qū)間上的減函數(shù)；②若，令得.在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；綜上所述，①當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，無(wú)遞增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．（II）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．由已知，則令，則易得在上遞減，在上遞增，所以，即.點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)極值，用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題．不等式恒成立通常通過(guò)分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，，三種情況，即可求出結(jié)果；（2）分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然成立，此時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，此時(shí)解集為空集；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時(shí)解集為空集；綜上，原不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由可得，即，顯然恒成立；所以滿足題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，顯然不能成立，所以不滿足題意；綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于常考題型.19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】

求導(dǎo)后對(duì)參量進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性由極值點(diǎn)求出兩根之和與兩根之積，將二元轉(zhuǎn)化為一元來(lái)求證不等式【詳解】（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，又由于，，故，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，,,故，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由，解得，因此在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，由，知，則，設(shè)，，，則在單調(diào)遞增，即，則，即.【點(diǎn)睛】求含有參量的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類討論，得到在定義域內(nèi)不同的單調(diào)性，在證明不等式時(shí)結(jié)合的根與系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，從而證明出結(jié)果，本題綜合性較強(qiáng)，有一定難度。20、(1)1；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，能求出產(chǎn)值小于500萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)；（2）由Y的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列及期望和方差.詳解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，產(chǎn)值小于500萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)為：[（0.03+0.04）×5]×40=1．（2）Y的所有可能取值為0，1，2．，，．∴Y的分布列為：Y012P期望為：，方差為：．點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布、期望、方差等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.21、(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得an；運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1，即可得到{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）知cn=，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．試題解析：（1）因?yàn)?，，所以為首?xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列，所以又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，…①…②由①-②得，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知，則①②①-②得所以點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn