初中平方根知識(shí)講解

僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人參考不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途平方根（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念算術(shù)平方根的定義x的平方等于ax2

ax叫做a的算術(shù)平方根（0a方根還是0）；a的算術(shù)平方根記作 ，讀作“a的算術(shù)平方根”，a叫做被開方.aa要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子a

a

≥0，a≥0.a平方根的定義a如果x2a，那么x叫做a的平方根.求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為a逆運(yùn).a (a≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為 a(a0)，其中 是a的算術(shù)平方.a知識(shí)點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系aa區(qū)別（）定義不同（2）結(jié)果不同： 和aa（）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．）有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.知識(shí)點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)162500位.例如：62500

250，

25，

2.5，

0.25.6256.250.0625【典型例題】6256.250.0625類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A.5是25的算術(shù)平方根 B.l是l的一個(gè)平方根C.的平方根是D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算術(shù)平方根的定義判定得出正確選項(xiàng)．25因?yàn)?＝5，所以本說(shuō)法正確；251因?yàn)椤?＝±1，所以l是l的一個(gè)平方根說(shuō)法正確；1442160因?yàn)?

＝0，

＝0，所以本說(shuō)法正確；0【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根的定義，關(guān)鍵是明確運(yùn)用好定義解決問(wèn)題．舉一反三：0【變式】判斷下列各題正誤，并將錯(cuò)誤改正：1）9沒(méi)有平方根（ ）（2）

4（ ）161 116（3）

)2的平方根是 （ ）10 10（4）

425是 的算術(shù)平方根（ ）2525【答案】√；×；√；×，16提示2） 4（）216

4的算術(shù)平方根．2、填空：（1）是 的負(fù)平方根．

5 25116116181181（4）若

表示 的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根為 ．x3，則x ，若x

．116x23，則x ．116x2（3）

1 1 1181就是 的算術(shù)平方根＝，此題求的是的算術(shù)平方.18181 9 91 1【答案與解析】(1)16；(2) ;

1(3)

(4)9；±316 4 3【總結(jié)升華】舉一反三：【變式1】下列說(shuō)法中正確的有（ ：①3是9的平方根． ②9的平方根是3．③48864A．1個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)【答案】B；提示：①④是正確的.81360.040.250.36【變式2】求下列各式的值：81360.040.250.3625（1）325

（2）

（3）

（4） 41214121（）1（）15（3）0.（）553、使代數(shù)式x1有意義的x的取值范圍．x1；ax＋1≥0x1.aa【總結(jié)升華】當(dāng)式子a

有意義時(shí)，a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即

≥0，a≥0.舉一反三：x3x3【答案】x3.類型二、利用平方根解方程

有意義，則x的取值范圍是 ．4、求下列各式中的x.1）x23610; （）x

289； ）93x22640【思路點(diǎn)撥】表面上看本題是一元二次方程，但是本題可以通過(guò)開平方的方法（2）小題將x1看作一個(gè)整體，（3）小題將3x2看作一個(gè)整體，求出它們的解后，再求x.【答案與解析】解（）∵x23610 ∴x

361361 ∴x361

19（2）∵x

289 ∴x1

x＋1＝±17 x＝16x＝－18.289x∴64 ∴3x28 ∴x2或x 142899 3 9 9（）類型三、平方根的應(yīng)用5、要在一塊長(zhǎng)方形的土地上做田間試驗(yàn)，其長(zhǎng)是寬的3倍，面積是1323多少米？【答案與解析】x3x，x·3x3x2＝1323x＝－21(舍去)答：長(zhǎng)為63米，寬為21米.【總結(jié)升華】根據(jù)面積由平方根的定義求出邊長(zhǎng)，注意實(shí)際問(wèn)題中邊長(zhǎng)都是正數(shù).（提高【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念12m－43m－1m的值．由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2m＝－（3m－1程即可求解．【答案與解析】解：依題意得2m－＝－3m解得m＝1；m1．【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．舉一反三：2a－1a＋2m的平方根，求m的值.【答案】2a－1a＋2m2a－1a＋2解：①當(dāng)2a－＝－a＋2時(shí)，a＝，所以m＝2a

2121x2x41x②當(dāng)2a－＋（－a＋）0時(shí)，a＝，所以2ax2x41x

[2(1)1]2x1

329(1)

；(2)

；(3)x1

；(4)

x3．【答案與解析】x2解：(1x20xx2

都有意義．x4x40x4x4

有意義．x1xx

解得：

1x

．所以

1x1

x1

11xx10x30

x1

x3．x1x3時(shí)，x1有意義．x3【總結(jié)升華】(1)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為0舉一反三：3a2【變式】已知b3a2

211的算術(shù)平方根．2323a【答案】

20,

a2 b

11

312解：根據(jù)題意，得20.則

，所以3

＝2， ∴a b 2 2 ，11a b∴1111a ba b類型二、平方根的運(yùn)算3、求下列各式的值．2014(1)252242 422014

．21 0.361 900．23 5【思路點(diǎn)撥】（1）首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.（2）注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解：(1)(2)

49 257535；2522424220148141 0.361 900 10.613090.22522424220148143 5 3 5 2a2(1a2初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來(lái)解，熟練后直接根據(jù)

a(a0)來(lái)解．類型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.1）x23610; （）x

289； ）93x22640【答案與解析】解（）∵x23610 ∴x

361361 ∴x361

19（2）∵x

289 ∴x1

x＋1＝±17 x＝16x＝－18.289（3）∵93x22640 ∴3x2264 ∴3x28 ∴x2x142899 3 9 9（）舉一反三：【變式】求下列等式中的x：（1）x2

1.21，則x＝ ； （2）x2

169，則x＝ ；（3）x2

9,則x＝ ； （）若x222，則x＝ ．4（）1.（）13）3（4）2.2類型四、平方根的綜合應(yīng)用25、已知a、b是實(shí)數(shù)，且2a6|b2

|0x的方程(a2)xb2

a1．【答案與解析】2a、b是實(shí)數(shù)，2a6|b2

|0，

2a60，|2a6

2|0，22∴2a60，b 0．2∴a－3，b把a(bǔ)－3b

．22代入(a2)xb2a1x＋2＝－4，∴x＝6．22【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出a、b的值，再解方程．此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù)性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可．舉一反三：【變式】若x21【答案】y1解：由x21y1

0，求x2011y2012的值．y10，得x210，y10，即x1，yy1x＝1，y＝－1x2011y20122．②當(dāng)x＝－1，y＝－1時(shí)，x2011y2012(1)2011(1)20120．6、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2

的長(zhǎng)方形紙片，使它長(zhǎng)寬之比為3:2，請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x (x＞0)cm，則寬為2xcm，依題意得3x2x300.6x2

300.x250.∵x＞0，50∴x .505050

cm.∵50＞49,50∴ 7.5050∴3 2120cm.50400cm220cm,∴長(zhǎng)方形的紙片長(zhǎng)大于正方形紙片的邊長(zhǎng).答:小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.20cm僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenver