上課課件文稿8第八章

正弦量的基本概正弦電流電正弦電流電瞬時值表達(dá)式瞬時值表達(dá)式波形1弦周期T(period)和頻率f(周期T(period)和頻率f(frequency

fT周期T：重復(fù)變化一次所需的時間。單位：s頻率f：每秒重復(fù)變化的次數(shù) 單位：Hz，赫(茲2弦量的三要2弦量的三要⑴幅值(amplitude)(振幅、最大值反映正弦量變化幅度的大角頻率(angular相位變化的速度，反映正弦量變化快慢 2

單位rad/s，弧初相位(initialphaseangle) 反映正弦量的計時起點(diǎn) i一般規(guī)定：|| 例i例

已知正弦電流波形如寫出i(t)表達(dá)式求最大值發(fā)生的時間

i(t)100cos(103t解t050100解由于最大值發(fā)生在計時起點(diǎn)之i(t)100cos(103t3

3當(dāng)103t1 有最大

t1＝1031.47s設(shè) 等于等于初相位之 (180°)>0，u超前角，或 u角(u比i先到達(dá)最大值u,ui

= (180o)，反相u,u,ui =u領(lǐng)先i,不說 i u,iu3/2

0u,ui0

解例計算下列兩正弦量的相位差解例i1(t)10cos(100t3i2(t)10cos(100t

34(2)540 00 0

300(1050)u2(t)10cos(200t4500)i1(t)5cos(100t 0)

不能比較相位i2(t)3cos(100t15000i2(t)3cos(100t0

300(1500)周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了衡量其大小,工程上采用有效值來表示。周期電流、電壓有效值(effectivevalue)直流

交流 I1TT20I1TT20i值定義

W TRi2(t有效值也稱均方有效值也稱均方同樣，可定義電壓有效正正弦電流、電壓的有效TI TT T

2cos2

tΨ)Im Tcos2Im0

tΨ)dt

2

dt12

T1 I 1I2T

Im 2IUU1TT20u(ti(t)Imcos(tΨ) 2Icos(tΨ同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系U 1

U

若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為 Um537V注（1）工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時應(yīng)按最大值考慮。注測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號i,Im,正弦量的相量表11數(shù)及運(yùn)復(fù)數(shù)A的表示復(fù)數(shù)A的表示形

(j 1為虛數(shù)單位 Im b

Aa

A|A|eA|A|ej|A| A|A|ej|A|兩種表示法的關(guān)系兩種表示法的關(guān)系

Im |A

a2

a|A|

θ復(fù)數(shù)運(yùn)復(fù)數(shù)運(yùn)

b|A|

圖解若A1=a1+jb1A2=a2+jb2則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)

乘除運(yùn)算——采用極坐標(biāo) A1=|A1| ，A2=|A2|乘法：模相乘乘法：模相乘，角相

A2

Aej1

Aej2

1212

1 1

|A

|A|ejθ

|A|ej(θ 11 |A|θ |A|ejθ | 11 除法：模相除，角相除法：模相除，角相|A1例|A2例

θ1θ5471025解5471025(3.41j3.657)(9.063解12.47j0.56912.48例220例

(17j9)(4j6)20解原式180.2 解

19.2427.9180.2j126.22.238182.5j132.5 旋轉(zhuǎn)因子：0

A? A?ej 相當(dāng)于A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，而模不變。故把ej稱為旋轉(zhuǎn)因子。幾種不同幾種不同,2

e

j

j j ejcos()jsin()+jj,-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因兩個正弦量的相

i1 2I1cos(t2弦量的相量表i2 2弦量的相量表u,u,0因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，正弦正弦復(fù)換的思造一個復(fù)函

A(t)

2Iej(t

2Icos(t) 2IsintΨ對A(t)取實(shí)部：Re[A(t)] 對于任意一對于任意一個正弦時間函數(shù)都有唯一與其對應(yīng)的i 2Icos(tΨ)

A(t)

A(t)還可以寫

A(t)

2 ejω復(fù)常

2I

jω正弦量正弦量的相量表A(t)包含了三要素：I、、，復(fù)常數(shù)包含了,稱I

為正弦量i(t)對應(yīng)的相i(t)

2Icos(tΨ) I同樣可以建立正弦電壓與相量的對應(yīng)關(guān)系u(t)例例

U解i141.4cos(314t30o 解u311.1cos(314t60o試用相量表示i,u

I10030U22060o例已知I5015 f50Hz例試寫出電流的瞬時值表達(dá)式解i 2cos(314t15)解相量在復(fù)平面上用向量表示相量相量i(t)u(t)U

2Icos(ωt)I2Ucos(tθ) 33同頻率正弦量的加

u1(t)

2U1

u2(t)

2U2cos(t 2) 2U2 u(t)u1(t)u2(t) 2U1 ) 2U2

1 2U11

2U2

)

2(U1U2 可得其相量關(guān)系為

2i1i2=2成對應(yīng)相量的相加減I成對應(yīng)相量的相加減 例1u(t) 2cos(314t30)例1

U630ou(t)

2cos(314t60o)

U460o1212

4605.19j327.19j6.469.6441.9ou(t)u(t)u(t) 2cos(314t41.9o) 2

首尾相也可借助相量圖也可借助相量圖 2 11

2.正弦量的微分，積分運(yùn)i 微分運(yùn)算微分運(yùn)算積分運(yùn)算didRe2Iej積分運(yùn)算

2

idt

I

例 例

i(t)

u(t)RiLdi

CRI 用相量運(yùn)

把時域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算可以把直流電路的分析方法直接用于交流電注注 正弦 相時 頻正弦波形 相量②相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電線N線N線線N線N線不不適③相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路定理的相量形11阻元件VCR的相量形

已知i(t) 時域形式+- uR(t)Ri(t) 時域形式+- 相量形式i相量形式i 相量關(guān)相量關(guān)系R

相量模 R相量模

O瞬時功率pRu瞬時功率

2UR 2Icos2(ωtΨiURI[1cos2(ωtΨ瞬時功率以2交變。始終大于零，表明電阻始終吸收功 22VCR時域形式已知i(t) 時域形式

u(t)Ldi(t)

-

相量形式i相量形式i Ψi+相量關(guān)系相量關(guān)系

jXU -相量模有效值關(guān)系U=相量模相位關(guān)感抗和感納感抗和感納XL=L=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆BL=-1/L=-1/2fL，感納，單位 感感抗的物理意表示限制電流的能力；(2)感抗和頻率成正比 0(直流),XL0,短路,XL,開路相量表達(dá)式 相量表達(dá)式IjBj1 波形圖及波形圖及相量UpL i

功率功率ULIsin2(tΨi瞬時功率以2交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵 33VCR時域形式已知u(t) 時域形式+

則i(tCdu(t)

π π相量形式U相量形式 +IC Ψu+1 相量關(guān)系C相量關(guān)系C-

相量模有效值關(guān)系：相量模相位關(guān)系

XC-1/C，稱為容抗，單位為(歐姆C= 稱為容納，單位為容抗和頻率成反比0|XC|直流開路 高頻短路(旁路作用

相量表達(dá)式 相量表達(dá)式IjBCU波形圖及相波形圖及相量C C

功率pC功率UICsin2(ωt瞬時功率以2交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵 同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計算。因此，在正弦電流電路中，K和可用相應(yīng)的相量形式表示：i(t)u(t)

i(t)Re

2IIejt 上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時仍滿足KC；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KV。例試判斷下列表達(dá)式的正、誤例 (1)UjL i5cost

UC CUUUUmIImm

jCmLm

LuL

LLLL例已知電流表讀數(shù) 例

A2若（1）Z1 Z2

A0

（2）Z1 Z2為何參A0

Z1jXLZ1jXL

Z2為何參數(shù)Z2為何參

＝ A2解解

826210

（2）Z2為電阻

8614

Z2jXCZ2jXC

I0min862 I0I18 I216例u(t)例解解

2cos(5t),求i(t

+ _

jXLj45jXC

C5C

RLIRL

相量模 相量模

+

- j108j6j128j61036.90i(t) 2cos(5t36.90)

3例已知i(t) 2cos(106t150),求:uS(t例

+解解

106相量模 51505相量模

+ 5150

2450 2 su(t)50cos(106ts

CC

例已知UAB50V UAC78V,問：UBC例 C

B

解UAB (30I解

(40I