河北衡水中學(xué)2023屆高三模擬數(shù)學(xué)試題附解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.

2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知有A、B、C、。四個(gè)命題，其中A為B的必要條件，B為C的充分條件，C為O的必要條件，。為

A的必要條件.若增加條件使得A、B、C、。中的任意一個(gè)命題均為A、B、C、。四個(gè)命題的必要條件，則

這個(gè)條件可以為（）.

A.B為C的必要條件B.8為A的必要條件

C.C為。的充分條件D.B為。的必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先由題設(shè)條件得到AuBnCuOuA,再利用充要條件的傳遞性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】因?yàn)锳為8的必要條件，B為C的充分條件,C為。的必要條件，。為A的必要條件，

所以即AuBnCuOuA,

對(duì)于A,若B為C的必要條件，即3<=C,則AuBoCuOuA,

所以A、B、C、。互為充要條件，則4、B、C、。中的任意一個(gè)命題均為A、B、C、。四個(gè)命題的必要條

件，故A正確；

對(duì)于B,若8為A的必要條件，即BuA,則=易得B不是C的必要條件，故

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若C為O的充分條件，即C=O,則Au6=Co￡>uA,易得8不是C的必要條件，故

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若B為。的必要條件，即則=且BuO,易得8不是C的必要

條件，故D錯(cuò)誤.

故選：A

2.復(fù)數(shù)z=a+歷若g—1=2,則（）的值與a、6的值無(wú)關(guān).

1111

A.z+-B.z+-C.z一—D.z——

3224

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的公式化簡(jiǎn)條件，確定〃、〃關(guān)系，再依次判斷各選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閦=a+例，所以工一1=_^一1=L3="粵"粵=匕心）二四，

za+Z?ia+Z?i+a~+Zr

所以1一1=佇一/二F_bi(b

a2+h2)+(77^

za2+h~a2+h~

又J=2,所以（佇之三b

+=4,

z、a'+b~7TF

^a-a2-b2y+b2=4(/+Z?2)',所以4-2a(4+〃)+/=3(/+/)-,

因?yàn)閍/￥0,所以所以片+。2+2￡=1,所以++從=12

3I3）9

所以z+'=YiQ,即z+2的值與質(zhì)6的值無(wú)關(guān).

333

故選：A.

3.\7XHO,（x+工）可以寫成關(guān)于（爐+盤）的多項(xiàng)式，則該多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)之和為（）.

A.240B.241C.242D.243

【答案】D

【解析】

/.\io

【分析】利用換元法，將X+-轉(zhuǎn)化為。+2）5,從而利用賦值法即可求得該多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)之和.

,1

【詳解】因?yàn)閤+-+2,

X

則1/=卜+斗2]=S)5,

令f=l,則"+2)5=35=243,

所以該多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)之和為243.

故選：D.

4.函數(shù)/(x)的圖像如圖所示，已知"0)=2,則方程“X)-靖(x)=l在(a,。)上有()個(gè)非負(fù)實(shí)根.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷方程“X)-靖(x)=l

在(a,8)上的根的個(gè)數(shù).

【詳解】由圖象可得函數(shù)/(力在(a,6)上有3個(gè)極值點(diǎn)，不妨設(shè)其極值點(diǎn)為芯,9,馬，其中

<0<x2<x3,

設(shè)g(x)=/'(x),//(%)=/(x)-xg(x)—1,〃(x)=r(x)—g(x)—xg[x)=—xg，(x),

由圖象可得g(w)=o,g(&)=0,xe(O,Xj)0t,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，g(x)=r(x)>0,又函數(shù)

/(x)的圖象由陡峭變?yōu)槠骄?，故|g(x)|逐漸變小，

所以當(dāng)無(wú)?0,工2)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，g'(x)<。，

當(dāng)%?人,專)時(shí),函數(shù)“X)單調(diào)遞減，所以g(x)=/'(x)<0,函數(shù)的圖象先由平緩變?yōu)槎盖停?/p>

再由陡峭變?yōu)槠骄彛瑋g(x)|先變大再變小，函數(shù)g(x)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，所以g'(x)取值先負(fù)后

正，所以存在工4€(/，毛)，使得g'(%4)=0，當(dāng)xe(w，x4),g'(x)<0,當(dāng)工€(￡,天)，

g'(x)>0,

當(dāng)》€(wěn)(天,。)時(shí)，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，函數(shù)/(X)的圖象由平緩變?yōu)槎盖?，函?shù)g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)

》?玉，。)時(shí),g'(x)>。，

當(dāng)％e(O,%4)時(shí),g'(%)<0,當(dāng)X€(X4，b)時(shí)，g'(x)>0,

所以當(dāng)％e(O,&)時(shí),〃'(x)>0,函數(shù)〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(O./)單調(diào)遞增，

當(dāng)工?尤4，，)時(shí)，”(%)<0,函數(shù)〃(x)=/(x)-xg(x)T在(0。)單調(diào)遞減，

因?yàn)?/(0)=〃0)-Oxg(O)—1=1>0,函數(shù)從。在(0,七)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)〃(x)=/(x)-xg(x)-1在(0,毛)上不存在零點(diǎn)，且//(%)>()，

因?yàn)?i伍)=/(8)一大口)一1="/(?i—g伍),

因?yàn)樾表示點(diǎn)伍,/回)與點(diǎn)(0,1)的連線的斜率，g(?表示曲線”X)在點(diǎn)伍,/0))處的切線的

b

斜率，結(jié)合圖象可得,(?T<g。),故〃他)<0,所以函數(shù)

〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(%4力)上存在唯一零點(diǎn),

故方程"1)-礦(力=1在(。⑼上有1個(gè)非負(fù)零點(diǎn)，

故選：B.

5.函數(shù)/(x)=j5cos2x-4sinx+5-|3(：0同的最大值為().

A.2V2B.273C.2>/5D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將/(x)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)A8的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于

第三邊，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?cos2x-4sinx+5=9COS2X-4COS2%-4sinx+5

=9cos2x+4sin2x-4sinx+l=（3cosx）"+（2sinx-l）",

所以/（無(wú)）=，5cos2x-4siar+5-|3cosx|=J（3COSJC）-+（2sinx-1）一_J（3cosx）-，

故/(x)的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P(3cosx,2sinx)到A(0,l)與3(0,2sinx)的距離之差的最大值,

因?yàn)橐籭WsinxWl,-2<-2sinx<2,-l<l-2sinx<3>

所以1PAi—|「目A8|=7(l-2sinx)2=|l-2sinx|<3,

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=—l時(shí)，等號(hào)成立，則|印一|尸3區(qū)3,

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)cosx=0,/（x）=^5X02-4X（-1）+5-|3X0|=3,

所以〃x)?3,即/(x)的最大值為3.

故選：D.

八c17

6.4Z=1+sin0.1,h=e()1，c=1.011(),d=——,a,b,c,4間的大小關(guān)系為().

16

A.b>a>d>cB.b>c>a>d

C.b>c>d>aD.b>a>c>d

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)=—1,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得b>c；利用二項(xiàng)式定理證得

ol+O.l,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=x—sinx證得0.1>sin0.1,從而得到。>。；構(gòu)造函數(shù)

/i(x)=sinx--x|0<x<-|,證得sinO.l>!，從而得到a>d；由此得解.

'8I6J16

【詳解】令/(x)=e-x—l(x>0),貝i」/'(x)=e'-l>eO—l=O,

所以〃x)在(O,+e)上單調(diào)遞增，故F(x)>〃O)=eO-O-l=O,即e-x—1>0,

所以e*>x+l，則eom>0.01+1=1.01，即e°」>(1.0『°,故》>c；

因?yàn)閏=1.0f°=(+0.01)i°,

所以其展開通項(xiàng)公式為幾1=。產(chǎn)"、(0.0葉=(0.01)"1，

故Z=(O.Ol)°xC；o=l，4=(O.O『xC；o=O.l，4+1>0，

所以c=LOf°=(1+0.01)°>1+0.1,

令g(x)=x-sin>0),則g'(x)=1-cosx>0,

所以g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(())=。，即x>sinx,

所以0.1>sin0.1,故c>l+O.l>l+sinO.l,即c>a；

715

令/?(x)=sinx-,則”(x)—cosx—,

868

因?yàn)?<x(工，所以且<cosx<l,則cosx>正〉。，故〃(x)>0,

6228

所以/z(x)在［0，k上單調(diào)遞增，則/?(1)>/?(())=(),即sinx〉Gx,

易知0.1/03],所以sinO.l>2xO.l=-L,則i+sinO.l>l+'=D,即a>"；

V6；8161616

綜上：b>c>a>d.

故選：B

7.已知數(shù)列｛4｝、｛〃｝J=y，%=閭，(〃6")其中國(guó)為不大于彳的最大整數(shù).若4=4=，〃,

-2」2

m<1000,meN+?有且僅有4個(gè)不同的f,使得生工內(nèi),則也一共有()個(gè)不同的取值.

A.120B.126C.210D.252

【答案】C

【解析】

【分析】將〃z表示為92°+。2|+c222+C32、…+C92',其中c()，q，…,Qe｛04｝，且生，。,…,C9不全為

0,m<1000.分析4工2與Co,。，…，。的取值的關(guān)系，由此確定滿足條件的陽(yáng)的取值的個(gè)數(shù).

【詳解】設(shè)機(jī)=q)2°+C|2i+C22?+C323+…+Cg29,其中c(),q,…,c9G{0」}，且。不全為。，

m<1000,

若=1,則m=1+C2+q22+623+…+eg2。，%=l\=m,

9

1=]+Q2]+q+C423t--Pcs2,b2=/,

若c0=0,則機(jī)=c2+c?22+j23+…+Cg29,%=R=m,

m7m

a)=，bj-，

-222

所以若c0=1則，%ob?,若Co=O,則g=〃2，

9

若Co=O,q=0,貝ij/%=+c323H--FC92,%=b1=m,

m.mm,m

出=5，b?=5,%=I，4=]

9

若c0=0,C[=1,貝！Jm=2+Q2?+q2'H---Fc92,ax-bx-m,

m.mm-2,m

b、=—

~2223434

9

若Co=l,=0,貝！=1+，22?+c323H--Fc92,%=a=m,

m-\,mm—\,m-\

■2223434

若Co=l,C1=1,則m=1+2+。22?+q23+…+%29,ax-bx-m,

m-1.mm-3.m—1

=------,“=—,a,=-------,b.=-------，

~2223434

所以q=0時(shí)，a3=h3,q=l時(shí)，的工々，

同理可以證明q=0時(shí)，ak+2=%+2，/=1,a―工々+2，

因?yàn)橛星覂H有4個(gè)不同的f,使得巴工田,即c0,q,C2,…,。9中有且僅有4個(gè)變量取值為1，其余變量取值

為0,又從，，G，。2，…，。9中任選4個(gè)變量有C：）種取法,

故滿足條件的機(jī)的個(gè)數(shù)為Gi,即210個(gè),

故選：C.

++

8.平面上有兩組互不重合的點(diǎn)，4、4……A”與4、B2……B?（m,rtGN,n>2）,Vre[l,/?],zeN，

區(qū):函=1則2小島的范圍為（）.

n2nnn2

A.—,—B.

mmm'm

2

n〃+〃n-\n2-1

C.—--D.

m2mmm

【答案】D

【解析】

【分析】考慮〃z=l,〃=2的特殊情況，驗(yàn)證選項(xiàng)可得答案.

【詳解】當(dāng)根=1,〃=2時(shí)，由題，有V/e[l,2],feN+，|44|=九

得|同|==2.則⑸在以4為圓心，半徑為1的圓上，則層在以A為圓心，半徑為2的圓上.

又2：:44+1=4芻，則如下圖所示，即乖；=瓦8；時(shí)，與取最小值為1；

如下圖所示，即與刊=244時(shí)，片層取最大值為3.

則當(dāng)根=1,〃=2時(shí)，X；：44+1的范圍是[1,3],驗(yàn)證選項(xiàng)可排除A,B,C.

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題因點(diǎn)的情況較為復(fù)雜，且又為選擇題，故考慮利用特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)得答案.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.工廠生產(chǎn)某零件，其尺寸。服從正態(tài)分布N00,0.0氏2)(單位：cm).其中人由零件的材料決定，且

%>0.當(dāng)零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm時(shí)認(rèn)為該零件不合格；零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm時(shí)

認(rèn)為該零件為優(yōu)質(zhì)零件；其余則認(rèn)為是普通零件.己知當(dāng)隨機(jī)變量X?N(〃,cr2)時(shí)，

/5(X>X/+cr)*0.159,P(X>〃+2b)a0.023,P(X>"+3b)之0.001,則下列說(shuō)法中正確的有

().

A.々越大，預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件與不合格零件的概率之比越小

B.左越大，預(yù)計(jì)生產(chǎn)出普通零件的概率越大

C.若女=1.5,則生產(chǎn)200個(gè)零件約有9個(gè)零件不合格

D.若生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件、普通零件與不合格零件盈利分別為3a,2a,-5a,貝U當(dāng)左=1時(shí)，每生產(chǎn)1000個(gè)

零件預(yù)計(jì)盈利2580a

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于AB,利用正態(tài)分布曲線的圖像變化即可得解；

對(duì)于C,結(jié)合參考數(shù)據(jù)，求出預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的不合格零件的概率，從而得解；

對(duì)于D,結(jié)合參考數(shù)據(jù)，分別求出預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)零件、普通零件與不合格零件的概率，從而得解.

【詳解】依題意，得〃=10,。2=0.0次2,則b=o.M,k>0,

對(duì)于A,當(dāng)攵變大時(shí)，b變大，則零件尺寸。的正態(tài)分布曲線越扁平，

所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，則其比例越小，故A正確；

對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知，預(yù)計(jì)生產(chǎn)出普通零件的概率越小，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)左=1.5時(shí)，cr=0.U=0.15,

則?（X>10.3）=/（X>M+2b）a0023,而

P（X<9.7）=P（X<2cr）=P（X>"+2o■卜0.023,

所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出的不合格零件的概率為P（X>10.3）+P（X<9.7）?0.046,

故生產(chǎn)200個(gè)零件約有不合格零件的個(gè)數(shù)為200x0.046=9.2*9,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)左=1時(shí)，<7=0.1左=0.1,

則P（X>10.3）=P（X>//+3<T）?0.001,P（X<9.7）?0.001,

P（9.9<X<10.1）=P（〃—b<X<〃+b）=l—2P（X>〃+o?卜0.682,

所以預(yù)計(jì)生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件的概率為0.682,不合格零件的概率為（）.002,普通零件的概率為

1-0.682-0.002=0.316,

故每生產(chǎn)1000個(gè)零件預(yù)計(jì)盈利1000X[0.682x3。+0.316x2。+0.002x（—5。）]=2668。，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

22

10.已知橢圓C：二+與=1,（。>6>0）上有三點(diǎn)4、鳥、p3,A、B分別為其左、右焦點(diǎn).則下列說(shuō)

ah

法中正確的有（）.

A.若線段《￡、鳥片、鳥片的長(zhǎng)度構(gòu)成等差數(shù)列，則點(diǎn)<、鳥、A的橫坐標(biāo)一定構(gòu)成等差數(shù)列.

72

B.若直線68與直線6R斜率之積為-二，則直線耳巴過坐標(biāo)原點(diǎn).

a

c.若瑞鳥月的重心在y軸上，則田耳|+田耳|+區(qū)耳|=紜

D.面積的最大值為量

3

【答案】ABC

【解析】

【分析】先證明兩個(gè)結(jié)論，結(jié)論1為焦半徑公式，利用該公式可判斷AC的正誤，利用同一法可判斷B的

正誤，結(jié)論2為均值不等式，利用該結(jié)論可求內(nèi)接三角形面積的最大值，從而可判斷D的正誤.

22

【詳解】結(jié)論1：若尸（％〃）為橢圓。：a+方=1上的的動(dòng)點(diǎn)，耳為其左焦點(diǎn)，則歸耳|=a+?.

證明：\PF\=q（m+cf+〃2="m+c1+b2—；

t°”

l~2~IC2MC

=.a+2mcH----=a+—m,

Va~a

因?yàn)?2￡（-〃,a],c<Q,故++故|尸耳|=々+￡機(jī).

aa

結(jié)論2：若玉20,7=1,2,3,4,則內(nèi)+」+年+z24yxi工2尤3%4.

證明：因?yàn)閄1+工2_2jx/220，

故王+922衣己，當(dāng)且僅當(dāng)用=々時(shí)等號(hào)成立，

同理凡+%之2我兀，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

2XXXXX

所以1元3工4+J%%之7Vi2V34=2^X1X2X3X4，

當(dāng)且僅當(dāng)X%=工3工4時(shí)等號(hào)成立，

所以％+X2+芻+*4?4yxi%2%3*4，當(dāng)且僅當(dāng)X=/二次3二14時(shí)等號(hào)成立.

由結(jié)論2可得內(nèi)為24工4?1%+%；4+%）,當(dāng)且僅當(dāng)石=馬=%3=尤4時(shí)等號(hào)成立?

對(duì)于A、C,設(shè)于（烏,偽）,￡（%也）,13也），則

由結(jié)論1可得：由耳|=a+」,i=l,2,3,

因?yàn)?區(qū)周=山耳|+出耳故2a+2x^=a+詈+〃+詈，

整理得到：2a2=4+%，故A正確.

因?yàn)轼B鳥的重心在》軸上，故幺士竽&=0,

故山耳|+區(qū)耳|+區(qū)耳|=3a+—（q+a2+—3a,故C正確.

對(duì)于B,設(shè)《關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,則。（-4，一4），

故&>@=笠，3+么#0,否則與e=0,這與題設(shè)矛盾）,

22

4+々2X4一々2一生

故kp^kpF)

"1+"2"1—"：—公

b；1,4+3=1,所以可—￡+圣—5=0,

哈b2aba-abb

力26?

所以2，而kppkpp,=--,故kpM=,0,

b；-吠a2312a

因6,Q均在橢圓上，故A，Q重合即直線《4過坐標(biāo)原點(diǎn)，故B正確.

我們先證明一個(gè)命題

22

命題：設(shè)P（S"）為橢圓C：二+與=1上點(diǎn)，直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A8,則ARW面積的最

a~b

大悔為￡3ab-

4

證明：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線=J

則的面積S=-^x|z-m|x2/jx^l--^-=Z?x|/-w|

24a—2mV

若/>〃?，則S=《yX?-〃2)?-〃2

4;

，6a丫272i2日n。/35/3.

因?yàn)橐还?——crb~,即SK---ah,

3a2164

故此時(shí)S=2叵ab.

當(dāng)且僅當(dāng)月（一。,0）,f=|時(shí)等號(hào)成立,

mux?

同理可證：當(dāng)，（加時(shí)，號(hào)皿=￥，仍?

過當(dāng)直線/的斜率存在，可設(shè)/：y="+，,

產(chǎn)+：,,，可得(二+以2左2)』+202^+“2s2一q2b2=0,

由＜

故△=4a%2s2_492+a2k2g2s2_)>0故△一土+小公>。,

而|AB|=EX型亞三透，

b-+crk

\kni-n+s\

又P到/的距離為d=l/L故△碗的面積為:

J1+42

1\km-n+s\r~”2aby]h2-s2+a2k2ab(\km-n+s^y/b2-s2+a2k2

2J1+氏2b~+a~k~b~+a~k~

對(duì)于給定的Z,先考慮的〃一〃+s|的最大值，

設(shè)〃2=0?05。,=65111。，貝！]=|。左cos6-/?sine+s|

ak-b

,其中sin。=

da2k2+〃y/crk2+b2

若s20,則\hn-n+s|的最大值為7a2^2+Z72+s，

ab(\lcrk1+b2+s)\Jb2-s2+a2k2

此時(shí)s<

b-+a2k2

設(shè)M=a2k~+b2>則“2〃，故

由結(jié)論2可得:

(4+s)(4+s)(4-s)(ViI+5)=((〃+S)(〃+S)(34-3S)(4+S)

1(64丫27/當(dāng)且僅當(dāng)5=巫時(shí)等號(hào)成立,

<——----=-----

-

3\4/162

-s2+a2k2的最大值為孚女2

故[y]a2k2+b2+s)x后

3百

"（。干+的_3百小

故sw，

F77P一—昉

4

若5<0,則|初?一〃+5|的最大值為,“2公+從一S,同理可得54乎6必，

綜上，ABAB面積的最大值為九3ab.

4

對(duì)于D,考慮耳為橢圓上的點(diǎn)，直線/為直線鳥鳥,

由前述命題可得：面積的最大值為史必，故D錯(cuò)誤.

4

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的某坐標(biāo)與離心率、半長(zhǎng)軸的關(guān)系來(lái)處

理，而多變量的最值問題，往往是通過降低變?cè)膫€(gè)數(shù)逐步處理.

元、

11.已知函數(shù)/(x)=asinx---+-戾inx+一,其中〃、b>0.則下列說(shuō)法中正確的有().

4JI4J

A./(X)的最小值為一。

B.7(x)的最大值為+廿

C.上有三個(gè)解

7T3乃

D.在7'T上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】

271

一Ja?+bsin<0z]

【分析】根據(jù)題意,可得/(%)=?,由sin|x-a>0,求解

7t

\Ja2+b2sinX-會(huì)小產(chǎn)

4MT

出X的取值范圍，根據(jù)對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)的函數(shù)解析式，/(x)即可求出/(x)的最值，進(jìn)而判斷A、B選項(xiàng)；令

3兀717T5%

/(%)=/?,分尤€和XG

T54W'7兩種情況解方程，即可判斷C選項(xiàng)；取

7T5乃713萬(wàn)715乃

X&U,求出此時(shí)函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，從而

5'萬(wàn)5'彳

713兀

判斷在上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

2,~2

,.兀,71

【詳解】f(X)asin+加inxd——+bcos,x---

I4(4

2271

-\la-^-bsinx---j,sinfx-^j<0

4b

即f(x)=,,其中sine=

71

\Ja2+b2sin工一(+@卜in卜>0

"嗚?

JI5TT

由sin[x_(>0,即xw—+2Z肛——+2攵萬(wàn),ZeZ,

44

22

所以當(dāng)無(wú)￡?+2左肛,+24〃時(shí)，/(x)=yja+bsinT+q,

乃

即工一區(qū)+夕￡[0+2Z乃,夕+乃+2左7],(p€

jrjr34i

所以當(dāng)％—^+0=耳+2攵〃，即x=z--0+2攵萬(wàn)時(shí)，〃x)gx=J/+匕2，

2

當(dāng)x—7+夕=。+乃+2%萬(wàn)，即x=-^-+2Z乃時(shí)，f(x)min——yjcr+hsin(p——h；

3兀+24匹?+2女乃j時(shí)，f(x)=Aa?+/si兀

當(dāng)sinx---~(P，

I4

即九一5一夕￡(一0一乃+2《乃，一0+2%)),夕￡(0,]1,

所以當(dāng)％—W+9=-5+2%4，即x=—"^一"+2火"時(shí)，/(x)=dci?+b?,

由于x—?+°w一夕一萬(wàn)+2%)，所以/(x)無(wú)最小值.

綜上所述，/(%)的最小值為-6，最大值為，片+尸,故A錯(cuò)誤，B正確;

由/(x)=",所以當(dāng)無(wú)—4~"~4時(shí),7a2+〃sinx———(p^—b,

.(7i\b../\

即smx----(p=——.=-sin=sin\-(p),

I4J1a2+b?

ZT7C

即尤——=2Z乃或x----29=4+2攵萬(wàn),&cZ,

44

所以“.7或1、=一3T￡U+2外濟(jì)0，3

44

715萬(wàn)

當(dāng)xw時(shí)，J/+/sinx-

/

71

即sinx-----\-(p=sm(p

I4f

冗、/[

即尤---=2%乃或x---+2°=萬(wàn)+2攵笈,keZ,

44

54

所以X=----1(p,(P&,

4V2；

綜上所述，方程上有三個(gè)解，故C正確;

715萬(wàn)時(shí)，/(x)=y/a2+/?2sinX一卜,

取5'7"

rrJr37r77r

令]+2k兀Gx—工+(p4工+2kjr,BP--(p+2k7r<x<—~(p^2k/r；

兀冗兀JI3TC

^---+2k7r<x--+(p<—+2k7r,BR---^>+2k/r<x<--(p+lk7r；

由于ew[o,品，所以當(dāng)o<°<;時(shí)，函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞增，在|今一夕,今)上單調(diào)

715717137t

遞減,上有增有減,5'T上有增有減，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.直線4、，2為曲線y=e'與y=lnt的兩條公切線.4從左往右依次交e*與Inx于A點(diǎn)、B點(diǎn)；從左往

右依次交e'與Inx于C點(diǎn)、。點(diǎn)，且A點(diǎn)位于C點(diǎn)左側(cè)，。點(diǎn)位于8點(diǎn)左側(cè).設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0,4與4交于

點(diǎn)P.則下列說(shuō)法中正確的有().

A.AD<BCB-M<T

e17T

C.tanNBOC<—I---D.ZAOC>-

22e2

【答案】CD

【解析】

【分析】先由/(x)=e'和g(x)=lnx是一對(duì)反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得出點(diǎn)AC關(guān)于直線

>=x對(duì)稱，點(diǎn)50關(guān)于直線>=%對(duì)稱，點(diǎn)尸在直線>=x上，再算出/(x)=e'和g(x)=lnr的公切線

方程，設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(天3加)，用/(1＜與＜2)表示出4?。三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),由直線性質(zhì)算出P點(diǎn)坐標(biāo),

再依次通過計(jì)算得出每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】由題意，畫出大致圖像如圖，

設(shè)〃x)=e*與g(x)=lnx,4為直線A5,4為直線8,

且〃x)=e’和g(x)=lnx是一對(duì)反函數(shù)，圖像關(guān)于直線丁=%對(duì)稱，

則點(diǎn)AC關(guān)于直線〉=%對(duì)稱，點(diǎn)BO關(guān)于直線＞=%對(duì)稱，點(diǎn)P在直線＞=

設(shè)〃x)=e'的切點(diǎn)為(A，yj,g(x)=ku的切點(diǎn)為(金，%)，

由/"(x)=e\g＜x)=J,

得/(x)=e'的切線方程為y=e*'(x-xj+e”,

g(x)=lnx的切線方程為y=—(x-x2)+lnx2,

當(dāng)兩函數(shù)的切線方程重合時(shí)，即為公切線,

X1

e1=—x+]

則｛4，將Z=ef代入下式得e*=±j,

A,

(l-Xj)e=-1+Inx2”

x+1尢+]

設(shè)方程e*=-L—的其中一個(gè)解為％=%(拓＞1),則e"=-^―

由e2>2il,可得

2—1

又因e』=,則方程d=九三的另一個(gè)解為％=一/（1</<2）,

因此A點(diǎn)坐標(biāo)為（一x°，ef），8點(diǎn)坐標(biāo)為（ea,Xo），C點(diǎn)坐標(biāo)為卜一%,一/）,。點(diǎn)坐標(biāo)為（小3"）.

因?yàn)锳D與BC關(guān)于直線>=》對(duì)稱，所以AO=BC,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由點(diǎn)P在直線AB上可得——-=—―-

演一乙XB-XP

設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為⑸/），貝"蟹（二就，解得斗=看&

x+1)2e-A

設(shè)〃（》）=三?-(1)2/+(

,(l<x<2),"(x)

、2

-X(er+e-x

設(shè)j(x)=-(x-1)iex+(x+1)2e-v,(l<x<2),/(x)=(e'+e-')(-^2+l)<0,

則J(x)=—(x-l)2e'+(x+l)2e-x在(1,2)上單調(diào)遞減,

4Q

由/⑴=_>o,j(2)=_e2+W<0,

ee

可得/（同=一（》一1）26'+（》+1）26-￡在（1,2）上的函數(shù)值為先正后負(fù),

,,/、-（x-1）-e"+（x+1）-e。'

即〃（x）=4----L---------------在（1,2）上的值為先正后負(fù)，

（eA+e-r）'7

/1

則h（x]=:,在（1,2）上的單調(diào)性為先增后減,

eA4-e'

75

乂刈1)=-f畸)

J7T>且〃⑴<〃(2)，

e+一Cn--r

ee

x2+121

則“3------->〃(1)---->—*0+11

e'+e-Jte+!2,即x產(chǎn)>——,

e殉+e-x°2

e

所以|研=符+Xp?。┤?選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

分別連接BO,CO,如圖,

yt

由

tanZBOx=A=A=x()e-^o,tanZCOx==/e"

4e0xce%

tanZBOx+tanZCOx

得tanZBOC=tan(ZBOx+ZCOx)="N二<o<￡+，選項(xiàng)C

1-tanZBOxtanZCOxl-x；22e

正確；

分別連接A。，CO,如圖,

TT

得NAOC>第三象限夾角，即44OC>—,選項(xiàng)D正確.

2

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.底邊和腰長(zhǎng)之比為正二1的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，四個(gè)面都為“黃金三角形”的四面體被

2

稱為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為.

23+3石

【答案】

2

【解析】

【分析】畫出符合題意的四面體，由其特征將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，分別計(jì)算外接球與內(nèi)切球表面積可得答案.

【詳解】如圖，設(shè)四面體4-BG。為“黃金四面體”，

\B\B\B_\B__行—I

=m，

而~~BD~一而--

得A。=BD=AG=BQ=n,

又因四個(gè)面都為“黃金三角形"，則G。==，.

注意到四面體4對(duì)棱相等，則將其補(bǔ)形為如圖所示長(zhǎng)方體A8CO-A耳GA,則該長(zhǎng)方體外接

球與該四面體外接球重合.

設(shè)AA^=a,AB=bfAD=c,

則長(zhǎng)方體外接球半徑R為長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，有R=?巨*■,又注意到：

2

22

a+b=A{B~=r

a2+c2=A]D2=zi2,

b2+c2=BD2=n2

得/+/+°2=li+〃2,又匚=病,得R=J-+/上j=‘、忙+1.

2rr22V2

注意到匕88-A4GA=+匕-A4G+匕）-AGA++^-ABD?

V=V=V=V=—cihc，

VB-A4GD-AGRC「BCDvAy-ABD6

41

則匕A-B口「CQ八=abc---6abc=-3abc.

又在VA§G中，￡4=C.B,取45中點(diǎn)為￡,

則1\B,故s=_Lf*

4Ag2y4

又由前面分析可知四面體A-3G。的四個(gè)面全等，

則四面體4一BG。的表面積S=4S=2tjn2---

4Ag]/4

設(shè)四面體A-5G。的內(nèi)切球半徑為，則9_3。=gsr，

注意到AG=BG,則“2+02=7777na=b，

,又一=m,

n

2、（2A（2、2

1mm

4〃21+——1——41+—

2

4nR-J、2）m2+3+4,

2（2、1

4nr22mm

mn1-

\27

代入加=避二1,得比值為:23+3指

22

故答案為：23+3M

2