2019-版高考數(shù)學(xué)(課標(biāo)版-文科)一輪-數(shù)列的綜合應(yīng)用

2019-版高考數(shù)學(xué)(課標(biāo)版-文科)一輪-數(shù)列(shùliè)的綜合應(yīng)用第一頁，共13頁。§6.4數(shù)列的綜合(zōnghé)應(yīng)用知識清單考點(diǎn)數(shù)列前n項(xiàng)和的求法(1)分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.(2)拆項(xiàng)相消:把一個數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過程消去

中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和.(3)錯位相減:適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的

數(shù)列求和.(4)倒序(dǎoxù)相加:例如,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.第二頁，共13頁。(1)

=

-

;(2)

=

;(3)

=

-

.(4){an}是等差數(shù)列,公差為d,則

=

.第三頁，共13頁。數(shù)列求和的方法1.一般地,數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手,假設(shè)無通項(xiàng),那么先求通項(xiàng),然后通過對通

項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式,從而

選擇適宜的方法求和.①an=kn+b,利用(lìyòng)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解;②an=a1·qn-1,利用(lìyòng)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解,但要注意對q分q=1與q

≠1兩種情況進(jìn)行討論;③an=bn+cn,數(shù)列{bn}、{cn}是可以直接求和的數(shù)列,采用分組求和法求

{an}的前n項(xiàng)和;④an=bn·cn,{bn}是等差數(shù)列,{cn}是等比數(shù)列,采用錯位相減法求{an}的前方法技巧方法第四頁，共13頁。n項(xiàng)和;⑤可化為an=f(n)-f(n-1)形式的數(shù)列,可采用裂項(xiàng)相消法求{an}的前n項(xiàng)和;⑥an-k+ak=cbn,可考慮用倒序相加法求和(qiúhé);⑦an=(-1)nf(n),可將相鄰兩項(xiàng)合并求解,即采用“并項(xiàng)法〞.例1

(2015湖南,19,13分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.a1=1,a2=2,且an+2

=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.(1)證明:an+2=3an;(2)求Sn.第五頁，共13頁。解題(jiětí)導(dǎo)引

(1)用n-1代替n,代入an+2=3Sn-Sn+1+3?an+1=3Sn-1-Sn+3,n≥2?得an+2-an+1=3an-an+1,n≥2,即an+2=3an,n≥2?驗(yàn)證當(dāng)n=1時等式的正確性(2)由(1)知an+2=3an?a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1?分組求和第六頁，共13頁。解析(1)證明(zhèngmíng):由條件,對任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而對任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,n≥2,即an+2=3an,n≥2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故對一切n∈N*,an+2=3an.(2)由(1)知,an≠0,所以?=3.于是數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)a2a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=?,第七頁，共13頁。從而(cóngér)S2n-1=S2n-a2n=?-2×3n-1=?(5×3n-2-1).綜上所述,Sn=?第八頁，共13頁。例2

(2017湖南湘潭三模,17)數(shù)列{an}滿足(mǎnzú)Sn=2an-1(n∈N*),{bn}是

等差數(shù)列,且b1=a1,b4=a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)假設(shè)cn=?-?(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解題(jiětí)導(dǎo)引

由Sn求an?求bn?求cn?裂項(xiàng)相消求Tn第九頁，共13頁。解析(jiěxī)(1)∵Sn=2an-1,∴n≥2時,Sn-1=2an-1-1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,n≥2,即an

=2an-1,n≥2.當(dāng)n=1時,S1=a1=2a1-1,∴a1=1,∴{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n-1,∴b4=a3=4,又b1=1,∴?=?=1.∴bn=1+(n-1)=n.(2)由(1)知cn=?-?