2022-2023學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】全稱量詞命題否定為存在量詞命題即可.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A2．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求出集合，再求并集可得答案.【詳解】集合，集合，則.故選：B.3．角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以.故選：A4．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【分析】分別判斷選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，定義域相同，但，所以，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)槎x域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，又，所以，是同一函數(shù)，故D正確.故選：D5．“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】做差可判斷充分性，取可判斷必要性可得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，可得，所以充分性成立；但當(dāng)時(shí)，即也成立，所以必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：B.6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若在上單調(diào)遞增,必有，求解即可.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)，若在上單調(diào)遞增,必有，解得，所以的取值范圍為.故選：C7．17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得.【詳解】，，.故選：B.8．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，所以，，所以，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C．二、多選題9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故A符合；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?，所以，則為偶函數(shù)，故B不符合；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故C符合；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?，所以，則該函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合.故選：AC.10．已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)锽．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．是增函數(shù)D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【分析】對(duì)于A，由且，求解即可判斷；對(duì)于B，區(qū)間不在定義域內(nèi)，即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法即可判斷；對(duì)于D，可得真數(shù)能取遍所有大于0的數(shù)，從而可判斷.【詳解】對(duì)于A，由且，得，故的定義域?yàn)?，A對(duì)；對(duì)于B，區(qū)間不在定義域內(nèi)，B錯(cuò)；對(duì)于C，函數(shù)在為增函數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，C對(duì)；對(duì)于D，在為增函數(shù),真數(shù)能取遍所有大于0的數(shù)，故值域?yàn)镽，D對(duì).故選：ACD.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，則B．若的解集是，則C．若，則恒成立D．，，在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，計(jì)算可判斷C選項(xiàng)；利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)為偶函數(shù)，則，即，即對(duì)任意的恒成立，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若不等式的解集為，則且、為方程的兩根，則，解得，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，，故不恒成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線且，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，，在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：ABD.12．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合已知等式，即可求得與的取值范圍，即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，故A正確，B不正確；因?yàn)?，所以，又，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確，C不正確.故選：AD.三、填空題13．已知函數(shù)，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可得，又，即可得.【詳解】由分段函數(shù)解析式可知，將代入可得，再將代入可得，即可計(jì)算出.故答案為：214．已知，則__________.【答案】##【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：15．《樂府詩集》輯有晉詩一組，屬清商曲辭吳聲歌曲，標(biāo)題為《子夜四時(shí)歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來.輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái)?詩里的疊扇，就是折扇.折扇展開后可看作是半徑為的扇形，是圓面的一部分，如圖所示.設(shè)某扇形的面積為，該扇形所在圓面的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，該扇面為“黃金美觀扇面”.若某扇面為“黃金美觀扇面”，扇形的半徑，則此時(shí)的扇形面積為__________.【答案】【分析】利用與比值，列出方程即可.【詳解】，扇形所在圓面的面積為：且：；故答案為：16．若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上的取值范圍為，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據(jù)，去絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，判斷的單調(diào)性，根據(jù)題意建立之間的等式關(guān)系，將消掉后化簡(jiǎn)可得，代入到方程組中可建立與和與的等式關(guān)系，通過移項(xiàng)變形，將兩式形式化為統(tǒng)一，構(gòu)造函數(shù)畫出圖象，列出不等式解出即可.【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，，所以，取，根?jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，因?yàn)閰^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)閰^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，即，即，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，代入中，化?jiǎn)可得：，當(dāng)時(shí)方程組不成立，所以方程組可化為，即在上與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出及的圖象如下所示：由圖可知只需即可，即，即，即.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查函數(shù)的綜合問題，屬于中難題，關(guān)于對(duì)勾函數(shù)的思路有：（1）定義域：，奇偶性：奇函數(shù)；（2）單調(diào)性：，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；（3）最值：在上有最大值，無最小值，在上有最小值，無最大值；（4）漸近線：軸和.四、解答題17．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用指數(shù)冪公式進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）原式；（2）原式.18．已知角是第一象限角，且.(1)求的值；(2)若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求解；（2）求得，由弦化切將變形為求解.【詳解】（1）由題意知，，且，解得.故的值分別為.（2）因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，所以19．已知函數(shù).(1)若，求的最小值；(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可；（2）利用代入法，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由可得：，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值為；（2）由可得：，則化為：因?yàn)?，所以，則解不等式可得或，則不等式的解集為.20．已知函數(shù).(1)若，求在上的值域；(2)若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1），令，則，根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的最值求法即可求解；（2）令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解，從而得到，求解即可.【詳解】（1）時(shí)，令，則.，即，而的對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即.在上的值域?yàn)?；?）令，則有解，在上有解，，解得，的取值范圍為.21．在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)間為9小時(shí)時(shí)，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個(gè)，你認(rèn)為（1）中哪個(gè)函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請(qǐng)用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計(jì)17小時(shí)后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.【答案】(1)，(2)模型①是“理想函數(shù)模型”，理由見解析(3)（百萬個(gè)【分析】（1）根據(jù)代入法、平方法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合代入法，結(jié)合題中理想函數(shù)模型的定義分類討論進(jìn)行求解即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，，，聯(lián)立上式，解方程可得，，則；當(dāng)時(shí)，，由圖表數(shù)據(jù)可得，聯(lián)立上式，解方程可得，則；（2）考慮①，由，可得，而，可得模型①是“理想函數(shù)模型”；考慮②，由，可得而，所以模型②不是“理想函數(shù)模型”；（3）由（2）可得時(shí)，（百萬個(gè)22．已知是定義在R上的奇函數(shù)，其中，且.(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知條件可解；（2）根據(jù)單調(diào)性的證明步驟逐步證明即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，分類討論可得.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)椋?，解得，所以，，則為奇函數(shù)所以（2）在上單調(diào)遞減.證明如下：設(shè)，則因?yàn)?/p>