2022-2023學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，且，則等于（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】，且，，即，故選：A2．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模等于（

）A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】先計(jì)算，再根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C3．已知中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三邊的比令，，，，進(jìn)而可知，根據(jù)勾股定理逆定理推斷出，進(jìn)而根據(jù)推斷出，進(jìn)而求得，則三個(gè)角的比可求．【詳解】解：依題意令，，，，，所以為直角三角形且，又，且，，，故選：A．4．直徑為的一個(gè)大金屬球，熔化后鑄成若干個(gè)直徑為的小球，如果不計(jì)損耗，可鑄成這樣的小球的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】D【分析】求出小球的體積，求出大球的體積，然后求出小球的個(gè)數(shù).【詳解】小球的體積為：，大球的體積為：，所以可鑄成這樣的小球的個(gè)數(shù)為：，故選：D5．如圖，梯形是一水平放置的平面圖形在斜二測(cè)畫法下的直觀圖.若平行于軸，，則平面圖形的面積是（

）A．14 B．7 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形ABCD的形狀，求出底邊邊長(zhǎng)以及高，然后求出面積．【詳解】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中平行于軸，，可知原圖中，從而得出AD⊥DC，且，直觀圖中，，可知原圖中，，即四邊形ABCD上底和下底邊長(zhǎng)分別為3，4，高為2，如圖，故其面積.故選：B6．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，進(jìn)而比較大小可得答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以.故選：D．7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為五邊形，求得，再結(jié)合等腰三角形的面積，結(jié)合相似即可求得截面的面積.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.則過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為五邊形.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，在中，，在中，，同理可得.令上的高為，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，同理可得，故截面的面積.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的三種方法:①直接法:截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；②平行線法:截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；③延長(zhǎng)交線得交點(diǎn):截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.8．已知非零向量，滿足，，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【分析】設(shè)，則，取的中點(diǎn)，由可得，進(jìn)而得到.要使最小，也最小，由圖可知、、三點(diǎn)共線時(shí)滿足，設(shè)，則，，，由余弦定理得，則由可得，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)，則，取的中點(diǎn)，由，即，即，即,即，所以，而，即，所以要使最小，也最小，顯然，此時(shí)、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以由余弦定理得，即，即，由，即，所以，所以的最小值?故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為進(jìn)而求解.二、多選題9．下列說法中，正確的有（

）A．復(fù)數(shù)滿足；B．“為鈍角”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”的充要條件；C．已知復(fù)數(shù)“的虛部相等”是“”的必要條件D．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一根，則該方程的另一根是【答案】AC【分析】對(duì)于A：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法與模長(zhǎng)的計(jì)算公式可證明是正確的；對(duì)于B：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限的充要條件為第二象限角；對(duì)于C：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念判斷；對(duì)于D：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩虛數(shù)根一定是互為共軛復(fù)數(shù).【詳解】對(duì)于A：設(shè)，則，則；，所以，故A正確；對(duì)于B：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限的充要條件，即為第二象限角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的充要條件是實(shí)部相等且虛部相等，故“的虛部相等”是“”的必要條件，故C正確；對(duì)于D：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的兩虛數(shù)根一定是互為共軛復(fù)數(shù)，故另一個(gè)為，故D錯(cuò)誤；故選：AC10．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則一定是鈍角三角形B．若，則一定是銳角三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等邊三角形【答案】CD【分析】對(duì)于A，舉例即可判斷；對(duì)于B，由余弦定理可得，可得為銳角，進(jìn)而判斷；對(duì)于C，由正弦定理得，，進(jìn)而得到，進(jìn)而判斷；對(duì)于D，由正弦定理得，進(jìn)而得到，進(jìn)而判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等邊三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得所以，所以，即為銳角，角、無法確定大小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由正弦定理得，，即，即，所以，所以是等腰三角形，故C正確；對(duì)于D，，由正弦定理得，即，所以，即是等邊三角形，故D正確.故選：CD.11．已知三棱錐中，，分別是的中點(diǎn)，是棱上（除端點(diǎn)外）的動(dòng)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與是異面直線；B．當(dāng)時(shí)，三棱錐體積為；C．的最小值為；D．三棱錐外接球的表面積.【答案】ACD【分析】根據(jù)異面直線判定定理可判斷A，由于三棱錐對(duì)邊相等可放入長(zhǎng)方體中，借助長(zhǎng)方體可判斷BD，再由棱錐兩個(gè)側(cè)面展開到同一個(gè)平面上，利用兩點(diǎn)間連線最短判斷C.【詳解】對(duì)A，是平面內(nèi)直線BA外一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，兩點(diǎn)連線與是異面直線，故A正確；對(duì)B，將三棱錐放入長(zhǎng)方體中，如圖，因?yàn)椋?，所以，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，即，解得，顯然三棱錐體積等于長(zhǎng)方體體積減去長(zhǎng)方體角上4個(gè)相同的三棱錐的體積，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)槿忮F外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球半徑，所以外接球的表面積，故D正確；對(duì)C，將三棱錐側(cè)面展開在一個(gè)平面上，連接，交于,如圖，由余弦定理，，,所以，,所以，在中，,所以，即當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，的最小值為，故C正確.故選：ACD12．已知函數(shù)滿足：則下列判斷正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．是周期函數(shù)且最小正周期為6C．D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BD【分析】根據(jù)賦值法可得判斷A，令可得，變換后根據(jù)判斷B，分別求出，利用周期求判斷C，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)及周期函數(shù)判斷D.【詳解】令，則，即，故不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，則有，所以，，即，故，兩式相減可得，故是周期函數(shù)且最小正周期為6，故B正確；，，，即，由，可得，再由，可得，而，故C錯(cuò)誤；令，則，又，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，由可得，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先根據(jù)，靈活的對(duì)賦值，是解決此類問題的關(guān)鍵，其次注意函數(shù)周期性的定義，函數(shù)圖象對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱的條件都是解決此問題的關(guān)鍵.三、填空題13．若向量，則在上的投影向量坐標(biāo)為__________.【答案】【分析】根據(jù)投影向量坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】向量，在上的投影向量的坐標(biāo)為：故答案為：14．已知集合，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，再根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為集合B是集合A的真子集，從而可求解.【詳解】集合，，又“”是“”的必要不充分條件，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為:.故答案為：.15．在中，點(diǎn)在邊上，，若邊上的高與邊上的高之比為，則__________.【答案】【分析】設(shè)邊上的高為，邊上的高為，設(shè)，結(jié)合，可得，，在中，由余弦定理可得，進(jìn)而得到，.在中，再由余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)邊上的高為，邊上的高為，設(shè)，因?yàn)椋栽谥?，，又邊上的高與邊上的高之比為，所以，即，所以在中，，又，所以，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，，在中，由余弦定理得，即，解得，即.故答案為：.16．已知?jiǎng)t的最大值為__________.【答案】4【分析】由條件消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，變形后原式可得，令換元后根據(jù)二次函數(shù)求最值.【詳解】由可得，故，，令，則由知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，即的最大值為4.故答案為：4四、解答題17．已知復(fù)數(shù)滿足.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出即可；（2）求出的值并計(jì)算的值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所?（2）18．正三棱臺(tái)中，.(1)求三棱臺(tái)的表面積；(2)分別是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，幾何體的體積記為，幾何體的體積記為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正棱臺(tái)的性質(zhì)和棱臺(tái)的表面積公式即可得出答案；（2）將幾何體的體積記為看成臺(tái)體和三棱錐的體積，求出，幾何體的體積記為看成臺(tái)體和減去，相比即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)檎馀_(tái)中，.所以，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，正三棱臺(tái)的三個(gè)側(cè)面為全等的等腰梯形，且，所以三棱臺(tái)的表面積為：.（2）取的中點(diǎn)，連接，則，取的中心且共線，連接且O2為其中點(diǎn)，由正棱臺(tái)的性質(zhì)知，平面，連接，過作交于點(diǎn)，則，同理，所以，所以，點(diǎn)到平面的距離為，，三棱臺(tái)的體積為：三棱臺(tái)的體積為：，而，所以幾何體的體積記為，幾何體的體積記為，故19．如圖所示，有兩個(gè)興趣小組同時(shí)測(cè)量一個(gè)小區(qū)內(nèi)的假山高度，已知該小區(qū)每層樓高4.(1)興趣小組1借助測(cè)角儀進(jìn)行測(cè)量，在假山水平面C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，在六樓A點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的俯角為45°，求假山的高度（精確到0.1）；(2)興趣小組2借助測(cè)距儀進(jìn)行測(cè)量，可測(cè)得AB=22，BC=16，求假山的高度（精確到0.1）.附：.【答案】(1)4.2m(2)4.3m【分析】（1）令假山的高度為.根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求得，則，再根據(jù)即可求解.【詳解】（1）令假山的高度為.由題意可知，，則，根據(jù)正弦定理可得，，即，所以，而，所以故假山的高度大約為4.2m.（2）根據(jù)余弦定理，可得，則，所以故假山的高度大約為4.3m.20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，且，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)推出圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而得到周期，求得，進(jìn)而可求得；（2）先化簡(jiǎn)，再利用弦化切即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋詧D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，即根據(jù)五點(diǎn)作圖法可得，，所以，又，所以，所以.（2），故的值為.21．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且__________.(1)證明：；(2)若，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）選①：由正弦定理化為得；選②：由條件知化為得；（2）由得，求出的范圍，由條件結(jié)合正弦定理得化為的函數(shù)求范圍【詳解】（1）選①：，由正弦定理得，，，，，或，若，則，不成立，.選②：，，，，，，，，或舍去，.（2），，，，,,由正弦定理得22．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí).解不等式；(2)記表示實(shí)數(shù)中的較大者.任意的，